Intuitionistic $j$-Do-Calculus in Topos Causal Models

당신이 탐정이 되어 미스터리를 풀고 있다고 상상해 보십시오. 하지만 당신이 발견하는 단서들은 당신이 집 안의 어느 방에 서 있느냐에 따라 완전히 달라집니다. 어떤 방에서는 창문에 남은 지문이 용의자가 침입했다는 증거가 되지만, 옆 방에서는 그 똑같은 지문이 그저 청소 직원이 남긴 얼룩일 뿐입니다. 이것이 바로 인과 추론(causal inference)의 핵심입니다. 인과 추론은 단순히 무엇이 함께 일어나는가가 아니라, 무엇이 무엇을 '유발하는가'를 밝혀내려는 과학의 한 분야입니다. 보통 탐정들은 논리적 규칙(do-calculus라고 불리는)을 사용하여, 평소의 사건 연쇄를 정신적으로 끊어냄으로써 "내가 용의자의 입장을 강제한다면 어떤 일이 벌어질까?"라고 묻습니다. 하지만 이 규칙들은 세상 전체를 하나의 완벽한 관점에서 바라보고 있다는 가정을 전제로 합니다.

문제는 현실 세계가 단 하나의 방이 아니라, 다양한 맥락, 즉 '레짐(regimes)'으로 이루어진 건물이라는 점입니다. 어떤 의료 처치는 햇빛이 내리쬐는 병원에서는 효과적일 수 있지만, 비가 내리는 클리닉에서는 실패할 수도 있습니다. 한 집단에게 적용되는 규칙이 다른 집단에게는 깨질 수도 있습니다. 과학자들은 오랫동안 이러한 서로 다른 관점들을 논리적인 인과 관계의 사슬을 훼손하지 않으면서도 하나로 결합할 방법을 원해 왔습니다. 그들은 "이 규칙은 '이러한' 특정 방들에서 유효하며, 이 방들이 건물 전체를 포괄하기 때문에, 이 규칙은 건물 전체에서도 유효하다"라고 말할 수 있는 시스템을 필요로 합니다.

이것이 바로 스리다르 마하데반(Sridhar Mahadevan)의 논문, Intuitionistic j-Do-Calculus in Topos Causal Models가 수행하고자 하는 작업입니다. 저자는 우리가 표준적인 인과 법칙을 여러 환경에 걸쳐 조각별로 적용하고, 그 조각들을 다시 하나의 신뢰할 수 있는 진리로 엮어낼 수 있게 해주는 새로운 수학적 '풀(glue)'을 구축합니다.

탐정의 도구 상자: 단일한 방에서 도시 전체로

이 논문의 마법을 이해하기 위해, 먼저 그것이 사용하는 도구들을 살펴봅시다. 모든 동네마다 고유한 법률이 있는 도시를 상상해 보십시오. '관측 구역(Observation District)'에서는 자연스럽게 일어나는 일만을 관찰할 수 있습니다. '개입 구역(Intervention District)'에서는 직접 무언가를 움직여 변화를 관찰할 수 있습니다.

기존의 방식(이를 고전적 do-calculus라고 부릅니다)에서는 하나의 구역을 선택하여 그곳에 머물러야 했습니다. 만약 새로운 정책이 범죄율 하락을 유발했는지 알고 싶다면, 당신은 데이터가 단일하고 일관된 세계에서 왔다고 가정해야 했습니다. 하지만 당신의 데이터가 엉망으로 뒤섞여 있다면 어떨까요? 어떤 데이터는 비가 올 때의 것이고, 어떤 데이터는 해가 뜰 때의 것이라면 어떻게 될까요?

이 논문은 **j-안정성(j-stability)**이라는 새로운 개념을 도입합니다. 이것을 당신의 논리를 위한 '안전망'이라고 생각하십시오. 이 논문은 "이 규칙이 어디에서나 참인가?"라고 묻는 대신, "이 규칙이 전체 영토를 덮을 수 있는 특정 로컬 지도들 위에서 참인가?"라고 묻습니다.

