Amortizing Perpetual Options

이 논문은 지급 중단 시 소멸하는 기존 분할 납입 옵션의 비동질성 문제를 해결하기 위해, 청구 가능 명목액의 감소를 통해 암시적 납입 방식을 도입한 '상각 영구 옵션 (AmPOs)'을 제안하고, 이를 배당 자산에 대한 영구 미국식 옵션과 동치인 모델로 환원하여 분석적 평가식과 그리스 값을 유도했습니다.

핵심

🏠 핵심 비유: "영구 임대주택" vs "매달 내는 임대료"

기존의 **지속형 옵션 (Perpetual Options)**이나 **할부 옵션 (Installment Options)**은 다음과 같은 문제가 있었습니다.

비유: 당신이 아파트를 영구적으로 빌렸다고 상상해 보세요. 하지만 이 아파트는 매달 임대료를 내지 않으면 계약이 즉시 해지되고, 집주인이 당신을 쫓아냅니다.

문제점: 만약 당신이 월세를 100% 다 냈다면 '완전한 계약'이지만, 50%만 냈다면 '반쪽짜리 계약'이 됩니다. 이렇게 납부한 금액에 따라 계약의 상태가 달라지면, 서로 다른 계약서끼리 교환하거나 거래소 (시장) 에서 팔고 사기가 매우 어렵습니다. (누가 50% 계약서를 사겠어요? 누가 100% 계약서를 팔겠어요?)

이 논문은 이 문제를 해결하기 위해 **AmPO(상각형 영구 옵션)**를 제안합니다.

AmPO 의 해결책: "월세를 직접 내지 마세요. 대신, 아파트의 면적이 매일 조금씩 줄어드는 방식으로 비용을 치르세요."

어떻게 작동하나요?

• 처음에 100 평짜리 아파트를 빌립니다.
• 매달 임대료를 내는 대신, 계약이 유지되는 동안 아파트 면적이 매일 1% 씩 줄어듭니다.
• 100 일 후면 아파트는 0 평이 되어 사라집니다.
• 핵심: 모든 계약은 **동일한 규칙 (면적 감소)**을 따르기 때문에, 누가 가지고 있든 계약의 상태가 똑같습니다. 그래서 거래소에서 자유롭게 사고팔 수 (Fungible) 있게 됩니다.

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🎯 이 혁신이 가져오는 3 가지 장점

1. "중도 포기"의 공포가 사라짐 (Fungibility)

기존 방식에서는 월세를 못 내면 계약이 끊어지므로, 누가 계약을 가지고 있는지, 얼마나 냈는지를 따져봐야 했습니다. 하지만 AmPO 는 면적이 줄어드는 것이 비용이므로, 계약서 자체는 모두 똑같습니다. 마치 100 달러 지폐가 모두 똑같고 서로 바꿔 쓸 수 있는 것처럼, 이 옵션들도 서로 교환이 가능해져서 거래소 (Exchange) 에서 거래할 수 있게 됩니다.

2. "자동 소멸"이 곧 "자동 결제"

투자자가 돈을 직접 주머니에서 꺼내서 내는 게 아니라, 보유한 자산의 가치가 자연스럽게 줄어드는 것으로 비용을 치릅니다.

• 비유: 당신이 가진 "기부금 영수증"이 매일 조금씩 찢어지면서 사라지는 겁니다. 당신은 돈을 직접 내지 않아도 되지만, 결국 그 영수증의 가치는 사라집니다. 이 방식은 투자자가 실수로 월세를 잊어버려서 계약이 끊기는 일을 방지합니다.

3. "만기"가 없는 대신 "소멸 속도"가 있음

기존 옵션은 "만기일 (Expiration Date)"이 정해져 있습니다. 하지만 AmPO 는 **영구 (Perpetual)**입니다. 대신, **얼마나 빠르게 가치가 줄어드는지 (상각률, Amortization Rate)**를 정할 수 있습니다.

• 빠른 상각률: 아파트가 1 주일 만에 사라짐 (짧은 기간, 낮은 비용).
• 느린 상각률: 아파트가 1 년 뒤에 사라짐 (긴 기간, 높은 비용).
  이것은 마치 옵션의 '수명'을 조절하는 다이얼과 같습니다.

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📊 숫자와 그래프가 말하는 것 (간단한 요약)

논문은 이 새로운 상품을 수학적으로 분석했습니다.

1. 가격 결정: 이 옵션의 가격은 마치 **"배당금을 많이 주는 주식에 대한 영구 옵션"**과 똑같이 계산할 수 있습니다. (복잡한 수학 공식이 있지만, 결론은 "비용을 내는 속도가 높을수록 옵션 가격은 싸진다"는 것입니다.)
2. 리스크 관리: 상각률 (면적이 줄어드는 속도) 을 높이면 옵션 가격이 내려가지만, **주가 변동에 대한 민감도 (Vega)**도 낮아집니다. 즉, 시장이 요동쳐도 덜 흔들리는 '안전한' 옵션이 됩니다.
3. 실제 활용:
   • 전통 금융: 연금 기금처럼 큰 자산을 가진 기관들은 만기가 있는 옵션을 계속 새로 사야 하는 번거로움 (Rolling) 대신, 이 영구 옵션을 들고 상각률만 조절하면 됩니다.
   • 디파이 (DeFi, 블록체인 금융): 블록체인에서는 모든 계약이 똑같아야 (Fungible) 자동화된 거래가 가능합니다. AmPO 는 이 문제를 완벽하게 해결하여, 블록체인 위에서도 복잡한 옵션 거래를 가능하게 합니다.

