Machine learning of measurement schemes for efficient quantum observable estimation

기술 요약: 효율적인 양자 관측량 추정을 위한 측정 스킴의 머신러닝

문제 정의
관측량의 기댓값을 추정하는 것은 양자 컴퓨팅, 특히 변분 양자 고유치 솔버(VQE)와 같은 근미래 알고리즘에서 매우 중요한 하위 루틴입니다. 그러나 양자 측정의 파괴적인 특성으로 인해 양자 상태를 여러 번 반복해서 준비해야 하며(shots), 이는 성능 병목 현상을 야기합니다. 관측량은 일반적으로 파울리 스트링의 합($O = \sum_j a_j P_j$)으로 분해되는데, 단순한 추정 방식은 계수의 $L_1$ 노름($\|\vec{a}\|_1$)에 대해 이차적으로 증가하는 수의 측정을 필요로 합니다. 기존의 비용 절감 방법들은 크게 두 가지 범주로 나뉩니다:

1. 그룹화 방법 (예: LDF, OGM): 이들은 소수의 측정 그룹에 대한 확률 분포를 출력합니다. 이들은 종종 수작업으로 설계된 휴리스틱에 의존하며, 지수적으로 많은 항을 포함하는 분자 해밀토니안 문제를 다루는 데 어려움을 겪습니다.
2. 클래식 섀도우 방법 (예: LBCS): 이들은 모든 파울리 측정에 대한 분포를 사용합니다. 확장성은 뛰어나지만, 복잡한 분자 시스템에 대해 최적의 샷 효율성을 달est하기에는 구조가 단순하여 한계가 있습니다.

핵식적인 과제는 고정된 휴리스틱에 의존하지 않고, 더 나은 샷 효율성을 달성하기 위해 측정 스킴의 표현력을 어떻게 향상시킬 것인가 하는 점입니다.

방법론
저자들은 머신러닝, 구체적으로는 확률적 경사 하강법(SGD)과 이중 시간 척도 업데이트 규칙(TTUR)을 사용하여 관측량 구조로부터 직접 측정 스킴을 학습하는 프레임워크를 제안합니다.

1. 복합 측정 스킴 (Composite Measurement Scheme, CMS):
   저자들은 "측정 스킴"을 일련의 측정을 생성하는 생성기로 정의합니다. 이들은 학습 가능한 혼합 확률 분포 $\vec{r}$을 통해 여러 개의 단순한 측정 스킴(서브 스킴)을 결합하는 복합 측정 스킴을 도입합니다.

• C-LBCS (Composite-Locally Biased Classical Shadow): 구체적인 구현으로서, 저자들은 C-LBCS를 제안합니다. 이 방법은 국소 편향 클래식 섀도우(LBCS) 스킴들의 혼합을 학습합니다. 각 서브 스킴 $S_k$는 조정 가능한 큐비트별 파울리 분포 $\{\beta^k_i\}$를 가진 LBCS입니다. 복합 스킴은 $\vec{r}$에 따라 서브 스킴을 샘플링한 다음, 해당 서브 스킴의 분포를 기반으로 파울리 스트링을 생성합니다.

2. 비용 함수 (평균 단일 샷 분산):
   대상 양자 상태에 대한 지식 없이 스킴을 최적화하기 위해, 저자들은 전체 힐베르트 공간(Haar 측도 사용)에 대한 평균 단일 샷 분산을 기반으로 하는 비용 함수 $V$를 정의합니다.

• 비용 함수는 $V = \sum_j a_j^2 \frac{1}{h_j}$로 유도됩니다. 여기서 $h_j$는 $j$번째 파울리 항이 스킴에 의해 "커버(covered)"되는 평균 확률입니다.
• C-LBCS의 경우, $h_j$는 $\sum_k r_k h^k_j$로 분해되며, 여기서 $h^k_j$는 $k$번째 서브 스킴의 커버리지 확률입니다. 이러한 구조를 통해 혼합 가중치 $\vec{r}$과 서브 스킴 파라미터 $\{\theta^k_i\}$ 모두에 대해 비용 함수를 최적화할 수 있습니다.