이 논문의 새로운 시스템이 작동하는 방식은 다음과 같은 유희적인 비유를 통해 설명할 수 있습니다.

1. 레짐의 지도 (사이트, The Site)
세상이 거대한 퍼즐이라고 상상해 보십시오. 하지만 평평한 조각이 아니라, 서로 다른 '레짐'이나 맥락을 가진 조각들입니다. 한 조각은 '관측 데이터'이고, 다른 조각은 '실험 데이터'이며, 또 다른 조각은 '특정 병원의 데이터'입니다. 논문에서 이들은 단순한 데이터 더미가 아니라, 하나의 맥락에서 다른 맥락으로 이동할 수 있는 연결된 네트워크로 취급됩니다.

2. 지역적 규칙 (차트별 의미론, Chartwise Semantics)
각각의 개별 퍼즐 조각(각 레짐) 위에서, 저자는 표준적이고 신뢰할 수 있는 인과 법칙을 사용합니다. 만약 당신이 '관측' 조각에 있다면, 두 사건이 독립적인지 확인하기 위해 표준 논리를 사용합니다. 만약 당신이 '개입' 조각에 있다면, 변화를 강제했을 때 어떤 일이 일어나는지 보기 위해 표준 논리를 사용합니다. 이 논문은 우리가 이러한 로컬 조각들을 위해 새로운 규칙을 발명하는 것이 아니라, 이미 신뢰하고 있는 규칙들을 그대로 사용할 것을 강조합니다.

3. 풀 (층 이론과 기술, Sheaf Theory and Descent)
이 부분이 가장 창의적인 부분입니다. 논문은 다음과 같이 묻습니다. "만약 어떤 규칙이 '관측' 조각에서 성립하고, 동시에 '개입' 조각에서도 성립하며, 이 두 조각이 합리적인 방식으로 겹쳐 있다면, 우리는 그 규칙이 전체 퍼즐에 대해 참이라고 말할 수 있는가?"

그 대답은 **"예"**입니다. 단, 조각들이 완벽하게 맞물릴 때만 그렇습니다. 저자는 로컬의 진실들이 서로 모순되지 않도록 보장하기 위해 층 이론(sheaf theory)(매우 엄격하고 고품질인 풀이라고 생각하십시오)이라는 수학적 개념을 사용합니다. 만약 로컬의 진실들이 겹치는 부분에서 일치한다면, 이 '풀'은 그것들이 하나의 글로벌한 진리로 내려갈 수 있게(descend) 해줍니다. 이를 **기술(descent)**이라고 합니다.

이 논문이 실제로 찾아낸 것

이 논문은 **로컬-투-글로벌 건전성 정리(local-to-global soundness theorem)**를 증명합니다. 쉬운 말로 설명하자면 다음과 같습니다:

• 만약 당신이 (전체 상황을 아우르는) 일련의 로컬 지도(J-cover) 위에서 인과 규칙(예: "변수 A가 변수 B를 유발한다")을 검증할 수 있다면...
• 그리고 이 지도들 사이를 이동하는 방식이 인과 구조를 보존한다면(예: 동일한 변수와 규칙을 유지한다면)...
• 그렇다면 당신은 전체 그림을 한 번에 볼 수 없더라도, 그 규칙이 전체 상황에 대해 유효하다는 것을 수학적으로 보장받습니다.

저자는 이를 펄(Pearl)의 세 가지 유명한 do-calculus 규칙에 적용합니다. 이 규칙들은 방정식에서 행동(예: 약물 투여)을 관찰(예: 증상)로 언제 교체할 수 있는지 알려줍니다. 이 논문은 이러한 규칙들이 로컬 지도에서 참인 한, 이 복잡하고 다중 레짐적인 세계에서도 여전히 작동함을 보여줍니다.

