A primer on optimal transport for causal inference with observational data

위대한 탐정 게임: 숨겨진 원인 밝히기

당신이 미스터리를 풀려는 탐정이라고 상상해 보세요. 하지만 반전이 있습니다. 당신은 범죄가 일어난 후에만 현장을 볼 수 있으며, 용의자의 행동을 실시간으로 목격할 기회는 전혀 없었습니다. 이것이 바로 과학자들이 **인과관계(causality)**를 이해하기 위해 겪는 일상의 사투입니다. 즉, 어떤 일이(예: 새로운 약을 복용하거나 공장을 짓는 것) 실제로 다른 일(예: 병이 낫거나 지역 경제가 변하는 것)을 유발했는지를 밝혀내는 과정입니다. 문제는 우리가 두 가지 버전의 현실을 동시에 볼 수 없다는 점입니다. 우리는 약을 복용한 사람과 복용하지 않은 '동일한' 사람이 나란히 서서 누가 병에 걸리는지 비교하는 장면을 볼 수 없습니다. 우리는 오직 하나의 경로만을 볼 수 있을 뿐입니다.

이를 해결하기 위해 통계학자들은 서로 다른 집단들을 비교하여, 처치를 받은 사람들의 완벽한 쌍둥이 역할을 할 수 있는 '대조군(control group)'을 찾기 위한 도구 상자를 개발했습니다. 하지만 종종 이 집단들은 완벽한 쌍둥이가 아닙니다. 숨겨진 차이점(예: 동기 부여나 유전적 요인)이 있어 비교를 망쳐놓곤 합니다. 수십 년 동안 연구자들은 이를 해결하기 위해 영리한 수학적 기교를 사용해 왔지만, 그들이 모두 동일한 비밀 무기를 사용하고 있다는 사실은 깨닫지 못하는 경우가 많았습니다. 그 무기가 바로 **최적 운송(Optimal Transport)**입니다. 이것을 궁극의 물류 퍼즐이라고 생각해보세요. 한 곳에 쌓인 모래 더미와 다른 곳에 쌓인 모래 더미가 있을 때, 첫 번째 더미를 최소한의 에너지로 사용하여 두 번째 더미의 모양과 완벽하게 일치하도록 옮기는 과정입니다. 이 논문은 모래를 옮기는 데 사용되는 수학이 우리가 세상의 인과관관계를 파악하기 위해 사용하는 가장 중요한 방법들의 숨겨진 토대임을 밝혀냅니다.

논문의 핵심 폭로: 숨겨진 지도

이 논문에서 플로리안 군실리우스(Florian Gunsilius)는 가이드가 되어, 복잡한 **인과 추론(causal inference)**의 세계와 최적 운송(optimal transport)(확률 분포를 효율적으로 이동시키는 수학)이 사실은 수년간 서로 다른 언어로 말해왔을 뿐인 오래된 친구라는 점을 보여줍니다. 저자는 경제학자와 통계학자들이 통제된 실험을 할 수 없는 관측 데이터(observational data)를 분석하기 위해 수십 년 동안 사용해 온 많은 표준 도구들이, 설령 연구자들이 알지 못했더라도 비밀스럽게 최적 운송의 원리에 기반을 두고 있다고 주장합니다.

이 논문은 단순히 이러한 연결 고리를 지적하는 데 그치지 않고, 이 연결을 깨닫는 것이 더 좋고 강력한 도구를 만드는 데 도움이 될 수 있음을 시사합니다. 저자가 발견하고 설명하는 내용은 다음과 같습니다.

