Boundaries in the Instantaneous Formulation of Field Theories

Problematica
Il documento affronta la formulazione rigorosa delle condizioni al contorno all'interno del quadro istantaneo (3+1) delle teorie di campo classiche, estendendo il formalismo covariante e istantaneo sviluppato da GiMmsy (Gotay, Isenberg, Marsden, Montgomery, Sniatycki e Yasskin). Sebbene l'interazione tra confini e gruppi di simmetria localizzabili sia ben studiata nelle formulazioni hamiltoniane canoniche, una completa formulazione istantanea — che includa il Lagrangiano istantaneo, la trasformata di Legendre e la risultante struttura dello spazio delle fasi in presenza di confini — ha carellato una base rigorosa. Il problema centrale è caratterizzare lo spazio degli stati istantanei e lo spazio delle fasi quando le condizioni al contorno restringono le configurazioni di campo e/o le loro velocità, in particolare nei casi in cui le condizioni al contorno non fissano un valore specifico della configurazione (ad esempio, richiedendo solo che le velocità siano nulle al contorno).

Metodologia
L'autore utilizza il quadro geometrico di GiMmsy, che utilizza una decomposizione 3+1 dello spaziotempo $M$ in superfici di Cauchy $\Sigma_t$. La metodologia procede come segue:

1. Estensione del Quadro: Lo spazio di configurazione istantaneo $Q_t = \Gamma(Y_t)$ e il suo fibrato tangente $TQ_t$ sono definiti tramite la mappa di decomposizione dei jet $\beta_\zeta$, che mette in relazione i jet covarianti con i jet spaziali istantanei e le velocità.
2. Analisi delle Condizioni al Contorno: Il documento distingue tra due tipi di condizioni al contorno:
   • Dirichlet Costante: La configurazione del campo è fissata a un valore specifico $b_t$ al contorno, il quale rimane costante sotto il flusso di slicing.
   • Velocità Nulla: La configurazione del campo è libera di variare al contorno, ma la sua derivata temporale (velocità) deve essere nulla ($\dot{\phi}|_{\partial \Sigma} = 0$).
3. Caratterizzazione Geometrica: Utilizzando le proprietà della mappa di restrizione al contorno $r_t: Q_t \to \Gamma(Y_t|_{\partial \Sigma_t})$, l'autore analizza la struttura dello spazio degli stati ammissibili. Per le condizioni di Dirichlet costante, si dimostra che lo spazio degli stati è un singolo fibrato tangente. Per le condizioni di velocità nulla, si dimostra che lo spazio degli stati è un'unione disgiunta di fibrati tangenti, indicizzati dalle configurazioni al contorno.
4. Trasformata di Legendre: La trasformata di Legendre istantanea è definita su questo spazio degli stati "settorizzato" (un bundle di velocità ammissibile $D$) tramite la derivata di fibra. Lo spazio delle fasi risultante viene analizzato per le sue strutture simplettiche e di Poisson.
5. Applicazione a Yang-Mills: Il formalismo è applicato alla teoria di Yang-Mills su una fetta spaziale compatta con condizioni al contorno asintotiche. L'azione del gruppo di gauge viene analizzata per determinare quali trasformazioni siano hamiltoniane (possiedano una mappa di momento) e quali no.

Contributi Chiave e Risultati

• Struttura dello Spazio degli Stati Istantaneo:

  • Sotto una condizione di Dirichlet costante, lo spazio degli stati istantaneo è isomorfo al fibrato tangente $TQ_b$ dello spazio di configurazione che soddisfa quella specifica condizione al contorno (Proposizione 3.5).
  • Sotto la condizione in cui solo la velocità è nulla al contorno (senza fissare il valore al contorno), lo spazio degli stati istantaneo non è un singolo fibrato tangente ma un'unione disgiunta (una "struttura a settori") di fibrati tangenti: $D = \bigsqcup_{b} TQ_b$ (Corollario 3.6). Ogni settore corrisponde a una fissata configurazione al contorno $b$.

• Trasformata di Legendre e Struttura dello Spazio delle Fasi:

  • La trasformata di Legendre è rigorosamente definita sul fibrato di velocità ammissibile $D = \ker(Tr)$. Il risultante spazio delle fasi primario $P$ è un'unione disgiunta di spazi delle fasi $P_b \subset T^*Q_b$.
  • Lo spazio delle fasi totale $P$ non possiede una struttura simplettica globale perché non esistono momenti coniugati per le configurazioni al contorno. Inveve, possiede una struttura di Poisson canonica leafwise (per foglia), dove le foglie simplettiche sono i singoli settori $T^*Q_b$ (Osservazione 4.5).

• Trasformazioni di Gauge e Momento:

  • Nella teoria di Yang-Mills, si dimostra che le trasformazioni di gauge che cambiano la configurazione al contorno (trasformazioni che spostano tra i settori) sono non-Hamiltoniane rispetto alla struttura di Poisson su $P$. Esse mappano tra diversi settori di foglie e mancano di una classica mappa di momento poiché il momento al contorno è indefinito in questa formulazione.
  • Le trasformazioni di gauge che preservano il settore del contorno (sottogruppo stabilizzatore $G_b$) sono Hamiltoniane. La loro mappa di momento include un termine al contorno corrispondente al flusso elettrico.

• Definizione del Gruppo di Simmetria Fisica:

  • Il documento propone una nuova definizione per il gruppo di simmetria fisica al contorno: $G_{phys} := G_{Ham} / G_{triv}$, dove $G_{Ham}$ sono le trasformazioni hamiltoniane che preservano il contorno e $G_{triv}$ sono quelle triviali (ridondanti).
  • Elettromagnetismo ($U(1)$): Il gruppo di simmetria fisica attraverso tutti i settori è trovato essere isomorfo al gruppo di gauge globale $U(1)$, poiché le trasformazioni costanti preservano tutti i settori e portano un momento di flusso non nullo.
  • Yang-Mills Non-Abeliano: In una trivializzazione del contorno, il gruppo di simmetria fisica attraverso tutti i settori è banale (il centro dell'algebra di Lie) a meno che non vengano imposte restrizioni specifiche (come configurazioni al contorno $Ad(G)$-invarianti), nel qual caso il gruppo globale $G$ riemerge.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento rivendica di fornire una base geometrica rigorosa per comprendere come i confini interagiscano con la formulazione istantanea delle teorie di campo, chiarendo in particolare la relazione tra decomposizioni 3+1, la trasformata di Legendre e i flussi al contorno.

La significatività primaria risiede nel dimostrare che, quando i valori al contorno non sono fissati, lo spazio degli stati si decompone naturalmente in settori, portando a uno spazio delle fasi con una struttura di Poisson leafwise piuttosto che una struttura simplettica globale. Questa intuizione strutturale spiega perché le trasformazioni di gauge "che spostano i settori" (quelle che cambiano la connessione al contorno) non possono essere generate da funzioni hamiltoniane in questa formulazione. Di conseguenza, il documento argomenta che le simmetrie fisiche al contorno dovrebbero essere ristrette a quelle trasformazioni che sono hamiltoniane (ovvero quelle che preservano il settore e portano una mappa di momento). Ciò ridefinisce la comprensione delle simmetrie asintotiche, distinguendole dalle trasformazioni che semplicemente si spostano tra diversi settori di superselezione senza un corrispondente osservabile fisico (momento).

I risultati sono presentati come una generalizzazione del lavoro precedente (specificamente [9]) alla piena generalità delle condizioni al contorno di velocità nulla, offrendo un quadro geometrico più chiaro dei settori di superselezione del flusso e del ruolo dei modi di bordo in assenza di variabili coniugate al contorno.