이 논문이 명시적으로 거부하는 것

이 논문이 무엇을 하지 않는지 아는 것이 매우 중요합니다. 저자는 경계를 매우 명확히 긋고 있기 때문입니다:

• 모든 것을 해결한다고 주장하지 않습니다. 이 논문은 스스로를 '건전성(soundness)' 정리라고 명시합니다. 즉, 당신이 규칙을 사용해도 '안전한' 때를 알려주는 것이지, 모든 가능한 인과적 답을 찾아낼 수 있다는 '완전성(completeness)' 정리를 의미하는 것이 아닙니다. 이 방법으로는 도달할 수 없는 인과적 진실이 존재할 수 있습니다.
• "개입(Intervention)"과 "조건부화(Conditioning)"가 같다고 말하지 않습니다. 일부 고급 수학에서는 "무언가를 하는 것"과 "무엇을 보는 것"을 동전의 양면처럼 취급하려 시도합니다(Kan extension 개념 사용). 이 논문은 그러한 아이디어를 명시적으로 거부합니다. 저자는 개입이 메커니즘(예: 기계의 부품을 교체하는 것)을 물리적으로 대체하는 것이며, 조건부화는 단지 특정 데이터의 슬라이스를 보는 것이라고 주장합니다. 이 둘은 서로 다른 연산이며, 논문은 이 둘을 모호하게 섞는 것을 거부합니다.
• 세상이 항상 "불리언(Boolean, 흑백 논리)"이라고 가정하지 않습니다. 표준 논리에서 문장은 참 또는 거짓 중 하나입니다. 하지만 이 새로운 프레임워크에서 문장은 단순한 이진법적 의미의 '글로벌한 참'이 아니라, '커버 위에서 참(true on a cover, 즉 로컬 지도들에서 참)'일 수 있습니다. 이 논리는 온/오프 스위치라기보다는 디머 스위치처럼 더 유연합니다.

결론: 세상을 하나로 엮는 새로운 방법

이 논문은 지금 당장 당신에게 새로운 약을 주거나 컴퓨터에서 실행할 새로운 알고리즘을 제공하지 않습니다. 대신, 세상이 복잡하고 파편화되어 있을 때 인과적 추론을 어떻게 생각해야 하는지에 대한 새로운 논리적 프레임워크를 제공합니다.

당신이 날씨를 예측하려고 한다고 상상해 보십시오. 해변의 국지 예보, 산의 예보, 그리고 도시의 예보가 있습니다. 해변 예보가 "맑음"이고 산의 예보도 "맑음"이며, 이들이 합리적인 방식으로 겹친다면, 당신은 자신 있게 "모든 곳이 맑다"라고 말할 수 있습니다. 하지만 해변은 "맑음"인데 산은 "비"라고 한다면, 당신은 그냥 추측할 수 없습니다.

마하데반의 논문은 그러한 로컬 예보들을 하나의 글로벌한 예측으로 엮어내는 것이 '언제' 허용되는지에 대한 엄밀한 수학적 증명을 제공합니다. 만약 모든 특정 맥락(차트)에서 인과 법칙이 성립하고, 그 맥락들이 전체 그림을 덮고 있다면, 인과적 결론이 전체 시스템에 대해 유효하다는 것을 이 논문은 증명합니다.

저자는 이것이 이론적인 돌파구임을 주의 깊게 언급합니다. 이 논문은 이미 로컬 지도와 커버를 가지고 있다고 가정하며, 원시 데이터로부터 그것들을 어떻게 찾아내는지 알려주지는 않습니다(그것은 동료 논문의 몫입니다). 하지만 비가 올 때와 햇빛이 날 때 다르게 행동하는 자율주행 자동차처럼, 서로 다른 환경에 걸쳐 인과 관계를 추론해야 하는 AI나 머신러닝 시스템을 구축하려는 사람들에게, 이 논문은 그 논리가 무너지지 않도록 잡아주는 필수적인 '풀'을 제공합니다.

요컨대, 이 논문은 이렇게 말합니다. "세상을 보는 단 하나의 완벽한 관점이 없어도 진실을 알 수 있습니다. 서로 잘 맞는 충분한 로컬 관점들이 있다면, 진실은 그 '풀'을 통해 드러날 것입니다."