Logical Dependence of Physical Determinism on Set-theoretic Metatheory

우주의 이면에 숨겨진 코드

당신이 소용돌이치는 은하, 튀어 오르는 공, 혹은 컴퓨터 칩과 같은 복잡한 계의 미래를 예측하려고 한다고 상상해 보십시오. 물리학에서 우리는 보통 규칙과 초기 위치를 알면 미래는 정해져 있다고 가정합니다. 이를 **결정론(determinism)**이라고 합니다. 이는 우주가 거대하고 완벽한 태엽 장치와 같아서, 태엽을 감아 놓으면 매번 정확히 똑같이 작동한다는 생각입니다.

하지만 이러한 예측을 하기 위해 물리학자들은 **집합론(set theory)**이라는 숨겨진 토대에 의존합니다. 집합론을 우리가 사물을 세고, 그룹화하고, 측정하는 방법에 대한 궁극적인 규칙책이라고 생각하십시오. 이것은 수학 뒤에 숨은 수학입니다. 오랫동안 과학자들은 이 규칙책이 그저 물리 세계와는 상관없는 지루하고 추상적인 도구일 뿐이라고 생각했습니다. 그들은 어떤 버전의 규칙책을 사용하든 블랙홀이 어떻게 회전하거나 자석이 어떻게 냉각되는지에 영향을 미치지 않을 것이라고 믿었습니다. 이 믿음을 "고립성 가설(insularity thesis)"이라고 부릅니다. 즉, 수학의 깊고 먼 구석들이 물리라는 복잡하고 흥미로운 세상으로부터 격리되어 있다는 생각입니다.

그러나 함정이 있습니다. 수학의 가장 진보된 질문 중 일부는 "무한(infinity)"을 까다로운 방식으로 다룹니다. 무한에 대한 규칙책을 쓰는 데는 두 가지 주요한 방법이 있습니다. V=L이라 불리는 버전은 매우 엄격하고 최소주의적입니다. 이는 우리가 단계별로 구축할 수 있는 것들 외에 "추가적인" 무한 집합은 존재하지 않는다고 말합니다. 반면 LC/PD라고 불리는 버전은 더 관대합니다. 이는 수학이 더 매끄럽고 예측 가능하게 작동하도록 만드는 거대하고 신비로운 무한 구조들을 허용합니다. 수십 년 동안 수학자들은 어떤 규칙책이 "참"인지를 두고 논쟁했지만, 물리학자들은 그것이 자신들의 연구에 영향을 미치지 않을 것이라 가정하며 대부분 무시해 왔습니다.

논문의 거대한 발견

저자인 저스틴 클라크-도안(Justin Clarke-Doane)은 이 가정을 정면으로 반박합니다. 그는 "고립성 가설"이 틀렸다고 주장합니다. 저자는 이 두 가지 수학적 규칙책(V=L 대 LC/PD) 사이의 선택이 우주가 결정론적인지 아닌지 여부를 실제로 바꿀 수 있다고 제안합니다.

이를 이해하기 위해, 당신이 미스터리를 풀려는 탐정이라고 상상해 보십시오. 당신에게는 일련의 단서(물리 법칙)와 용의자(우주의 초기 상태)가 있습니다. 일반적인 탐정 소설에서 단서들은 하나의 명확한 해결책으로 이어져야 합니다. 하지만 클라크-도안은 어떤 경우에 "단서" 자체가 당신이 어떤 규칙책을 사용하여 읽느냐에 따라 달라질 수 있음을 보여줍니다.

이 논문은 세 가지 다른 "탐정 업무"의 층위를 통해 이를 탐구합니다.

1. "일관성(Coherence)" 층위: 단서가 실재하기는 하는가?
때때로 물리 법칙은 특정 모양이나 패턴을 기반으로 무언가를 계산하라고 요구합니다. 엄격한 규칙책(V=L)에서 그 패턴은 너무 기괴하고 들쑥날쑥해서 정의된 크기나 "측도(measure)"를 갖지 못할 수도 있습니다. 이는 마치 볼 때마다 모양이 계속 변하는 구름의 무게를 재려는 것과 같습니다. 만약 그 패턴이 "측정 불가능"하다면, 수학은 무너지고 법칙은 일관성을 잃게 됩니다. 그러나 관대한 규칙책(LC/PD)에서 동일한 패턴은 매끄럽고 측정 가능하며, 따라서 법칙이 완벽하게 작동합니다. 논문은 특정 수학적 설정에서, 법칙이 한 우주에서는 유효하지만 다른 우주에서는 깨진다는 것을 보여줍니다.

2. "유일성(Uniqueness)" 층위: 하나의 답인가, 여러 개의 답인가?
결정론은 보통 단 하나의 미래가 있음을 의미합니다. 하지만 이 논문은 어떤 계의 경우, 가능한 미래의 수는 어떤 규칙책을 사용하느냐에 달려 있음을 보여줍니다. 엄격한 규칙책에서 시스템은 두 가지 서로 다른 안정적인 결과(예: 왼쪽이나 오른쪽으로 굴러갈 수 있는 공)를 가질 수 있습니다. 그러나 관대한 규칙책에서 동일한 시스템은 오직 하나의 결과(공이 왼쪽으로만 구름)만을 가질 수 있습니다. 수학은 물리적 설정을 바꾸는 것이 아니라, 그 설정이 허용하는 해(solution)의 개수를 바꿉니다.