1. "단조 재배열(Monotone Rearrangement)"은 비법 소스다
논문은 **단조 재열(monotone rearrangement)**이라는 개념으로 시작합니다. 서로 다른 수준의 "숨겨진 능력"(관찰할 수 없는 특성)을 가진 사람들을 나타내는 카드 덱이 있고, 이 능력이 어떻게 "소득"으로 전환되는지 보고 싶다고 가정해 봅시다. 만약 높은 능력이 항상 높은 소득으로 이어진다는 규칙(단조성)을 가정한다면, 가장 낮은 능력을 가진 사람을 가장 낮은 소득자에게, 두 번째로 낮은 능력을 가진 사람을 두 번째로 낮은 소득자에게 배치하는 식으로 간단히 줄을 세울 수 있습니다. 이것은 숨겨진 특성과 결과 사이의 완벽한 지도를 만듭니다.
저자는 이 단순한 "줄 세우기"가 사실 특정 유형의 최적 운송 문제라는 것을 보여줍니다. 이 통찰은 강력합니다. 왜냐하면 연구자들이 처치의 평균적인 효과뿐만 아니라, 서로 다른 사람들이 어떻게 영향을 받는지에 대한 전체적인 이야기까지 식별할 수 있게 해주기 때문입니다. 예를 들어, 최저임금에 관한 유명한 논쟁에서 어떤 연구는 임금 인상이 일자리를 해친다고 했고, 다른 연구는 도움이 된다고 했습니다. 이 "최적 운송" 관점을 사용함으로써, 연구자들은 진실이 그 중간에 있다는 것을 발견했습니다. 임금 인상이 작은 식당에는 도움이 되었지만 큰 식당에는 해가 되었다는 것입니다. 평균치는 실제 이야기를 숨기고 있었지만, 운송 지도는 그 이야기를 드러냈습니다.

2. 도구를 이용해 "나쁜 쌍둥이" 문제 해결하기
때로는 완벽한 대조군을 찾을 수 없습니다. 왜냐로 처치를 선택하는 사람들이 처치를 받지 않는 사람들과 다르기 때문입니다(이를 내생성이라 합니다). 이를 해결하기 위해 연구자들은 **도구 변수(instrumental variables)**를 사용합니다. 이는 처치를 받는 데 영향을 주지만 결과에는 직접적인 영향을 주지 않는 제3의 요인입니다.
논문은 이러한 도구들이 작동하게 만드는 수학 또한 최적 운송에 기반하고 있음을 설명합니다. 구체적으로, **고정점 반복(fixed-point iteration)**이라는 방법을 소개합니다. 두 집단 사이의 만남의 장소를 찾는 과정을 상상해 보세요. 한 지점에서 시작하여 다른 집단을 향해 움직였다가, 다시 돌아오기를 반복하며, 두 집단이 정렬되는 지점에 안착할 때까지 이 "탁구" 동작을 계속 반복합니다. 논문은 이 수학적 "탁구"가 확률 분포를 이동시키는 역동적인 시스템(Brenier map과 같은)이라는 것을 보여줍니다. 이는 데이터가 지저분할 때도 연구자들이 인과 효과를 식별할 수 있도록 돕지만, 저자는 여러 변수를 동시에 다룰 때 매우 복잡해질 수 있다고 언급합니다.

3. "모래 더미"를 이용한 합성 쌍둥이 만들기
또 다른 인기 있는 방법은 **합성 대조군(Synthetic Controls)**입니다. 이는 여러 실제 단위들을 혼합하여 가짜 "대조 단위"를 만드는 방식입니다(예를 들어 캘리포니아, 텍사스, 뉴욕의 일부를 섞어 가짜 주를 만들어, 처치가 없었더라면 어땠을지를 보는 것).
논문은 이를 바세르슈타인 바리센터(Wasserstein barycenters), 즉 "모래 더미의 평균"을 구하는 세련된 방식으로 연결합니다. 단순히 숫자를 평균 내는 대신, 전체 분포(모양)를 평균 냅니다. 저자는 이 운송 기반 접근 방식을 사용함으로써, 데이터의 평균뿐만 아니라 전체적인 형태를 일치시키는 "분포적 합성 대조군"을 만들 수 있다고 제안합니다. 이는 사람들이 시간에 따라 변하는 경우(예: 식당이 열리고 닫히는 경우)에 유용하며, 기존 방식은 어려움을 겪는 부분입니다.

