Entanglement-assisted continuous-variable concatenated codes for encoding qubits or oscillators

Sintesi Tecnica: Codici concatenati a variabili continue assistiti da entanglement per la codifica di qubit o oscillatori

Enunciato del Problema
La correzione degli errori quantistici (QEC) è essenziale per il calcolo quantistico fault-tolerant. Mentre i codici stabilizer sono efficaci per i sistemi a variabili discrete (DV), i sistemi a variabili continue (CV) (modi bosonici) richiedono codici specifici come il codice Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) per correggere piccoli errori di spostamento nello spazio delle fasi. Approcci ibridi, come la concatenazione di codici stabilizer DV con codici GKP CV, sono stati esplorati per migliorare le prestazioni della correzione degli errori. Tuttavia, queste concatenazioni convenzionali non utilizzano l'entanglement pre-condiviso. I codici stabilizer assistiti da entanglement (EA) sono noti per migliorare i tassi di trasmissione e le capacità di correzione degli errori, ammorbidendo il requisito di gruppi stabilizer auto-dualità, a condizione che il mittente e il ricevitore condividano bit entangled (ebit). Il problema centrale affrontato in questo lavoro è come integrare l'assistenza EA nei codici concatenati CV-stabilizer per migliorare ulteriormente la soppressione degli errori e le probabilità di fallimento logico, specificamente per la codifica sia di qubit che di oscillatori.

Metodologia
Gli autori propongono due distinte architetture di concatenazione che combinano codici EA-stabilizer e codici GKP, denotate dalla notazione $A \triangleright B$, dove $A$ è il codice esterno e $B$ è il codice interno.

1. $C_{EA-stabilizer} \triangleright C_{GKP}$ (Qubit-in-Oscillator):

   • Struttura: Un codice EA-stabilizer esterno (DV) è concatenato con un codice GKP interno (CV).
   • Processo: Un qubit logico viene prima codificato in uno stato di qubit fisico utilizzando un codice EA-stabilizer (utilizzando ebit pre-condivisi). Successivamente, ogni qubit fisico e le metà degli ebit sono codificati in stati GKP computazionali (oscillatori).
   • Esempio: Gli autori analizzano un codice di ripetizione EA $[[3, 1, 3; 2]]$ concatenato con un codice GKP. Lo strato esterno codifica un qubit logico in tre qubit fisici utilizzando due ebit pre-condivisi. Lo strato interno codifica questi tre qubit e le due metà degli ebit in cinque oscillatori armonici.
   • Decodifica: Gli errori CV vengono prima corretti sui singoli modi, seguiti dalla correzione degli errori discreti tramite i sindromi EA-stabilizer.

2. $C_{GKP} \triangleright C_{EA-stabilizer}$ (Oscillatore-in-Oscillatori):

   • Struttura: Un codice GKP esterno è concatenato con un codice EA-stabilizer interno.
   • Processo: Viene prima prodotto uno stato GKP a singolo modo. Questo stato viene poi codificato in molteplici modi oscillatori utilizzando un codificatore Gaussiano derivato da un codice EA-stabilizer, utilizzando stati GKP Bell pre-condivisi (modi entangled o emodi).
   • Esempio: Gli autori propongono un codice $C_{GKP} \triangleright C_{[[3, 1, 3; 2]]}$. Un singolo stato GKP logico viene codificato in tre modi oscillatori utilizzando due coppie Bell GKP pre-condivise (emodi). La codifica utilizza un codificatore unitario Gaussiano ($U^G_{enc}$) composto da porte SUM.
   • Decodifica: Il sistema impiega misurazioni di sindrome sugli stabilizer del modo di dati e degli emodi ancillari. Poiché le sindromi del modo di dati non possono essere misurate direttamente senza disturbare lo stato, gli autori utilizzano la stima della massima verosimiglianza (MLE) per inferire i valori di errore più probabili basandosi sulle sindromi misurate dei modi ancillari e sull'assunzione di rumore Gaussiano indipendente e identicamente distribuito (iid).

