A Model-Based Restricted Shapley Value to Measure the Players' Contribution to Shot Actions in Football

この論文は、サッカーのシュート動作における選手の貢献度を評価するため、パスネットワークに基づく「期待ゴールアクション（xGA）」と、戦術的に許容される協力関係のみを考慮した「制限付きシャープリー値（PRS）」を組み合わせた新たな分析枠組みを提案し、セリエA 2022/23シーズンのデータを用いてその有効性を検証したものである。

要約

この論文は、サッカーの「誰がゴールに貢献したか」を測る新しい方法について書かれたものです。従来の「ゴール数」や「アシスト数」だけでは見えない、チームプレーの奥深さを解き明かすための画期的なアプローチが提案されています。

わかりやすく説明するために、**「サッカーを巨大な料理作りに例えて」**解説しましょう。

1. 従来の評価の限界：「料理人の評価」の問題

これまでサッカー選手を評価するときは、**「誰が最後に味付け（シュート）をして、皿に盛ったか（ゴールしたか）」**で判断されがちでした。

• ゴール（G）: 最後の一口を食べた人。
• アシスト: 最後の食材を渡した人。

しかし、これでは「美味しい料理（良いシュート）」を作るために、**「野菜を洗った人」「包丁で切った人」「炒めた人」**の貢献度が無視されてしまいます。チームワークで生まれたゴールなのに、最後にシュートした人だけが評価されるのは、料理の味を「最後の一口」だけで判断しているようなものです。

2. 新しい指標「xGA（期待ゴールアクション）」：料理の「完成度」を測る

この論文では、まず**「xGA（期待ゴールアクション）」**という新しい概念を導入しました。

• 従来の xG（期待ゴール）: 「シュートした瞬間、どのくらいゴールしやすかったか？」を測るもの。
• 新しい xGA: 「そのシュートに至るまでの一連のパスや動き全体が、どのくらいゴールに近い状態を作ったか？」を測るもの。

これは、単に「最後の一口」だけでなく、「野菜を洗うところから炒めるまでの一連の流れ」が、いかに美味しく（ゴールに近い状態に）なったかを評価するものです。パスの回数、選手の動き、戦術的な配置など、すべての要素を考慮して「この攻撃はゴール確率が高い！」と点数化します。

3. 核心となる「PRS（制限付きシャープリー値）」：料理チームへの公平な分配

ここがこの論文の最も面白い部分です。美味しい料理（ゴールに近い攻撃）が完成したとき、**「その功績をチームメンバー全員にどう公平に分けるか？」**という問題があります。

ここで登場するのが、経済学やゲーム理論の**「シャープリー値」**という考え方です。

• 普通のシャープリー値: 「もしこの人がいなければ、料理はどうなる？」を、ありとあらゆる組み合わせ（11 人全員がいない場合、10 人、9 人…）で計算します。
• この論文の「制限付き（Restricted）」シャープリー値: サッカーは現実的に、**「11 人全員が同時にボールを触ることはありえない」し、「監督が特定の戦術（特定のメンバーの組み合わせ）しか使わない」**という制約があります。

そこで、**「実際に試合で観測されたパスのつながり（誰が誰にパスしたか）」という「現実的な組み合わせ」だけを対象に、公平に貢献度を計算しました。
これを「PRS（プレイヤー・リストレックト・シャープリー）」**と呼びます。

イメージ：

• 料理が成功したとき、「最後に味付けした人」だけでなく、「野菜を切った人」「炒めた人」も、その料理の美味しさにどれだけ寄与したかを、**「実際にその料理を作った時のメンバー構成」**に基づいて公平に配分する計算です。

4. 実証結果：ミラノとナポリの分析

この新しい計算方法を、2022/23シーズンのセリエ A（イタリアリーグ）のデータに当てはめてみました。

• オシムヘン（ナポリ）: 得点王ですが、単にゴールを決めただけではなく、攻撃の起点となる「料理の完成度」自体を高める貢献度が非常に高いことがわかりました。
• AC ミランの選手たち: ゴールを決められなくても、攻撃の組み立て（下準備）に大きく貢献している選手（例：トモリやルイ・ダ・シウバなど）が、高い評価を得ました。逆に、ゴールは決めるが、チームの攻撃の流れにはあまり貢献していない選手も浮き彫りになりました。