4. 쌍둥이가 맞지 않을 때: 불균형 운송
마สุดท้าย로, 논문은 흔한 문제를 다룹니다. 처치 그룹과 대조 그룹이 너무 달라서 모두를 위한 짝을 찾을 수 없다면 어떻게 될까요? 표준적인 "최적 운송"은 한 더미의 모든 모래 알갱이를 다른 더미로 옮겨야 한다고 요구하므로, 연구자들이 실제로는 유사하지 않은 사람들까지 억지로 매칭하게 만들어 잘못된 추측을 유도할 수 있습니다.
저자는 **불균형 최적 운송(unbalanced optimal transport)**을 제안합니다. 이것을 로그스틱스 시스템이라고 생각하면 쉽습니다. 만약 더미들이 완벽하게 일치하지 않는다면, 일부 모래를 남겨두거나 약간의 모래를 추가하는 것을 허용하는 방식입니다. 이 방법은 잘못된 매칭을 강요하는 대신, 적절한 짝이 없는 사람들을 자동으로 제외합니다. 논문은 이 방식이 완벽한 매칭이 드문 실제 연구에서 더 정확한 결과를 가져올 수 있다고 제안하지만, 기존 방법보다 정확히 얼마나 더 나은지에 대해서는 추가 연구가 필요하다고 명시합니다.

논문이 주의를 주는 점

저자는 이러한 연결 고리가 흥미롭기는 하지만, 마법의 지팡이는 아니라는 점을 분명히 합니다.

• 해결된 문제가 아닙니다: 논문은 이러한 방법들이 유망하며 오래된 문제들에 대한 새로운 사고방식을 제공한다고 제ง하지만, 최적 운송이 모든 인과 추론 문제를 해결한다고 주장하지는 않습니다. 오히려 일부 확장(예: 1차원에서 다차원으로 이동하는 것)이 수학적으로 까다로우며 항상 단순하지 않다는 점을 강조합니다.
• 가정이 여전히 중요합니다: "단조 재배열"(높은 능력이 항상 높은 소득을 의미한다는 생각)은 강력한 가정입니다. 논문은 이 가정이 틀릴 경우 지도가 깨진다고 언급합니다. 저자는 문제를 운송 문제로 바라봄으로써, 서로 다른 "비용 함수"(모래를 이동시키는 서로 다른 규칙)를 테스트하여 우리의 결론이 얼마나 견고한지 확인할 수 있다고 제안합니다.
• 데이터의 한계: 논문은 일부 가장 진보된 방법들(도구 변수를 위한 "고정점" 반복과 같은)이 연속적인 데이터 범위를 갖는 것과 같은 특정 수학적 조건에 의존한다는 점을 언급합니다. 만약 데이터가 너무 희소하거나 "덩어리져" 있다면, 이 화려한 방법들이 제대로 작동하지 않을 수 있습니다.

요약

궁극적으로 이 논문은 통합적인 지도입니다. 통계학자들이 "인과 추론의 근본적인 문제"(우리는 두 세계를 동시에 볼 수 없다)를 해결하기 위해 사용해 온 도구들이, 사실은 확률 분포를 이동시키는 물리학을 은밀히 사용해 왔음을 알려줍니다. 저자는 이러한 연결을 명시함으로써 경제학, 통계학, 머신러닝 사이의 언어를 통일하고, 세상이 어떻게 작동하는지 이해하는 데 있어 더 유연하고 새로운 길을 열고자 합니다. 이는 때때로 가장 강력한 통찰력이 서로 다른 퍼즐 조각들이 사실은 하나의 그림의 일부라는 것을 깨닫는 데서 온다는 점을 상기시켜 줍니다.