3. "정체성(Identity)" 층위: 그것은 같은 시작점인가?
이 부분이 가장 까다롭습니다. 케이크를 만드는 레시피가 있다고 상상해 보십시오. 한 규칙책에서 그 레시피는 특정한 케이크를 설명합니다. 다른 규칙책에서는 정확히 같은 문장이 완전히 다른 케이트(혹은 아예 케이크가 존재하지 않음)를 설명합니다. 논문은 물리 계의 "초기 데이터"가 두 규칙책에서 서로 다른 것일 수 있다고 주장합니다. 따라서 당신이 동일한 조건에서 시작한다고 생각할지라도, 실제로는 서로 다른 조건에서 시작하고 있을 수 있으며, 이는 서로 다른 미래로 이어질 수 있습니다.

"강건성(Robustness)" 테스트: 과연 유지되는가?

논문은 단순한 사고 실험 그 이상을 다룹니다. 저자는 물리학자들이 실제로 현실 세계에서 결정론을 어떻게 사용하는지 살펴봅니다. 물리학자들은 단순히 완벽하고 이론적인 시나리오에만 관심이 있는 것이 아닙니다. 그들은 강건성을 중요하게 생각합니다. 그들은 다음과 같이 묻고 싶어 합니다: "만약 내가 측정하는 방식을 바꾸거나, 답을 계산하기 위해 약간 다른 격자를 사용한다면, 결과가 그대로 유지될까?"

저자는 이러한 "강건성" 질문을 던질 때, 그 답이 종종 $\Sigma^1_2$라고 불리는 수학적 영역에 도달한다는 것을 증명합니다. 이것은 질문이 충분히 복잡하여 표준 수학 규칙책(ZFC)이 답을 결정할 수 없다는 것을 의미하는 세련된 표현입니다. 이는 마치 판사가 "이 사건을 결정할 법률이 충분하지 않습니다"라고 말하는 것과 같습니다.

논문은 이 점을 증명하기 위해 두 가지 주요 "코딩 정리(coding theorems)"를 제시합니다.

• 이징 자석(Ising Magnet) 사례: 저자는 고정된 규칙을 가진 자석(스핀 격자 사용)의 특정 모델을 구성합니다. 저자는 이 자석이 예측 가능한 패턴으로 안착하는지를 묻는 질문이 표준 수학 규칙책으로는 답할 수 없는 문제임을 보여줍니다. 만약 엄격한 규칙책을 사용한다면, 자석의 행동을 설명하는 패턴은 **비측정적(non-measurable)**입니다(즉, 표준 확률에 필요한 규칙성이 결여됨). 만약 관대한 규칙책을 사용한다면, 동일한 패턴은 **보편적으로 측정 가능(universally measurable)**합니다(즉, 잘 정돈되어 있고 규칙적임). 자석 자체는 변하지 않았습니다. 오직 그 설명을 기술하는 수학적 "매끄러움"만이 변했을 뿐입니다.
• 블랙홀 사례: 논문은 회전하는 블랙홀(커 블랙홀, Kerr black hole)의 내부를 살펴봅니다. 물리학자들은 물리 법칙이 "코시 지평선(Cauchy horizon, 블랙홀 내부의 경계)"에서 붕괴하는지 여부를 파악하려고 노력합니다. 논문은 그곳의 공간을 설명하는 "표준적인" 방식을 선택하는 문제가 규칙책을 선택하지 않고서는 해결할 수 없는 수학적 퍼즐임을 보여줍니다. 엄격한 규칙책(V=L)에서는 표준적인 설명(선택자, selector)을 선택할 수 있지만, 그것은 무질서하고 불규칙합니다. 반면 관대한 규칙책(LC/PD)에서는 합리적인 방식으로 정의 가능한 표준적인 설명이 존재하지 않습니다. 규칙 자체가 그러한 선택자의 존재를 금지합니다.

이것이 의미하는 바 (그리고 의미하지 않는 것)

이 논문은 자신의 주장에 대해 매우 신중합니다. 이 논문은 우주가 우리가 어떤 수학 규칙책을 선택하느냐에 따라 반드시 다르게 작동한다고 말하는 것이 아닙니다. 또한 우리가 새로운 물리 법칙을 발견했다고 말하는 것도 아닙니다.

대신, 저자는 하나의 논리적 가능성을 증명합니다. 만약 우리가 결정론을 이야기할 때 실제로 사용하는 방식(강건성, 전형성, 측도에 대한 모든 요구 사항을 포함하여)을 특정 수학적 모델에 적용한다면, 그 결과는 배경 수학에 의존한다는 것을 보여줍니다.

저자는 이 분야를 "역수학(reverse mathematics)"과 유사한 **"역물리학(reverse physics)"**이라고 부릅니다. 역수학이 "이 정리를 증명하기 위해 어떤 수학적 공리가 필요한가?"를 묻는다면, 역물리학은 "이 물리 이론을 작동시키기 위해 어떤 수학적 공리가 필요한가?"를 묻습니다.

논문은 "고립성 가설"이 의심스럽다고 결론짓습니다. 무한에 관한 깊고 추상적인 논쟁은 수학자들만의 전유물이 아닙니다. 그것들은 우리가 물리 세계를 이해하는 기초와 얽혀 있을 수 있습니다. 만약 어떤 물리 이론이 표준 수학에서 결정 불가능한 개념들에 의존한다면, 우리는 승부를 가리기 위해 새로운 물리 법칙이나 새로운 수학적 공리를 찾아야 할지도 모릅니다. 이 논문은 우리에게 매혹적인 질문을 남깁니다. 우주의 결정론은 자연의 사실인가, 아니면 우리가 그것을 읽기 위해 사용하는 보이지 않는 규칙책에 달려 있는 것인가?