3. 최적화 전략:
   전체적인 최적화 지형은 비볼록(non-convex)하지만, 혼합 가중치 $\vec{r}$과 커버리지 확률 $\{h^k_j\}$에 대해서는 이볼록(bi-convex) 구조를 보입니다. 이를 탐색하기 위해 저자들은 다음을 채택합니다:

• 그래디언트 재스케일링 (Gradient Rescaling): 학습 중에 혼합 가중치가 낮은($r_k \approx 0$) 서브 스킴이 "얼어붙는(frozen out)" 것을 방 তা기 위해, 서브 스킴 파라미터에 대한 그래디언트를 $1/r_k$로 재스케일링합니다.
• 이중 시간 척도 업데이트 규칙 (TTUR): GAN 학습에서 영감을 얻은 이 규칙은 $\vec{r}$과 $\{\theta^k_i\}$를 서로 다른 학습률로 업데이트하여(구체적으로 $\vec{r}$의 학습률을 서브 스킴 파라미터보다 10배 작게 설정) 수렴을 안정화합니다.
• 확률적 경사 하강법 (SGD): 수천 개의 항을 가진 관측량(전자 구조 문제에서 흔함)을 처리하기 위해, 훈련 시 파울리 항의 미니 배치를 사용하여 확장성과 GPU 가중에 대응합니다.

주요 결과
저자들은 작은 분자부터 CO$_2$ (30 큐비트, 약 11,000개 항)에 이르는 분자 시스템에 대해 C-LBCS의 효능을 수치적으로 입증했습니다.

• 성능: C-LBCS는 다양한 분자 해밀토니안(LiH, H$_6$, H$_2$O, NH$_3$, N$_2$, C$_2$H$_2$, C$_2$H$_4$, CO$_2$)과 인코딩 변환(Jordan-Wigner 및 Bravyi-Kitaev)에 대해 Derandomized Classical Shadow (Derand), Overlapped Group Measurement (OGM), ShadowGrouping (SG)를 포함한 최첨단 방법들을 일관되적으로 능가합니다.
• 확장성: 이 방법은 서브 스킴의 수에 따라 효과적으로 확장됩니다. 서브 스킴의 수를 늘리면 분산을 체계적으로 줄일 수 있으며, OGM의 그룹 수와 유사한 수의 서브 스킴을 사용할 때도 SG를 능가하는 성능을 보여줍니다.
• 강건성: 훈련은 전체 항의 1/128 수준까지 작은 배치 크기에서도 강건하게 작동하며, 이는 대규모 관측량에 대한 적합성을 나타냅니다. 절제 연구(ablation studies)를 통해 그래디언트 재스케일링과 TTUR이 최상의 결과를 얻는 데 모두 필수적임을 확인했습니다.
• 효율성: 탐욕적 순차 방식(SG와 같은)과 달리, C-LBCS 훈련은 GPU에서 완전히 병렬화가 가능합니다. 훈련 후 측정을 생성하는 클래식 오버헤드는 $O(n_S + n_q)$로 낮습니다. 또한, 훈련에 드는 일회성 비용은 일반적인 VQE 워크플로우 내의 많은 측정 라운드에 걸쳐 분산됩니다.

의의 및 주장
본 논문은 "대규모 양자 시스템에서 효율적인 관측량 추정을 향한 신뢰할 수 있고 확장 가능한 경로"를 열었다고 주장합니다.

• 휴리스틱에서 학습으로의 전환: 주요 기여는 수작업으로 설계된 상향식(bottom-up) 휴리스틱에서 특정 관측량에 대해 직접 최적화하는 하향식(top-down) 엔드 투 엔드 학습 프레임워크로 패러다임을 전환한 것입니다.
• 보편성: 저자들은 C-LBCS가 보편적임을 증명합니다. $3^{n_q}$개의 서브 스킴이 있다면 모든 큐비트에 비자명하게 작용하는 모든 파울리 측정 분포를 시뮬레이션할 수 있습니다. 다만, 실제로는 최첨단 효율성을 달성하기 위해 훨씬 적은 수의 서브 스킴이 필요하다는 점을 언급합니다.
• 실용성: 이 방법은 대상 양자 상태에 대한 사전 지식 없이도 근미래 양자 알고리즘의 측정 효율성 병목 현상을 해결합니다. 저자들은 비용 함수가 무한한 측정 한계에서 정의되었음에도 불구하고, 훈련된 스킴이 테스트된 시스템들에 대해 유한한 샷 환경에서도 우수한 성능을 제공한다는 점을 강조합니다.

저자들은 비용 함수가 무한 측정 한계를 가정하고 있다는 점에 대해 겸허한 태도를 유지합니다. 즉, 총 측정 예산이 항의 수에 비해 매우 적은 경우, 훈련된 스킴이 해당 특정 유한 예산에 대해 엄격하게 최적은 아닐 수 있습니다. 또한, 이 접근 방식은 대상 상태를 모른다는 가정을 따르는데, 이는 VQE에서는 표준적이지만 비용 함수가 상태 독립적이어야 함을 의미합니다.