Kinetic derivation of thermal viscous models for nematic liquid crystal dynamics

Sintesi Tecnica: Derivazione Cinetica di Modelli Termo-Viscosi per la Dinamica dei Cristalli Liquidi Nematici

Definizione del Problema
Lavori recenti hanno stabilito una variante comprimibile e inviscida delle equazioni di Leslie–Ericksen derivata dalla teoria cinetica. Tuttavia, tale approccio si basava su una chiusura dei momenti attorno a uno stato già allineato, imponendo di fatto un comportamento orientazionale collettivo anziché permettere che esso emerga dalla dinamica. Inoltre, il modello risultante era strettamente inviscido, fallendo nel catturare gli effetti dissipativi, termici e di diffusione dello spin inerenti ai reali flussi di cristalli liquidi. Questo articolo affronta tali limitazioni derivando una variante viscosa e comprimibile delle equazioni di Leslie–Ericksen che tiene conto dell'emergenza dell'allineamento e degli effetti termici e viscosi.

Metodologia
Gli autori sviluppano una teoria termodinamica macroscopica partendo da una teoria cinetica dei fluidi ordinati. La metodologia procede attraverso le seguenti fasi:

1. Quadro Cinetico: Il punto di partenza è la teoria cinetica dei fluidi ordinati proposta in [7], che incorpora interazioni di allineamento di campo medio tramite un potenziale di Vlasov. Il sistema assume una separazione delle scale temporali in cui il rilassamento orientazionale avviene più velocemente del rilassamento del momento traslazionale. La funzione di distribuzione $f(x, p, \nu, \varsigma, t)$ dipende dalla posizione, dal momento lineare, dalla configurazione microstrutturale (orientamento $\nu$) e dal momento coniugato $\varsigma$.
2. Operatore di Collisione: Per rendere l'analisi trattabile, il completo operatore di collisione di Boltzmann viene sostituito da un singolo operatore di rilassamento Bhatnagar–Gross–Krook (BGK). Questo operatore preserva le leggi di conservazione e la struttura della produzione di entropia della teoria cinetica completa.
3. Leggi di Bilancio: Gli autori derivano le equazioni di bilancio macroscopiche per massa, momento lineare, momento angolare, energia ed entropia mediante il calcolo dei momenti dell'equazione cinetica. Una caratteristica chiave è l'identificazione di un termine di coppia di campo medio nel bilancio del momento angolare, che guida l'emergenza dell'allineamento.
4. Struttura Termodinamica: L'energia libera di Helmholtz è identificata come il potenziale termodinamico. Gli autori dimostrano che la distribuzione all'equilibrio (Maxwelliana) minimizza questa energia libera e derivano la relativa distribuzione di Gibbs per il profilo orientazionale. Dimostrano che, sotto specifici potenziali di interazione (di tipo Kuramoto e Maier–Saupe), il sistema subisce una transizione di fase da uno stato isotropo a uno nematico al diminuire della temperatura, con il torque di Vlasov che svanisce all'equilibrio allineato.
5. Espansione di Chapman–Enskog: Viene eseguita un'espansione di Chapman–Enskog del primo ordine attorno alla distribuzione Maxwelliana locale all'equilibrio. A differenza delle derivazioni standard, le derivate temporali nell'espansione vengono sostituite utilizzando le leggi di bilancio del ordine zero (che includono lo stress di Ericksen e i termini di coppia di stress), piuttosto che le standard equazioni di Euler comprimibili. Ciò assicura che l'elasticità orientazionale si propaghi correttamente nelle correzioni del primo ordine.
6. Chiusura Costitutiva: Gli autori utilizzano il principio di massimizzazione vincolata di Rajagopal e Srinivasa. Combinano il tasso di produzione di entropia derivato dall'espansione cinetica con la struttura termodinamica inferita dall'energia libera di Helmholtz. Massimizzando la produzione di entropia rispetto alle leggi di bilancio, derivano le relazioni costitutive per lo stress di Cauchy, lo stress di coppia e il flusso di calore.

Contributi Chiave e Risultati

• Allineamento Emergente: A differenza dei precedenti modelli inviscidi che assumevano l'allineamento, questa derivazione permette alla transizione isotropo-nematica di emergere naturalmente dalla dinamica cinetica tramite il torque di Vlasov. L'analisi conferma che il torque di campo medio svanisce all'equilibrio di Gibbs allineato, garantendo la coerenza con le leggi di bilancio macroscopiche.
• Effetti Viscosi e Termici: Il documento deriva un insieme completo di equazioni costitutive per un fluido nematico comprimibile, viscoso, conduttore di calore e con diffusione dello spin. Il tensore degli sforzi risultante include:
  • Una viscosità di taglio newtoniana.
  • Una viscosità volumetrica isotropa derivante dallo squilibrio tra energia traslazionale e rotazionale.
  • Uno stress viscoso anisotropo accoppiato al tensore di Ericksen e al gradiente di velocità.
  • Un tensore di coppia che include effetti di diffusione dello spin (un termine micropolare di tipo Eringen) e accoppiamento al gradiente del direttore.
• Coefficienti di Trasporto: Espressioni esplicite per i coefficienti di trasporto (viscosità di taglio, conducibilità termica, viscosità volumetrica, viscosità anisotropa e viscosità dello spin) sono derivate in termini del tempo di rilassamento $\tau$ della BGK e del modulo di Frank $K$. La conducibilità termica soddisfa la relazione di Eucken per i gas biatomici.
• Limite Incomprimibile: Il framework produce naturalmente il corrispondente incomprimibile imponendo un vincolo di divergenza nulla tramite un moltiplicatore di Lagrange durante la procedura di massimizzazione, senza richiedere una derivazione separata.
• Novità Strutturale: Il tensore dello stress viscoso derivato è governato da un singolo parametro di viscosità (a causa dell'approssimazione isotropa BGK) e non recupera il completo tensore viscoso di Leslie a cinque coefficienti. Gli autori osservano che il recupero del pieno tensore di Leslie richiederebbe un operatore di collisione anisotropo con molteplici scale temporali di rilassamento, il che è oggetto di studi in corso.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di generalizzare l'immediata teoria cinetica inviscida di Farrell, Russo e Zerbinati [1] per tenere conto degli effetti viscosi, termici e di diffusione dello spin. La significatività primaria risiede nel fornire una derivazione termodinamicamente coerente di questi effetti dissipativi direttamente dalla teoria cinetica, colmando il divario tra le interazioni delle particelle microscopiche e la meccanica del continuo macroscopica per i fluidi ordinati.

Gli autori sottolineano che il loro approccio supera il limite dei modelli precedenti non imponendo l'allineamento a priori; invece, l'allineamento emerge dalla minimizzazione dell'energia libera e dallo svanire del torque di Vlasov all'equilibrio. Il sistema risultante (Equazione 8.21) rappresenta una variante comprimibile, viscosa, conduttrice di calore e con diffusione dello spin delle equazioni di Leslie–Ericksen. Nel limite inviscido ($\tau \to 0$), il modello si riduce al sistema inviscido derivato in [1].

Il lavoro è presentato come un passo verso una teoria cinetica più completa dei cristalli liquidi, con gli autori che notano con modestia come il recupero del pieno tensore viscoso di Leslie con le sue cinque viscosità indipendenti rimanga un problema aperto che richiede un operatore di collisione più complesso e anisotropo.