Entanglement Scaling and Full Counting Statistics in Excited States of Two-Dimensional Rotating Fermions

Sintesi Tecnica: Scalamento dell'Entanglement e Statistica del Conteggio Completo negli Stati Eccitati di Fermioni Rotanti Bidimensionali

Problema
Il saggio investiga l'entropia di entanglement (EE) e la statistica del conteggio completo (FCS) delle fluttuazioni del numero di particelle per una specifica classe di stati eccitati in un sistema di $N$ fermioni scalari non interagenti confinati in una trappola armonica rotante bidimensionale. Mentre lo scalamento della legge dell'area per l'EE è ben stabilito per gli stati fondamentali di sistemi gappati e di certi sistemi gapless (scalando come $\sim L^{d-1} \ln L$), per gli stati ad alta energia o ad alta temperatura in sistemi generici ci si aspetta tipicamente uno scalamento della legge del volume ($\sim L^d$). Gli autori affrontano la questione se la legge dell'area persista per specifici stati eccitati strutturati in questo modello di trappola rotante, un regime in cui il sistema presenta analogie con i sistemi di Hall quantistico.

Metodologia
Lo studio si concentra su uno stato molti-corpo costruito riempiendo $N$ livelli di energia mono-particellari consecutivi all'interno del settore del livello di Landau più basso (LLL, $l=0$). Nello specifico, gli autori considerano una "finestra scorrevole" di numeri quantici $k = M, M+1, \dots, M+N-1$, dove $M \ge 0$ determina il livello di eccitazione. Le funzioni d'onda mono-particellari in questo settore sono simmetriche rispetto alla rotazione, il che permette un trattamento analitico esatto.

Il nucleo della metodologia si basa sul formalismo della matrice di sovrapposizione per stati gaussiani. Per fermioni non interagenti, sia l'EE che la FCS sono interamente determinati dagli autovalori della matrice di correlazione ristretta a un dominio spaziale. Gli autori sfruttano il fatto che, per domini con simmetria radiale (dischi e anelli) e per gli stati specifici $l=0$ scelti, la matrice di sovrapposizione è diagonale.

1. Matrice di sovrapposizione: Gli elementi della matrice $A_{n_1, n_2}$ per un disco di raggio $r$ sono mostrati essere diagonali, con autovalori $a_s(r)$ esprimibili in termini della funzione gamma incompleta.
2. Limiti di scalamento: L'analisi viene eseguita nel limite di grandi $M$ e $N$, con il rapporto $\mu = M/N$ fissato. In questo limite, le somme discrete sugli autovalori vengono convertite in integrali utilizzando approssimazioni del punto di sella.
3. Quantità calcolate:
   • Entropia di Rényi ($S_q$): Calcolata utilizzando gli autovalori $a_s$ tramite la formula standard $S_q = \frac{1}{1-q} \sum \ln(a_s^q + (1-a_s)^q)$.
   • Statistica del Conteggio Completo: La funzione generatrice dei cumuli centrati (CCGF) viene derivata per calcolare i cumuli del numero di particelle $\langle \hat{N}_D^p \rangle_c$.
   • Profilo di densità: La densità radiale $\rho(r)$ viene derivata per identificare i regimi di bulk, bordo interno ed esterno della nuvola di fermioni.

Risultati Chiave

1. Persistenza della Legge dell'Area negli Stati Eccitati:
   Il risultato primario è che lo scalamento della legge dell'area per l'entropia di entanglement tiene per questa classe di stati eccitati. Per un disco di raggio $r$ situato nella regione di bulk ($\sqrt{M} \ll r \ll \sqrt{M+N}$), l'entropia di Rényi scala linearmente con il perimetro (circonferenza) del disco:
   $$S_q \sim \sigma_q \times (2\pi r)$$
   dove $\sigma_q$ è un coefficiente dipendente dall'indice di Rényi $q$. Ciò conferma che l'entanglement sub-volumetrico può esistere in stati puri ad alta energia, contrariamente all'aspettativa generica di uno scalamento della legge del volume.

