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Bath-state (In)dependence of Non-Markovianity Measures in Quadratic Open Systems

Questo articolo dimostra che, mentre determinate misure di non-Markovianità (BLP e LPP) sono indipendenti dallo stato del bagno nei sistemi aperti quadratici fermionici, altre misure (RHP e Megier et al.) rimangono sensibili ai parametri del serbatoio come temperatura e potenziale chimico, con risultati numerici che mostrano come le prime svaniscano solo alla soglia dello stato legato, mentre le seconde rimangano finite.

Autori originali: Mirko Consiglio, Ilia Khomchenko, Tony J. G. Apollaro

Pubblicato 2026-10-30

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CC BY 4.0

Autori originali: Mirko Consiglio, Ilia Khomchenko, Tony J. G. Apollaro

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Nel mondo quantistico, le particelle più piccole raramente esistono in isolamento. Esse urtano costantemente, scambiano energia e sono influenzate dal loro ambiente circostante. I fisici chiamano questo ambiente circostante "bagno" (bath). Quando un sistema quantistico interagisce con questo bagno, l'informazione può fluire verso l'esterno, ma può anche fluire di nuovo verso l'interno. Se l'informazione ritorna, il sistema ricorda le sue interazioni passate, un comportamento noto come dinamica non-markoviana. Questo è distinto dal comportamento più semplice e prevedibile in cui l'informazione fluisce verso l'esterno e viene persa per sempre. Comprendere quando e come avviene questo effetto di memoria è fondamentale per costruire computer e sensori quantistici affidabili, poiché questi dispositivi devono proteggere i loro delicati stati dal rumore dell'ambiente. Una domanda centrale in questo campo è stata se le specifiche condizioni dell'ambiente — come quanto sia caldo o quante particelle contenga — cambino il modo in cui misuriamo questa memoria.

Un team di ricercatori dell'Università di Malta ha investigato questa questione utilizzando un tipo specifico di sistema quantistico: una singola particella che si comporta come un fermione, accoppiata a una grande catena di particelle simili che funge da serbatoio. Hanno esaminato cinque diversi strumenti matematici utilizzati per quantificare la non-markovianità, ovvero il grado di memoria nel sistema. Il loro lavoro rivela una sorprendente divisione nel modo in cui questi strumenti si comportano. Due dei più comuni parametri di misura, che si basano sul tracciamento della distanza tra due stati in evoluzione o sul volume dello spazio che tali stati possono occupare, si rivelano completamente ciechi rispetto allo stato dell'ambiente. Che il serbatoio sia caldo o freddo, o che sia quasi vuoto o quasi pieno di particelle, queste due misure forniscono esattamente lo stesso risultato. I ricercatori lo hanno dimostrato matematicamente per qualsiasi sistema in cui le interazioni seguono un particolare schema quadratico, mostrando che la temperatura e il potenziale chimico dell'ambiente non contano affatto per questi specifici calcoli.

Tuttavia, la storia cambia per le altre tre misure. Questi strumenti, che osservano l'entanglement con una particella ausiliaria, la divisibilità del processo nel tempo o l'entropia del sistema, sono altamente sensibili all'ambiente. I ricercatori hanno scoperto che queste misure cambiano significativamente al variare della temperatura del serbatoio o al variare del potenziale chimico. In effetti, hanno identificato uno scenario specifico in cui le due misure cieche all'ambiente scendono a zero, suggerendo che il sistema non abbia memoria, mentre le tre misure sensibili all'ambiente rimangono attive e finite. Ciò significa che, a seconda dello strumento utilizzato, si potrebbe osservare la stessa identica situazione fisica e concludere che il sistema si stia comportando in modo semplice e privo di memoria, oppure che sia profondamente intrecciato con il suo ambiente.

Per raggiungere queste conclusioni, il team ha modellato l'ambiente come una catena semi-infinita di particelle non interagenti, una configurazione che permette un'analisi matematica precisa. Hanno derivato un'equazione esatta per descrivere come la singola particella evolve nel tempo, tenendo conto del flusso di informazione avanti e indietro. Hanno poi eseguito estese simulazioni numeriche attraverso un ampio intervallo di temperature e potenziali chimici. In un set di simulazioni, hanno esaminato una situazione in cui l'energia del sistema era sufficientemente alta da creare uno stato stabile e localizzato che non decade. In questo caso, le due misure cieche rimanevano costanti attraverso un intervallo di temperatura che copriva tre ordini di grandezza, mentre le misure sensibili variavano fino al sessanta per cento. In un altro scenario, hanno tarato il sistema su un punto critico in cui lo stato localizzato esiste appena. A questa soglia, le misure cieche svanivano completamente, eppure le misure sensibili rilevavano ancora effetti di memoria non nulli, provando che lo stato dell'ambiente influenzava ancora il sistema in un modo che quegli altri strumenti avevano mancato.

