Optimal Control of Reserve Asset Portfolios for Stablecoins

1. 연구 배경 및 문제 정의 (Problem)

• 배경: 스테이블코인은 법정화폐 등 전통 자산과의 1:1 환전 가능성 (Par Convertibility) 을 약속하지만, 발행사는 이를 유지하기 위해 즉각적인 유동성 (현금) 과 준비자산의 수익성 (국채 등) 사이에서 균형을 맞춰야 합니다.
• 핵심 문제:
  • 유동성 vs 수익성: 즉시 인출 가능한 현금 보유는 파킹 (Peg) 안정성을 높이지만 수익을 포기하는 것이며, 수익성 자산 (단기 국채) 보유는 수익을 내지만 대규모 인출 (Redemption) 시 유동성 부족으로 파킹 이탈 (De-peg) 을 초래할 수 있습니다.
  • 군집된 주문 흐름 (Clustered Order Flow): 스테이블코인의 발행 (Mint) 및 소각 (Redemption) 요청은 무작위적이지 않고, 특정 시점에 군집되는 경향이 있습니다. 이는 '은행 도주 (Bank-run)' 현상을 유발할 수 있습니다.
  • 규제 환경: 미국 'GENIUS Act'와 같은 규제는 준비자산을 현금, 단기 국채, overnight Repo 등으로 제한하며, 발행사는 이러한 제약 하에서 실시간으로 자산을 배분하고 수수료 (Spread) 를 설정해야 합니다.
• 목표: 파킹 이탈 (Peg deviation) 을 최소화하고 거래 마찰을 줄이면서, 동시에 국채 보유로 인한 수익 (Carry) 을 극대화하는 최적의 준비자산 관리 정책 수립.

2. 방법론 (Methodology)

이 논문은 스테이블코인 발행사의 문제를 연속 시간 확률적 최적 제어 (Continuous-time Stochastic Optimal Control) 문제로 공식화했습니다.

A. 동적 모델링 (Dynamic Modeling)

• 흐름 모델 (Hawkes Processes): 발행 및 소각 요청을 상호 자극 과정 (Mutually Exciting Processes, Hawkes Process) 으로 모델링합니다.
  • 과거의 거래가 미래의 거래 발생 확률을 높이는 자기 자극 (Self-excitation) 특성을 반영합니다.
  • 특히, 파킹 이탈 ($\Delta P$) 이 커지면 소각 요청 강도 ($\lambda_R$) 가 증가하는 피드백 루프를 포함하여 도주 현상을 내생적으로 모델링합니다.
• 상태 변수:
  • $R_{liq}(t)$: 즉시 사용 가능한 현금 준비금
  • $R_{bill}(t)$: 단기 국채 (T-bills) 보유액
  • $\Delta P(t)$: 파킹 이탈 정도
  • $\lambda_R(t), \lambda_M(t)$: 소각 및 발행 강도 (Hawkes intensity)
• 제어 변수:
  • $\omega(t)$: 현금과 국채 간의 자산 재배분 흐름 (Rebalancing flow)
  • $\delta(t)$: 발행/소각 시 부과하는 수수료 스프레드 (Fee spread)

B. 최적 제어 프레임워크

• 목적 함수: 파킹 이탈 비용, 수수료 마찰 비용, 재배분 거래 비용, 국채 수익 (음의 비용) 을 고려한 할인된 무한 시간 horizon 의 비용 함수를 최소화합니다.
• 해법 (Stochastic MPC & PMP):
  • 확률적 모델 예측 제어 (Stochastic MPC): 무한 시간 문제를 유한 시간 창 (Rolling Horizon) 으로 나누어 반복적으로 최적화합니다.
  • 모멘트 클로저 (Moment Closure): 확률적 과정을 조건부 기대값으로 근사하여 결정론적 문제로 변환합니다.
  • 폰트랴긴 최대 원리 (Pontryagin's Maximum Principle, PMP): 최적 제어 경로를 도출하기 위해 해밀토니안 (Hamiltonian) 을 구성하고, 상태 변수의 그림자 가격 (Shadow Price) 을 계산합니다.