Contributi Chiave e Risultati

• Proposta di Codici Concatenati EA: Il documento introduce e formalizza due nuove famiglie di codici concatenati: $C_{EA-stabilizer} \triangleright C_{GKP}$ e $C_{GKP} \triangleright C_{EA-stabilizer}$.
• Soppressione del Rumore in $C_{GKP} \triangleright C_{EA-stabilizer}$:
  • Per il caso specifico di $C_{GKP} \triangleright C_{[[3, 1, 3; 2]]}$, gli autori dimostrano che l'uso di due modi massimamente entangled (emodi) permette di sopprimere le varianze in entrambi gli errori di quadratura posizione ($q$) e momento ($p$) del modo di dati per un fattore di $1/3$.
  • Gli errori logici residui seguono una distribuzione Gaussiana con varianza $\sigma^2/3$, rispetto alla varianza originale $\sigma^2$.
  • Ciò viene ottenuto senza ulteriore squeezing di quadratura, affidandosi invece all'assistenza dall'entanglement.
• Generalizzazione a Codici di Ripetizione EA a $n$-qubit:
  • Gli autori generalizzano lo schema $C_{GKP} \triangleright C_{[[3, 1, 3; 2]]}$ a una famiglia di codici: $C_{GKP} \triangleright C_{[[n, 1, n; n-1]]}$, dove $n$ è un intero dispari $\ge 3$.
  • Teorema 1: Questa famiglia utilizza $n-1$ emodi per sopprimere la varianza degli errori di quadratura sia della posizione che del momento di un modo di dati di un fattore $1/n$.
  • Questo risultato viene confrontato con i codici di ripetizione GKP non bilanciati della letteratura precedente (Rif. [28]), notando che il proposto schema EA raggiunge fattori di soppressione simili ($1/(n+1)$ per $n+1$ modi) ma con una diversa struttura di risorse (usando $n-1$ emodi per $n$ modi totali nel contesto della ripetizione).
• Confronto delle Prestazioni:
  • La probabilità di fallimento logico per $C_{[[3, 1, 3; 2]]} \triangleright C_{GKP}$ è calcolata e mostrata essere superiore alle prestazioni del codice $C_{[[5, 1, 3]]} \triangleright C_{GKP}$ (un codice standard qubit-in-oscillator senza assistenza EA). Questo miglioramento è attribuito al fatto che il codice EA esterno possiede metà di ebit privi di rumore in possesso del ricevitore.
  • Al contrario, si trova che il codice $C_{GKP} \triangleright C_{[[3, 1, 3; 2]]}$ (oscillatore-in-oscillatori) ha una probabilità di fallimento logico superiore rispetto al suo controparte $C_{[[3, 1, 3; 2]]} \triangleright C_{GKP}$. Gli autori attribuiscono ciò alla necessità di stimare stati non misurati nel primo caso, mentre il secondo permette una suite completa di misurazioni EA-stabilizer.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento rivendica di estendere gli studi comparativi recenti dei codici $C_{stabilizer} \triangleright C_{GKP}$ e $C_{GKP} \triangleright C_{stabilizer}$ ai loro controparti assistiti da entanglement. La significatività primaria risiede nel dimostrare che l'assistenza dall'entanglement può essere integrata efficacemente nei codici concatenati CV per:

1. Migliorare i tassi di correzione degli errori e ridurre le probabilità di fallimento logico negli schemi qubit-in-oscillator.
2. Fornire un meccanismo per sopprimere le varianze in entrambe le quadrature di un modo di dati oscillatore di un fattore $1/n$ utilizzando $n-1$ modi entangled, offrendo un'alternativa efficiente dal punto di vista delle risorse rispetto agli schemi che richiedono ulteriore squeezing o più modi ancillari.

Gli autori mantengono un ambito modesto, notando che la loro analisi assume stati GKP ideali e errori di spostamento Gaussiani. Riconoscono che, sebbene i loro risultati siano promettenti, l'implementazione pratica richiederebbe di affrontare gli effetti di energia finita, i canali di rumore non Gaussiani (come la perdita pura) e le soglie di fault-tolerance sotto vincoli hardware realistici. Suggeriscono che questi framework potrebbero essere applicati ai ripetitori quantistici e al sensing distribuito, ma non propongono configurazioni sperimentali specifiche oltre al riferimento a piattaforme esistenti (ioni intrappolati, circuiti superconduttori, fotonica) capaci di generare gli stati necessari.