Symmetry-guided quantum state preparation: Branched-Subspaces Adiabatic Preparation (B-SAP)

기술 요약: 분기된 부분공간 아디아바틱 준비 (B-SAP)

문제 정의
양자 상태 준비는 물리학, 화학, 데이터 과학 분야의 복잡한 다체계(many-body systems)를 시뮬레이션하기 위한 근본적인 과제이다. 현재의 접근 방식들은 상당한 트레이드오프에 직면해 있다. 변분 양자 알고리즘(VQA)은 매개변수화된 안사츠(ansatz)와 고전적 최적화에 의존하는데, 이는 종종 "배리언 플래토(barren plateaus)"(지수적으로 소멸하는 기울기), 지수적으로 큰 매개변수 공간으로 인한 낮은 확장성, 그리고 국소 최솟값과 관련된 수렴 문제로 인해 어려움을 겪는다. 반대로, 아디아바틱 준비(AP)는 초기 상태를 시간 의존적 해밀토니안 하에서 진화시켜 타겟 상태에 도달한다. 개념적으로는 구별되지만, AP는 에너지 스펙트럼 갭에 매우 민선하다. 만약 에너지 준위가 교차하거나 시스템 크기에 따라 갭이 지수적으로 닫히면, 아디아바틱 정리는 특정 고유 상태(eigenstate)를 준비한다는 것을 보장하지 못하며, 종종 알려지지 않은 퇴화된 상태들의 중첩 상태를 결과로 초래한다. 이러한 한계는 광학 스펙트럼, 전하 이동 과정, 반응 중간체를 이해하는 데 필수적인 바닥 상태(ground state)와 들뜬 상태(excited state)의 동시 준비를 방해한다.

방법론: 분기된 부분공간 아디아바틱 준비 (B-SAP)
저자들은 VQA의 구조적 강점과 AP의 강점을 통합하면서, 군론적 구조와 고전적 후처리 과정을 통해 각각의 약점을 완화하는 하이브리드 알고리즘인 B-SAP를 제안한다.

1. 대칭 가이드 초기화: 퇴화를 피하기 위해 최소한의 대칭 그룹을 가진 초기 해밀토니안($H_0$)을 선택하는 일반적인 AP와 달리, B-SAP는 타겟 해밀토니안($H_T$)의 대칭 그룹을 부분군으로 포함하는 대칭 그룹을 가진 $H_0$를 선택한다. 결과적으로, 초기 에너지 스펙트럼은 높은 퇴화성을 나타낸다.
2. 매개변수화된 게이트를 통한 부분공간 탐색: 알고리즘은 에너지 준위 $E_n$에 대응하는 $H_0$의 퇴화된 고유 공간 $S(B_n)$을 식별한다. 일반적인 안사츠를 사용하는 대신, B-SAP는 이 부분공간 상에서 엔도모피즘(endomorphism)으로 작용하는 특정한 매개변수화된 유니터리 게이트 집합 $\{G_j(\alpha_j)\}$를 구성한다. 이 게이트들은 유니터리 그룹 $U(d_n)$(여기서 $d_n$은 부분공간 차원)의 생성자로부터 유도되며, 고정된 참조 상태에 대해 사상(mapping)이 전단사(bijective)가 되도록 코셋 공간 $U(d_n)/U(d_{n-1})$로 축소된다.
   • 결정적으로, 학습 가능한 매개변수의 수는 $2d_n - 1$(또는 전역 위상이 무관한 경우 $2(d_n-1)$)로 스케일링된다. 고려된 모델들에 대해 $d_n$이 시스템 크기 $L$에 대해 다항식으로 스케일링되므로, 매개변수 개수는 배리언 플래토를 초래하는 지수적 스케일링을 피할 수 있다.
3. 분기(Branching)를 동반한 아디아바틱 진화: 시스템은 $H_0$에서 $H_T$로 아디아바틱 진화를 거친다. $H(s)$의 대칭 그룹은 일정하게 유지되거나 감소하기 때문에(대칭은 깨지는 것이지 도입되는 것이 아니다), 기약 표현(irreducible representations, irreps)은 변하지 않거나 분기(branching)된다. 이 "분기" 구조는 일반적인 AP에서 발생하는 서로 다른 에너지 준위 간의 병합을 방지한다. 이 프로토콜은 스펙트럼 갭 조건이 모든 개별 고유 상태 사이가 아니라, 서로 다른 고유 공간들 사이에서만 충족되면 되도록 보장하여, 성공적인 준비를 위한 제약 조건을 완화한다.
4. 고전적 후처리 (MC-VQE): 최적화 병목 현상 없이 변분 매개변수를 최적화하기 위해, 저자들은 다중 상태 수축 변분 양자 고유치 알고리즘(Multistate-Contracted Variational Quantum Eigensolver, MC-VQE)을 사용한다.
   • 단일 상태를 최적화하는 대신, 알고리즘은 양자 레지스터 상에 중첩 상태 $|\Psi^p_{ml}\rangle$(기저 상태들의 중첩)를 준비한다.
   • 진화된 기저에서의 타겟 해밀토니안 $H_T$의 행렬 요소들을 측정하여 $d_n \times d_n$ 행렬 $[H_T]^{(n)}_{ml}$을 구성한다.
   • 이 행렬을 고전적으로 대각화하여 고유값과 타겟 고유 벡터의 계수를 얻는다.
   • 그런 다음, 준비된 상태와 고전적으로 유도된 타겟 벡터 사이의 중첩을 최대화하도록 변분 매개변수를 고전적으로 튜닝한다. 이는 최종 최소화 단계 동안 양자 회로를 사용할 필요를 없애주며, 손실 함수에 대한 알려진 전역 최솟값을 제공한다.