I ricercatori hanno anche esplorato cosa accade quando l'energia del sistema è troppo bassa per sostenere uno stato stabile, causando la dissolvenza dell'influenza della particella attraverso la catena. In questo regime, le misure sensibili all'ambiente mostravano una dipendenza molto più debole dallo stato del bagno rispetto al caso ad alta energia, ma non svanivano comunque. Lo studio conferma che la scelta dello strumento di misura non è solo una questione di preferenza; essa altera fondamentalmente l'immagine del comportamento del sistema. Il lavoro stabilisce che, per una vasta classe di sistemi fermionici, la memoria dell'ambiente non è una proprietà universale rilevabile da tutti i metodi. Al contrario, alcune misure catturano solo il flusso strutturale dell'informazione, mentre altre sono profondamente intrecciate con i dettagli termici e chimici dell'ambiente circostante. Questa distinzione è vitale per chiunque cerchi di caratterizzare o controllare sistemi quantistici, poiché implica che un sistema possa apparire perfettamente privo di memoria per un osservatore, pur rimanendo ricco di memoria per un altro.

Sintesi Tecnica: Dipendenza (In)delega dallo Stato del Bagno delle Misure di Non-Markovianità in Sistemi Aperti Quadratici

Problema
Nei sistemi quantistici aperti, la dinamica non-markoviana sorge quando la scala temporale di rilassamento dell'ambiente è comparabile a quella del sistema, portando a un ritorno di informazione (information backflow). Sebbene esistano varie misure per quantificare tale non-markovianità (ad esempio, Breuer–Laine–Piilo [BLP], Lorenzo–Plastina–Paternostro [LPP], Rivas–Huelga–Plenio [RHP] e Megier–Smirne–Vacchini [MSV]), è generalmente atteso che queste misure dipendano dai parametri ambientali come la temperatura ( $T$ ) e il potenziale chimico ( $\mu$ ). Studi precedenti su sistemi bosonici e specifici modelli fermionici hanno confermato tali dipendenze. Tuttavia, il meccanismo generale che governa se le misure di non-markovianità siano sensibili allo stato specifico di un serbatoio fermionico, in particolare per hamiltoniane quadratiche arbitrarie, non era stato stabilito. Questo lavoro affronta il vuoto nella comprensione di come diverse misure di non-markovianità rispondano alla temperatura e al potenziale chimico di un serbatoio fermionico quadratico.

Metodologia
Gli autori analizzano un singolo sito fermionico accoppiato a un serbatoio di $K$ siti fermionici tramite un'arbitraria hamiltoniana quadratica, che include sia termini normali che di accoppiamento (pairing). Il sistema e il bagno sono inizialmente non correlati e lo stato del bagno è assunto come parità-pari (che commuta con l'operatore di parità), una condizione soddisfatta dagli stati di Gibbs termici.

Derivazione Analitica: Gli autori derivano l'equazione master tempo-locale esatta e la mappa dinamica per il sistema ridotto. Dimostrano che, per sistemi fermionici quadratici, la mappa dinamica assume una forma affine in cui lo stato del bagno entra solo attraverso un singolo termine scalare, $Z_\beta(t)$ , che rappresenta uno spostamento indipendente dallo stato lungo l'asse $\hat{\sigma}_z$ .
Analisi delle Misure: Applicano questa struttura dinamica a cinque distinte misure di non-markovianità:
- BLP: Basata sulla distanza di traccia tra stati in evoluzione.
- LPP: Basata sul volume degli stati accessibili (determinante della matrice di Bloch).
- MSV: Basata sulla divergenza di Jensen–Shannon quantistica (QJSD).
- RHPE: Basata sull'entanglement con un ancilla.
- RHP: Basata sulla divisibilità della mappa dinamica.
Modello Specifico: Per validare i risultati analitici, gli autori modellano il serbatoio come una catena di fermioni liberi semi-infinità (mappata da una catena di spin XX tramite trasformazione di Jordan–Wigner). Derivano i propagatori esatti e i kernel di rumore per questo modello, considerando regimi sopra, su e sotto la soglia dello stato legato (bound-state threshold).
Simulazione Numerica: Vengono eseguite estese simulazioni numeriche attraverso un ampio intervallo di temperature e potenziali chimici per valutare le cinque misure.