5. なぜこれが重要なのか？

この新しい指標を使うと、以下のようなことがわかります。

• 「隠れた功労者」の発見: ゴール数やアシスト数は低くても、チームの攻撃を「美味しい状態」に導くために不可欠な選手を発見できます。
• 公平な評価: 「最後の一口」だけでなく、「一連の調理工程」全体を評価することで、選手への報酬やスカウト活動がより合理的になります。
• 戦術の可視化: 「このチームは、守備の選手が攻撃の起点になっている」といった、数字からは見えにくい戦術的な特徴を捉えられます。

まとめ

この論文は、サッカーを**「個人のスター選手の活躍」ではなく「チームという協働プロジェクト」**として捉え直しました。

「誰がゴールを決めたか」だけでなく、**「誰が、どのように、ゴールに近い状態を作り出したか」**を、数学的に公平に測る新しい「料理の味見の基準」を提案したのです。これにより、クラブはより賢く、持続可能な形で選手を評価し、チームを強化できるようになるでしょう。

技術概要

論文「A Model-Based Restricted Shapley Value to Measure the Players'Contribution to Shot Actions in Football」の技術的サマリー

本論文は、サッカーにおけるシュートに終わる攻撃アクション全体に対する選手個人の貢献度を評価するための新しい枠組みを提案しています。従来の個人統計や期待ゴール（xG）モデルの限界を克服し、チームの協力的な性質（パスネットワークやビルドアップ）を明示的に考慮した「期待ゴールアクション（xGA）」と、協力ゲーム理論に基づく「プレイヤー制限シャープリー値（PRS）」統計を導入しています。

以下に、問題設定、手法、主要な貢献、結果、および意義について詳細をまとめます。

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1. 問題設定と背景

• 既存の指標の限界:
  • 従来のゴール数やアシスト、あるいは期待ゴール（xG）は、個々の選手の決定力やシュート瞬間の質を評価するには有用ですが、**攻撃の文脈（ビルドアップ、パスの連鎖、チームワーク）**を十分に反映していません。
  • 既存の拡張指標（xGChain, xGThreat など）は集団的な貢献を捉えようとしますが、計算が複雑であったり、実際のパスの質や個々の選手の寄与を過大評価・過小評価する傾向がありました。
• 協力ゲームの特性:
  • サッカーは本質的に協力的なゲームであり、特定の攻撃アクションは 1 人の選手だけでなく、複数の選手による連携（パスネットワーク）によって生み出されます。
  • 従来のシャープリー値（Shapley value）の適用では、すべての可能な選手グループ（Coalition）が観測可能であるという仮定が必要ですが、実際のサッカーではコーチの戦術や選手の役割により、観測されるグループは限定的（制限された）であり、ランダムに生成されるわけではありません。

2. 提案手法

本研究は、以下の 2 つの主要な構成要素からなる新しいフレームワークを提案しています。

A. 期待ゴールアクション（Expected Goal Action: xGA）モデル

• 目的: シュートそのものだけでなく、シュートに至るまでの攻撃アクション全体の質を評価する「結束関数（worth function）」を定義する。
• 特徴:
  • 従来の xG モデル（シュートの位置や角度のみ）に加え、ビルドアップの文脈を特徴量として追加します。
  • 使用特徴量: シュート位置（X, Y）、シュート角度に加え、最初のパスの位置、パス回数、関与選手数、平均パス距離、関与選手のオフensive パフォーマンス指数（Sofifa データから算出）、試合状況（オープンプレイ、フリーキック等）など。
  • モデル: 不均衡データ（ゴールは稀な事象）に対応するため、相補的ロジスティック回帰（BR cloglog）と XGBoost の 2 つの分類モデルを比較・評価し、XGBoost を採用しました。
  • 結果: xGA モデルは、従来の xG モデルと比較して、MCC（マシューズ相関係数）、Precision、F1 スコア、Specificity において有意な改善を示しました。

