기술 요약: 재귀적 수 체계의 규칙성과 처리 복잡성

문제 제기

최근 언어학 연구는 교차 언어적 변이가 효율적인 의사소통을 위한 압력(예: 어휘 크기와 정보량 사이의 절충 관계)에 의해 제약된다는 점을 광범적으로 입증해 왔다. 그러나 기존의 효율성 분석은 자연 언어의 핵심적 특징인 형태-의미 매핑이 규칙적인 패턴을 따르는 현상, 즉 체계성(regularity)을 간과하고 있다.

이러한 공백은 특히 재귀적 수 체계(counting systems) 연구에서 두드러진다. Denić와 Szymanik(2024, D&S)의 선행 연구는 자연적 체계가 어휘 크기와 평균 형태통사적 복잡성 사이의 절충안을 최적화한다고 주장했다. 그들의 모델은 자연적 체계가 이론적 파레토 프런티어(Pareto frontier) 근처에 위치함을 보여주었으나, 해당 모델이 생성한 "최적"의 체계들은 매우 불규칙하고 부자연스러운 체계(예: 기저(base)가 교대로 변하는 체계)를 포함하고 있었다. 이를 해결하기 위해 Yang과 Regier(2025, Y&R)는 인간다운 체계로 탐색 공간을 인위적으로 제한하기 위해 임시방편적(ad-hoc) 제약 조건을 도입했다. 저자들은 이러한 제약 조건들이 이론적 설명이 부족하다는 점에서 만족스럽지 못하다고 주장한다. 이상적으로는 인간다운 특성이 더 근본적인 압력의 부산물로서 나타나야 하기 때문이다. 핵심 문제는 현재의 지표들이 자연적 수 체계와 이론적으로 가능한 수 체계를 구분 짓는 핵심 차별점인 규칙성과 처리 복잡성을 포착하지 못한다는 점이다.

방법론

저자들은 최소 기술 길이(Minimum Description Length, MDL) 원리를 기반으로 한 프레임워크를 제안하여, 재귀적 수 체계의 두 가지 핵심 속성인 불규칙성과 처리 복잡성을 정량화한다.

1. 불규칙성의 공식화

규칙성은 압축 가능성을 통해 측정된다. 저자들은 수 체계를 주어진 범위(1–99) 내의 모든 유효한 숫자를 생성하는 **부분 결정 유한 오토마타(partial deterministic finite automaton, DFA)**로 모델링한다.

• 지표: 불규칙성 $L(G)$는 DFA를 인코딩하는 데 필요한 비트 수로 정의된다.
• 계산: DFA의 크기는 상태의 수($|S|$), 전이의 수($|Z|$), 그리고 기호의 수($|\Sigma|$)에 의해 결정된다. 매우 규칙적인 체계(예: Karo Batak어)는 상태와 전이가 적은 작은 DFA를 가지므로 낮은 기술 길이를 갖는다.
• 알고리즘: 저자들은 주어진 숫자 집합에 대해 최소 부분 DFA를 추론하기 위해 Mihov와 Schulz(2019)의 알고리즘을 사용한다.

2. 처리 복잡성의 공식화

처리 복잡성은 DFA를 통해 숫자를 파싱하거나 생성하는 데 드는 노력을 측정한다.

• 지표: $L(N|G)$는 문법 $G$를 통해 숫자 집합 $N$에 대한 고유한 파싱 경로를 결정하는 데 필요한 평균 정보량(비트)이다.
• 계산: 이는 각 상태에서 수행된 전이의 로그 확률과, 마주친 각 수용 상태(accepting state)에 대한 추가 1비트를 합산한 것이다.
• 사전 확률(Priors): 저자들은 먼저 작은 숫자가 효율성 계산을 지배한다는 가정을 반영하여 멱법칙 사전 확률($P(n) \propto n^{-2}$)을 사용하여 이 지표들을 테스트한다. 이후 작은 숫자의 중요성을 배제하여 효율성 계산을 검증하기 위해 **균등 사전 확률(uniform prior)**을 테스트한다.

3. 실험 설계

본 연구는 세 가지 범주의 체계를 비교한다:

1. 자연적 체계: 형태소 수준에서 주석이 달린 128개의 자연 언어 재귀적 수 체계.
2. 기초 인공 체계: Hurford의 문법을 사용하여 무작위로 생성된 10,000개의 체계.
3. "최적" 인공 체계:
   • D&S 체계: (어휘 크기 vs 형태통사적 복잡성 측면에서 최적화된 시스템).
   • Y&R 체계: (D&S 체계에 임시방편적 제약 조건을 적용한 시스템).