2. Scalamento dei Cumuli e FCS:
   Anche i cumuli del numero di particelle $\langle \hat{N}_r^p \rangle_c$ per $p \ge 2$ esibiscono uno scalamento della legge dell'area nel bulk, crescendo linearmente con il raggio $r$. Gli autori derivano la funzione generatrice dei cumuli centrati (CCGF) e mostrano che la funzione di densità di probabilità (PDF) del numero di particelle nel disco, fino a uno spostamento variabile determinato da $\mu = M/N$, possiede proprietà di scalamento identiche allo stato fondamentale ($M=0$) studiato nella letteratura precedente. La distribuzione esibisce tre regimi: fluttuazioni tipiche ($O(N^{-3/4})$), fluttuazioni intermedie ($O(N^{-1/2})$) e grandi deviazioni ($O(1)$).

3. Verifica dell'Espansione dei Cumuli:
   Il saggio verifica la nota espansione in serie che mette in relazione l'EE con i cumuli del numero di particelle per fermioni non interagenti in stati gaussiani:
   $$S_q(D) = \sum_{p=1}^{\infty} \beta_p(q) \langle \hat{N}_D^p \rangle_c$$
   L'analisi numerica dimostra che questa serie converge rapidamente per $q \ge 2$, fornendo un collegamento diretto tra l'entropia di entanglement e la statistica del conteggio completo in questo regime di stati eccitati.

4. Additività nelle Regioni Anulari:
   Per una regione anulare definita da un raggio interno $r_1$ e un raggio esterno $r_2$ (con larghezza sufficiente affinché i bordi non interagiscano), gli autori dimostrano che sia l'entropia di Rényi che i cumuli del numero di particelle sono additivi. Specificamente:
   $$S_q(A_{r_1, r_2}) \approx S_q(D_{r_1}) + S_q(D_{r_2})$$
   $$\langle \hat{N}_{r_1, r_2}^p \rangle_c \approx \langle \hat{N}_{r_1}^p \rangle_c + \langle \hat{N}_{r_2}^p \rangle_c$$
   Questa decomposizione deriva dalla simmetria di riflessione degli autovalori della matrice di sovrapposizione vicino ai bordi dell'anello.

5. Comportamento al Bordo:
   Vicino al bordo interno ($r \approx \sqrt{M}$) e al bordo esterno ($r \approx \sqrt{M+N}$) della nuvola di fermioni, il comportamento di scalamento devia dalla legge lineare del bulk. Gli autori forniscono funzioni di scalamento universali (che coinvolgono la funzione d'errore complementare) che descrivono l'incrocio (crossover) tra la legge dell'area del bulk e il comportamento del bordo.

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire un esempio analitico concreto in cui la legge dell'area per l'entropia di entanglement persiste negli stati eccitati di un sistema di fermioni non interagenti. Utilizzando la struttura specifica della trappola armonica rotante e il settore $l=0$, gli autori estendono i precedenti risultati dello stato fondamentale ($M=0$) a arbitrari stati eccitati ($M > 0$).

La significatività risiede nel:

• Dimostrare che lo scalamento della legge del volume non è inevitabile per gli stati puri ad alta energia; costruzioni specifiche possono mantenere lo scalamento della legge dell'area.
• Stabilire una connessione rigorosa tra l'entropia di entanglement e la statistica del conteggio completo per questi stati eccitati, verificando la relazione dell'espansione dei cumuli.
• Mostrare che le proprietà statistiche delle fluttuazioni del numero di particelle in questi stati eccitati sono strutturalmente identiche allo stato fondamentale, semplicemente traslate nello spazio delle variabili.
• Fornire un quadro analitico esatto (tramite la matrice di sovrapposizione diagonale) che può essere esteso ad altri stati con momento angolare non nullo, purché gli indici del momento angolare rimangano distinti.

Gli autori non propongono nuovi setup sperimentali, ma suggeriscono che il loro quadro analitico potrebbe essere applicato per investigare l'entanglement in altre configurazioni di stati eccitati all'interno di potenziali di intrappolamento simili.