C. 해의 구조 및 구현

• 소프트-스레싱 (Soft-thresholding) 구조: 최적의 재배분 제어 $\omega^*(t)$ 는 거래 비용 ($\lambda_\omega$) 에 의해 결정되는 '데드 존 (Deadzone)'을 가집니다.
  • 자산 간 그림자 가격 차이의 절대값이 거래 비용을 초과할 때만 재배분이 발생하며, 그 크기는 임계값을 넘은 정도에 비례합니다.
  • 이는 불필요한 자산 회전 (Unnecessary rotations) 을 방지합니다.
• 정산 창구 (Settlement Windows) 적용: 실제 운영 (Fedwire 등) 에 맞춰 시간을 이산화 (Sampled-data) 하고, 창구별 평균 그림자 가격을 기반으로 재배분 결정을 내립니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 실무 중심의 제어 프레임워크: 이론적 최적해를 넘어, 실제 트레저리 (Treasury) 운영 워크플로우 (정산 시간, 일일 리밸런싱) 에 적용 가능한 샘플드-데이터 제어 정책을 제시했습니다.
2. 단조로운 스트레스 반응 (Monotone Stress-Response) 성질 증명:
   • 예상되는 인출 압력이 증가하거나 정산 창구가 길어질수록, 최적 정책은 예측 가능하게 현금 보유 비율을 증가시킵니다.
   • 이는 시장이 안정적일 때는 수익성 자산 (국채) 을 유지하다가, 스트레스가 감지되면 선제적으로 유동성을 확보하는 '스위칭' 논리를 수학적으로 입증했습니다.
3. Hawkes 과정을 활용한 군집 흐름 모델링: 단순한 랜덤 워크가 아닌, 실제 스테이블코인 시장에서 관찰되는 '군집된 주문'과 '파킹 이탈에 따른 도주 가속화'를 통합한 모델을 개발했습니다.
4. 규제 준수 및 감사 가능성 (Auditability): 정책이 명확한 임계값 (Threshold) 과 그림자 가격에 기반하므로, 규제 당국이나 감사자가 의사결정 논리를 쉽게 검증할 수 있습니다.

4. 실험 결과 (Results)

92 일간의 시나리오 시뮬레이션 (단일 충격, 장기 군집, 오보 (False Alarm)) 을 통해 제안된 제어기 (Optimal Control) 를 기존 전략 (최대 수익, 최대 유동성, 균등 배분) 과 비교했습니다.

• 단일 충격 시나리오 (Single Shock):
  • 제안된 제어기: 인출 압력 발생 시 신속하게 현금을 확보하여 파킹 이탈을 0% 로 유지하며, 안정화 후 다시 수익성 자산으로 전환.
  • 최대 수익 전략: 유동성 확보를 늦추다가 도주 현상이 발생하여 심각한 파킹 이탈 (De-peg) 과 영구적 자산 손실 발생.
  • 균등 배분 전략: 50:50 고정 비율로 인해 스트레스 시 추가 유동성 확보 능력이 부족하여 69% 의 경우 파킹 이탈 발생.
• 장기 군집 시나리오 (Prolonged Clustering):
  • 제안된 제어기: 지속되는 '여진 (Aftershock)'에도 불구하고 선제적으로 유동성을 확보하여 파킹 안정성 유지.
  • 최대 수익 전략: 국채 매각이 지연되어 유동성 부족으로 붕괴.
• 오보 시나리오 (False Alarm):
  • 제안된 제어기: 일시적인 발행/소각 증가에 과도하게 반응하지 않아 불필요한 수익 손실 (Opportunity cost) 을 방지.
• 수익성: 제안된 제어기는 파킹 안정성을 유지하면서도, 안정적 시장 구간에서 국채 수익 (Carry) 을 극대화하여 다른 전략들보다 높은 총 수익을 기록했습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance)

• 실용적 적용 가능성: 이 연구는 스테이블코인 발행사가 규제 (예: 미국 GENIUS Act) 를 준수하면서도 수익성을 극대화할 수 있는 구체적이고 실행 가능한 (Implementation-ready) 트레저리 규칙을 제공합니다.
• 리스크 관리의 패러다임 전환: 정적인 비율 (Static Heuristics) 에 의존하던 기존 방식에서, 시장 흐름과 유동성 위험을 실시간으로 감지하여 동적으로 대응하는 폐루프 제어 (Closed-loop Control) 방식으로의 전환을 제안합니다.
• 규제 및 감사 대응: 의사결정 과정이 명확한 수학적 원리 (임계값, 그림자 가격) 에 기반하므로, 규제 기관의 요구사항을 충족하고 내부 통제를 강화하는 데 기여합니다.
• 미래 연구 방향: 극단적 사건 (Tail events) 의 확률 추정 정밀도 향상, 더 복잡한 흐름 모델 (교차 자산 자극 등) 적용, 실제 발행사 데이터를 활용한 백테스팅 등을 통해 확장 가능함을 시사합니다.

요약하자면, 이 논문은 스테이블코인의 유동성 관리 문제를 수학적 최적 제어 문제로 재정의하고, 소프트-스레싱 기반의 적응형 정책을 통해 파킹 안정성과 수익성이라는 상충되는 목표를 동시에 달성할 수 있음을 증명했습니다.