Disordered purification phase transition in hybrid random circuits

기술 요약: 하이브리드 무작위 회로에서의 무질서에 의한 정화 상전이

문제 정의
혼합 상태에서의 측정 유도 상전이(MIPT) 및 정화 상전이(purification phase transitions)는 일반적으로 공간적으로 균일한 노이즈 또는 측정 확률을 가정하여 연구된다. 그러나 실제 양자 시스템에서는 노이즈와 측정 오차가 공간적 비균일성을 띠며 발생하는 경우가 많다. 무질서에 대한 임계점의 안정성은 통계 역학에서 잘 확립된 개념(해리스 기준(Harris criterion)에 의해 지배됨)이지만, 무작위 양자 회로 내 혼합 상태의 정화 상전이에 대한 구체적인 적용은 아직 충분히 탐구되지 않았다. 본 논문은 측정 확률과 유니터리 게이트 적용의 공간적 변조가 정화 상전이의 임계성과 보편성 클래스(universality class)에 미치는 영향을 조사한다.

방법론
저자들은 주기적 경계 조건을 가진 $L$개의 큐비트로 구성된 1차원 하이브리드 무작위 클리포드(Clifford) 회로를 연구한다. 회로의 진화는 다음의 교대 층으로 구성된다:

1. 무작위 유니터리 게이트: 인접한 큐비트에 작용하는 2-사이트 무작위 클리포드 게이트.
2. 투영 측정: 온-사이트 $Z_i$ 측정.

본 연구는 두 가지 뚜렷한 시나리오에 집중한다:

• 경우 I (균일): 모든 사이트가 동일한 측정 확률 $p$를 가짐.
• 경우 II (공간적 변조): 측정 확률 $p_i$가 $p_i \equiv w_i^n$($w_i$는 $[0,1]$ 범위의 균등 무작위 값이며 $n$은 평균 확률 $\bar{p}$를 제어함)에 따라 공간적으로 변함.
• 확장 (변조된 유니터리): 측정 확률은 균일하게 유지하면서, 2-사이트 무작위 클리포드 게이트의 적용을 준주기적(quasi-periodically)으로 변조하는 세 번째 시나리오.

후기 시간 정상 상태(late-time steady states)를 분석하기 위해 저자들은 두 가지 주요 관측량을 사용한다:

1. 로그 순도 ($S_P$): $-\log \text{Tr}[\rho^2]$로 정의되며, 정화 전이(볼륨 법칙 vs 영역 법칙)의 지표 역할을 한다.
2. 다체 네거티비티 (Many-Body Negativity, MBN): $E_A = \log_2 ||\rho^{\Gamma_A}||_1$로 정의된다 (여기서 $\Gamma_A$는 반-체인 부ubsystem에 대한 부분 전치). MBN은 특히 고전적 상관관계를 필터링하여 혼합 상태의 양자 얽힘을 정량화하기 위해 사용된다.

수치 시뮬레이션에는 대규모 계산의 효율성을 위해 스테빌라이저 형식론(stabilizer formalism)을 활용한다. 시스템은 로그 순도의 경우 $O(L)$ 시간 단계 동안, MBN의 경우 포화(saturation)를 보장하기 위해 $O(L^2)$ 단계 동안 진화된다. 유한 크기 스케일링(finite-size scaling) 분석을 통해 임계 확률($p_c$)과 상관 길이 임계 지수($\nu$)를 추출한다.

주요 결과

1. 혼합 상태에서 MBN의 유효성: 본 연구는 MBN이 혼합 상태의 정화 상전이를 효과적으로 특징짓는다는 것을 입증한다. 혼합 상(mixed phase)에서 MBN은 시스템 크기에 따른 멱법칙 스케일링($\langle E_A \rangle \propto L^b$)을 보이는 반면, 순수 상(pure phase)에서는 영역 법칙(area law)을 따른다.
2. 균일 회로에서의 임계성 (경우 I): 균일한 측정 확률에 대해, 저자들은 $p_c \approx 0.167$의 임계 확률과 $\nu \approx 1.56$ (MBN 기준) 및 $\nu \approx 1.22$ (로그 순도 기준)의 상관 길이 지수를 발견했다. 이 값들은 기존의 MIPT 연구와 일치하지만 약간의 편차를 보이는데, 이는 더 큰 시스템 크기에서 예상되는 $4/3$로 수렴할 가능성을 시사한다.
3. 무질서 유도 보편성 변화 (경우 II): 측정 확률이 공간적으로 변조될 때, 임계 거동이 크게 변화한다. 임계 평균 확률은 $\bar{p}_c \approx 0.220$으로 이동하며, 상관 길이 지수는 $\nu \approx 3.06$ (MBN 기준) 및 $\nu \approx 3.38$ (로그 순도 기준)으로 증가한다.
4. 해리스 기준 검증: 임계 지수가 $\nu < 2$ (경우 I)에서 $\nu > 2$ (경우 II)로 변하는 것은 해리스 기준과 일치한다. 원래의 시스템(경우 I)이 $\nu < 2/d$ (공간 차원 $d=1$인 경우)를 가지므로, 무질서(공간적 변조)의 도입은 상전이의 보편성 클래스를 변화시킬 것으로 예측되며, 수치적 결과가 이를 확인해 준다.
5. 변조된 유니터리 게이트: 유니터리 게이트에 준주기적 변조를 도입하면(측정 대신), 임계 변조 강도 $A_J \approx 0.35$에서 별개의 상전이가 유도된다. 이는 MBN이 단거리 얽힘과 변조 주기에 따른 진동 거동을 보이는 "순수 유사(pure-like)" 상을 초래하며, 이는 균일 회로에서 관찰되는 표준 영역 법칙 순수 상과는 다르다.

의의 및 주장
본 논문은 측정 확률의 공간적 비균일성이 정화 상전이의 임계성을 근본적으로 변화시킨다고 주장한다. 구체적으로:

• 진단 도구로서의 MBN: 본 연구는 MBN이 혼합 상태 역학에서 임계 지수와 상전이를 탐지하는 강력한 관측량임을 확립하며, 순수 상태 MIPT를 넘어 그 유용성을 확장한다.
• 보편성 클래스 이동: 본 연구는 측정 확률의 무질서가 정화 전이의 보편성 클래스를 변화시킨다는 수치적 증거를 제공하며, 이는 양자 상전이에 대한 해리스 이론의 예측과 일치한다.
• 유효 해밀토니안과의 연결: 결과는 이러한 회로 역학을 무작위 횡장(random transverse field)을 갖는 무질서한 $ZY$ 모델(특히 무질서한 유효 스핀 해밀토니안)로 매핑하는 것을 뒷받침하며, 여기서 공간적 변조는 임계 거동에 영향을 미치는 무작위 장 역할을 한다.
• 구별되는 상: 변조된 유니터리 게이트 하에서 단거리 얽힘을 갖는 "순수 유사" 상의 식별은, 공간적 변조가 표준적인 순수 또는 혼합 상과는 다른 독특한 얽힘 구조를 생성할 수 있음을 시사한다.

저자들은 공간적 변조가 무작위 양자 회로에서 정상 상태의 성격을 결정하는 결정적 요소이며, 해리스 기준이 이러한 비평형 양자 시스템의 무질서 효과를 이해하는 데 유효한 프레임워크로 남아 있다고 결론짓는다.