주요 기여

• 하이브리드 프레임워크: 본 논문은 휴리스틱 안사츠(VQA에서 흔히 나타나는)의 필요성과 엄격한 비교차 갭 요구 사항(AP에서 흔한)을 우회하는 새로운 알고리즘을 도입한다.
• 군론적 구성: 해밀토니안의 대칭 그룹의 표현론을 활용하여 특정 퇴화 부분공간을 효율적으로 탐색하는 매개변수화된 회로를 구성하며, 이를 통해 매개변수 수가 시스템 크기에 대해 다항식으로 스케일링되도록 보장한다.
• 준위 교차에 대한 견고성: 대칭이 도입되는 것이 아니라 깨지도록 아디아바틱 경로를 설계함으로써, 일반적인 아디아바틱 진화를 괴롭히는 우발적 퇴화를 방지하고 들뜬 상태의 준비를 가능하게 한다.
• 고전적 최적화 우회: MC-VQE의 통합은 작은 행렬의 고전적 대각화를 통해 들뜬 상태 정보를 추출할 수 있게 하여, 어려운 양자-고전 최적화 루프에 대한 의존도를 낮춘다.

결과
저자들은 양자 시뮬레이터(Qiskit)를 사용하여 시스템 크기 $L=10$ 큐비트까지의 1차원 XYZ 하이젠베르크 모델(주기적 경계 조건)을 통해 B-SAP를 검증하였다.

• 정확도: 알고리즘은 광범위한 결합 상수($J_x, J_y, J_z$) 범위에서 바닥 상태와 첫 4개의 들뜬 상태를 성공적으로 준비하였다.
• 오차 지표: 바닥 상태의 경우, 대부분의 매개변수 영역에서 무작위 상태 중첩($2^{-L}$)에 비해 오차(불충실도, infidelity)가 무시할 만한 수준이었으며, 이는 최소한의 트로터 스텝($L/2$)에서도 그러했다. 들뜬 상태의 경우, 오차는 일반적으로 10% 미만이었으며 종종 1% 미만이었다.
• 스케일링: 필요한 회로 깊이는 시스템 크기 $L$에 대해 다항식으로 스케일링된다.
• 비교: 동일한 모델 및 매개변수에 대해 표준 AP와 비교했을 때:
  • 표준 AP는 바닥 상태에 대해서는 유사한 성능을 보였으나, 대부분의 매개변수 영역에서 에너지 준위 교차로 인해 첫 번째 들뜬 상태 준비에 완전히 실패하였다.
  • B-SAP는 표준 AP가 실패한 지점에서 들뜬 상태를 성공적으로 준비하였으며, 이는 퇴화된 부분공간의 분기를 통해 준위 교차를 헤쳐 나가는 능력을 입증한다.

의의 및 주장
본 논문은 B-SAP가 정확도, 자원 효율성, 견고함 사이의 균형을 맞춤으로써 근접 양자 컴퓨팅 플랫폼을 위한 유망한 경로를 제공한다고 주장한다.

• 근접 시기 적합성: 회로 깊이와 매개한 매개변수의 다항식 스케일링은 이 알고리즘이 제한된 결맞음 시간(coherence time)과 연결성을 가진 장치에 적합함을 의미한다.
• 들뜬 상태 접근: 이 방법은 에너지 준위 교차와 최적화의 어려움으로 인해 일반적으로 접근하기 어려운 광학 스펙트럼 및 화학적 반응성을 결정하는 데 필수적인 고차 들뜬 상태의 신뢰할 수 있는 준비를 가능하게 함으로써 현재의 역량 격차를 해결한다.
• 향례 전망: 저자들은 이 접근법이 복잡한 물질, 화학, 장론 시스템의 양자 시뮬레이션으로 확장될 수 있다고 제안하며, 향-후 연구는 실제 하드웨어 배포를 위한 오차 완화 기술의 통합에 집중할 것이다. 본 논문은 모든 일반적인 양자 상태 준비 문제를 해결한다고 주장하는 것이 아니라, B-SAP를 알려진 대칭을 가진 다체 해밀토니안에 대한 구체적이고 효과적인 솔루션으로 포지셔닝한다.