또한 저자들은 **국소 이웃 분석(local neighborhood analysis)**을 수행한다. 각 자연적 체계에 대해 동일한 숫자($D$), 승수($M$), 결합사($C$), 그리고 숫자 길이($L_{Num}$)를 공유하는 대안적 체계들을 생성한다. 이는 어휘 크기와 형태통사적 복잡성을 통제함으로써 구조적 배열(규칙성)의 효과를 분리해내기 위함이다.

주요 결과

1. 자연적 체계 vs. 무작위 기초 체계

자연적 체계는 10,000개의 무작위 생성 기초 체계보다 현저히 높은 규칙성(낮은 불규칙성 점수)과 낮은 처리 복잡성을 보인다. 샘플링된 무작위 체계 중 자연적 체계보다 동시에 더 규칙적이면서도 더 낮은 복잡성을 가진 체계는 존재하지 않았다.

2. 자연적 체계 vs. "최적" 체계 (D&S 및 Y&R)

• D&S 체계: D&S 체계는 어휘/복잡성 프런티어에 위치하지만, 자연적 체계와 비교했을 때 흔히 매우 불규칙하며 높은 처리 복잡성을 가진다.
• Y&R 체계: 임시방편적 제약 조건은 규칙성을 개선하지만, 자연적 체계와 완전히 일치하지는 않는다. 일부 Y&R 체계는 멱법칙 사전 확률 하에서 자연적 체계보다 "더 효율적"으로 보일 수 있는데, 이는 사전 확률이 큰 숫자를 과도하게 경감시킨 결과이다. 이러한 "초효율적" 체계들은 매우 작은 어휘(숫자 1–5)를 사용하여 깊은 중첩(예: $46 \approx (((2 \times 2 + 1) \times 2 + 1) \times 2 + 1) \times 2$)을 통해 큰 숫자를 구성한다.
• 균등 사전 확률: 멱법칙 사전 확률을 균등 사전 확률로 대체하면, 이 "초효율적" YR 체계들의 이점이 사라진다. 큰 숫자를 만들기 위해 필요한 깊은 중첩은 처리 복잡성을 크게 증가시켜, 이들을 자연적 체계보다 덜 효율적으로 만든다.

3. 국소 이웃 분석

특정 숫자, 승수, 결합사를 동일하게 유지하여(즉, 어휘 크기와 평균 형태통사적 복잡성을 일정하게 유지하여) 분석했을 때도, 자연적 체계는 일관되게 불규칙성 vs. 처리 복잡성의 트레이드오프에서 파레토 프런티어에 있거나 그 근처에 위치한다. 이는 자연적 체계의 특정 구조적 배열이 단순히 어휘 크기나 형태통사적 복잡성을 최적화하는 부산물이 아니라, 규칙성과 처리 용이성에 대한 압력에 의해 구동됨을 시사한다.

의의 및 주장

본 논문은 규칙성과 처리 복잡성이 단순성-정보량의 절충 관계와 구별되면서도 이를 보완하는, 형태를 형성하는 근본적인 압력임을 주장한다.

• 이론적 기여: 저자들은 이전 연구(Y&R)에서 사용된 임시방편적 제약 조건들이 사실상 규칙성을 강제하는 것이라고 주장한다. MDL을 통해 규칙성을 공식화함으로써, 이러한 제약 조건들이 기술 길이와 처리 노력을 최소화하려는 압력으로부터 자연스럽게 도출됨을 입증한다.
• 기존 모델에 대한 비판: 본 연구는 어휘 크기와 형태통사적 복잡성만을 유일한 지표로 삼는 것의 불충분함을 지적한다. 이러한 지표만을 최적화할 경우, 인간다운 수 체계의 특성을 포착하지 못하는 부자연스럽고 불규칙한 체계가 만들어질 수 있음을 보여준다.
• 사전 확률의 역할: 본 논문은 효율성 주장이 숫자 분포에 대한 가정된 사전 확률에 얼마나 민감한지를 강조한다. 저자들은 재귀적 체계의 주요 기능이 큰 숫자를 표현하는 것이므로, 멱법칙 사전 확률보다 균등 사전 확률이 효율성을 평가하는 데 더 적절할 수 있다고 제안한다.
• 광범위한 함의: 이 접근법은 색채 용어와 같은 다른 영역(예: 문법 범주)의 효율성 연구에서도 체계성을 반드시 포함해야 함을 시사한다. 구성적 신호를 비구성적 신호와 동일한 복잡성을 가진 것으로 취급하는 것은 언어 진화에서 규칙성의 역할을 과소평가하게 만들 수 있다.

결론적으로 저자들은 자연적인 재귀적 수 체계가 정보 전달 측면에서의 의사소통 효율성뿐만 아니라, 구조적 효율성(규칙성)과 계산적 용이성(처리 복잡성)을 위해서도 최적화되어 있다고 결론짓는다.