B. プレイヤー制限シャープリー値（Player's Restricted Shapley: PRS）統計

• 理論的基盤: 協力ゲーム理論のシャープリー値を、サッカーの「制限された協力構造」に適応させたもの。
• 制限の概念:
  • 従来のシャープリー値は、すべての可能な選手サブセットを考慮しますが、現実のサッカーでは、特定の戦術やポジション制約により、観測可能なパスネットワーク（Coalition）のみが有効です。
  • PRS は、**観測されたパスネットワークに基づいて形成された「制限されたグループ」**のみを考慮し、その中で各選手の限界貢献度を計算します。
• 計算プロセス:
  1. 各シュートアクションにおける関与選手からなるグループ（Coalition）を特定。
  2. xGA モデルで推定されたシュート確率の合計を、そのグループの価値（worth）として定義。
  3. 観測されたグループ構造に基づき、各選手の限界貢献度を重み付け平均して算出。
• 統計的推論:
  • モデル推定誤差やサンプリングの不安定性を考慮するため、ブートストラップ法（B=1,000 回）を用いて標準誤差を算出。
  • PRS 統計量 = （推定された制限シャープリー値）/ （ブートストラップ標準誤差）として定義。これは「信号対雑音比（Signal-to-Noise Ratio）」として解釈でき、推定値の安定性を考慮した次元のない指標となります。

3. 主要な貢献

1. 文脈を考慮した貢献度指標の確立:
   • シュート単体の質だけでなく、ビルドアップやパスの連鎖を含む「攻撃アクション全体」の価値を評価する xGA を提案。
   • これにより、決定力だけでなく、攻撃の構築に寄与する選手の役割を定量化可能にしました。
2. 制限された協力構造へのシャープリー値の適応:
   • サッカーのような、観測可能なグループが限定的で非ランダムな環境において、シャープリー値を適用するための「制限シャープリー値（Restricted Shapley）」の定式化と、その推定手法（PRS）を開発しました。
   • 従来の「チーム全体」や「全試合」ベースの評価ではなく、個々の攻撃アクション単位での貢献度を解釈可能にしました。
3. 統計的頑健性の確保:
   • ブートストラップ法を用いて推定値の標準誤差を算出し、PRS 統計量として提示することで、選手間の比較における不確実性を考慮した評価を可能にしました。

4. 実証分析と結果

• データ: イタリア・セリエ A 2022/23 シーズンの 8,421 件のシュートアクション（AC ミランと SSC ナポリの 2 チームに焦点を当てたケーススタディ）。
• xGA モデルの性能:
  • XGBoost を使用した xGA モデルは、従来の xG モデルに対し、MCC で +10.5%、Precision で +7.1% の改善を示し、稀な事象（ゴール）の予測精度が向上しました。
• 選手貢献度の分析結果:
  • AC ミラン: Olivier Giroud（FW）と Rafael Leão（FW）が高い PRS 値を示し、攻撃の中心であることが確認されました。また、Fikayo Tomori（DF）や Theo Hernández（DF）など、ディフェンダーも高い貢献度を示し、守備からのビルドアップへの関与が評価されました。
  • SSC ナポリ: Victor Osimhen（FW）が全選手中最も高い PRS 値を示し、攻撃の核であることを裏付けました。
  • 異質性の発見: 同一チーム内でも、攻撃への関与度（PRS）とゴール効率（G90 - xG90）の間に大きな乖離が見られました。
    • 高 PRS / 低ゴール効率: 攻撃の構築に大きく貢献するが、決定力に課題がある選手（例：De Ketelaere, Tomori）。
    • 低 PRS / 高ゴール効率: 攻撃の構築には関与が少ないが、決定力に長けた選手（例：Messias, Bennacer）。
    • この分析により、コーチやスカウティング担当者が、選手の「協力的な役割」と「個人の決定力」をバランスよく評価する手助けとなりました。

5. 意義と将来展望

• 実務への応用:
  • 選手スカウティングやリソース配分において、伝統的な統計では過小評価されがちな「ビルドアップの貢献者」を特定できるため、経済的に持続可能な意思決定を支援します。
  • プレイヤーの多面的な評価（協力的関与 vs 決定力）が可能になり、戦術的な選手起用やチーム編成の最適化に寄与します。
• 学術的意義:
  • 協力ゲーム理論をスポーツ分析、特に制限された協力構造を持つドメインに適用する新しいアプローチを示しました。
• 今後の課題:
  • シュートに至らないポゼッション（ボール保持）の連鎖への拡張。
  • トラッキングデータを用いたオフボールの動きや空間的相互作用のモデル化。
  • 複数シーズンや異なるリーグへのデータ拡張による汎用性の検証。

結論

本論文は、サッカーの攻撃アクションにおける選手貢献度を評価する際、**「文脈（ビルドアップ）」と「協力（パスネットワーク）」**を統合的に捉えるための革新的なフレームワークを提示しました。提案された PRS 統計は、単なるランキングではなく、不確実性を考慮した統計的に頑健な指標として、選手評価と戦術分析の新たな基準となり得ます。