Contributi Chiave e Risultati

Indipendenza dallo Stato del Bagno di BLP e LPP: Il principale risultato teorico (Teorema 1) dimostra che le misure BLP e LPP sono strettamente indipendenti dallo stato del serbatoio. Poiché queste misure si basano sulla distanza di traccia o sul volume della sfera di Bloch, esse dipendono solo dalla parte lineare della mappa affine. Lo spostamento dipendente dal bagno ( $Z_\beta(t)$ ) si cancella nel calcolo della distanza di traccia tra coppie di stati e non influenza il determinante della matrice di Bloch. Di conseguenza, queste misure sono invarianti rispetto alle variazioni di temperatura e potenziale chimico per qualsiasi hamiltoniana fermionica quadratica.
Dipendenza dallo Stato del Bagno di MSV, RHPE e RHP: Al contrario, gli autori dimostrano che le misure MSV, RHPE e RHP rimangono sensibili allo stato del serbatoio.
- La misura MSV dipende dall'occupazione media della coppia di stati, che è traslata da $Z_\beta(t)$ . L'analisi teorica mostra che la QJSD cresce man mano che la coppia si allontana dal semipieno (half-filling), una condizione direttamente influenzata da $T$ e $\mu$ .
- La misura RHP (divisibilità) dipende dai singoli tassi di decadimento $\Lambda_\pm(t)$ , che mantengono una dipendenza esplicita dalla funzione di distribuzione del bagno $f(\omega)$ . Gli autori derivano un limite inferiore indipendente dal bagno per questa misura, mostrando che l'eccesso di non-markovianità deriva specificamente dalla variazione del bordo di Fermi all'interno della banda spettrale.
- La misura RHPE (entanglement) dipende similmente dallo stato del bagno attraverso la concorrenza, che è sensibile alla popolazione termica del bagno.
Fenomeni di Soglia: I risultati numerici rivelano un regime critico alla soglia dello stato legato ( $|E| = \Omega - \Gamma/2$ ). In questo regime, le misure BLP e LPP scompaiono identicamente (indicando un comportamento markoviano rispetto alla distanza di traccia), mentre le misure sensibili al bagno (MSV, RHP, RHPE) rimangono finite. Ciò dimostra che la "markovianità" di un sistema è dipendente dalla misura; un sistema può apparire markoviano per le misure basate sulla distanza di traccia, pur presentando caratteristiche non-markoviane rilevabili da misure entropiche o basate sulla divisibilità a causa della traslazione del bagno della sfera di Bloch.
Dipendenza dal Potenziale Chimico: Le scansioni del potenziale chimico confermano che, mentre BLP e LPP rimangono costanti, le altre tre misure variano significativamente, particolarmente quando il bordo di Fermi giace all'interno della banda spettrale del serbatoio.

Significato
Il lavoro stabilisce una distinzione fondamentale in come la non-markovianità venga percepita a seconda del quantificatore scelto nei sistemi fermionici quadratici. Gli autori dimostrano che l'indipendenza di BLP e LPP dai parametri del bagno è una proprietà strutturale della dinamica fermionica quadratica, che si basa sulla natura affine della mappa e sulla condizione di parità-pari del bagno. Questa scoperta chiarisce precedenti osservazioni numeriche in modelli specifici ed estende tali risultati ad arbitrarie hamiltoniane quadratiche.

Il lavoro evidenzia che la "non-markovianità" di un sistema non è una proprietà assoluta, ma è relativa alla misura utilizzata. Nello specifico, identifica un regime di parametri in cui le misure standard di distanza di traccia scompaiono, mentre altre misure rilevano la non-markovianità guidata interamente dallo stato termico del bagno. Gli autori osservano che questa indipendenza è specifica per i sistemi fermionici quadratici e non si estende ai modelli quadratici bosonici (dove la dipendenza dalla temperatura è nota), suggerendo una differenza fondamentale nei meccanismi di flusso di informazione tra ambienti fermionici e bosonici. I risultati implicano che, per i sistemi fermionici quadratici, qualsiasi osservata dipendenza di BLP o LPP dai parametri del bagno richiederebbe interazioni non-quadratiche o correlazioni iniziali sistema-bagno.

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