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💡 한 줄 요약

**"월세를 직접 내지 않고, 보유하는 '계약의 크기'가 매일 조금씩 줄어드는 방식으로 비용을 치르는, 거래소에서 자유롭게 사고팔 수 있는 영구 옵션"**입니다.

이 방식은 투자자가 계약을 포기할까 봐 걱정할 필요를 없애주며, 누구나 같은 조건으로 거래할 수 있게 만들어 금융 시장의 효율성을 높여줍니다.

기술 요약

amortizing Perpetual Options (AmPOs) 기술 요약

Zachary Feinstein 의 논문 "Amortizing Perpetual Options"은 기존 분할 납입 옵션 (Installment Options) 의 비유동성 (non-fungibility) 문제를 해결하고, 거래소 기반 거래가 가능한 새로운 형태의 영구 옵션인 **상각형 영구 옵션 (Amortizing Perpetual Options, AmPOs)**을 제안합니다.

아래는 이 논문의 문제 제기, 방법론, 주요 기여, 결과 및 의의를 상세히 기술한 요약입니다.

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1. 문제 제기 (Problem Statement)

• 기존 분할 납입 옵션 (CI Options) 의 한계:
  • 전통적인 분할 납입 옵션은 보유자가 옵션을 유지하기 위해 하위 발행자 (underwriter) 에게 지속적인 현금 흐름 (분할 납입) 을 해야 합니다.
  • 보유자가 납입을 중단하면 계약이 소멸 (lapse) 됩니다.
  • 핵심 문제: 소멸 로직은 계약의 노미널 (notional) 단위를 서로 다르게 만듭니다. 즉, 납입을 중단한 계약과 계속 유지된 계약은 동일하지 않게 되어 **동질성 (fungibility)**이 깨집니다. 이로 인해 이러한 옵션은 장외 (OTC) 거래만 가능하고, 거래소 (Exchange) 에서 거래될 수 없습니다.
• 영구 옵션 (Perpetual Options) 의 부재:
  • 암호화폐 및 DeFi 시장에서 영구 선물 (Perpetual Futures) 은 널리 사용되지만, 영구 옵션은 아직 시장에서 큰 점유율을 차지하지 못했습니다. 기존 영구 옵션 설계들은 유동성 공급자나 거래소 환경에 적합하지 않은 구조적 결함을 가지고 있었습니다.

2. 방법론 (Methodology)

저자는 분할 납입 옵션의 구조를 재설계하여 거래소 거래가 가능하도록 하는 AmPO를 제안합니다.

• 명시적 납입에서 암시적 상각 (Amortization) 으로 전환:
  • 기존 CI 옵션처럼 보유자가 현금을 직접 지불하는 대신, 옵션의 노미널 (Claimable Notional) 이 시간에 따라 지수적으로 감소하도록 설계합니다.
  • 수식적으로, 시간 $t$에서의 노미널 $N_t$는 $dN_t = -q_t N_t dt$로 감소하며, 여기서 $q_t$는 상각률 (amortization rate) 입니다.
  • 이는 보유자가 옵션의 일부 지분을 하위 발행자에게 '내부적으로 매각'하여 유지 비용을 충당하는 것과 동일합니다.
• 동질성 (Fungibility) 보장:
  • 모든 계약이 동일한 상각 규칙 ($q_t$) 을 따르기 때문에, 개별 계약의 나이 (age) 나 과거 납입 이력에 관계없이 모든 단위 노미널이 동일하게 진화합니다. 이로 인해 거래소에서의 표준화된 거래가 가능해집니다.
• 수학적 모델링:
  • 블랙 - 숄즈 (Black-Scholes) 프레임워크 내에서 위험 중립 가치 (Risk-neutral valuation) 를 도출합니다.
  • 등가 변환 (Equivalence): AmPO 의 가치 평가 문제를 **배당금 지급 자산에 대한 영구 아메리칸 옵션 (Perpetual American Option)**의 가치 평가 문제로 변환합니다.
    • 무위험 이자율: $r \to r + q$ (상각률이 추가 할인율로 작용)
    • 배당 수익률: $\delta \to \delta + q$ (상각률이 추가 배당금으로 작용)
  • 이 변환을 통해 최적 실행 경계 (Optimal Exercise Boundary) 와 가격 공식에 대한 **해석적 해 (Analytical Expressions)**를 유도합니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 거래소 거래 가능한 영구 옵션의 최초 설계:
   • 명시적 현금 납입 없이 노미널의 감소를 통해 비용을 충당하는 방식을 도입하여, 분할 납입 옵션의 동질성 문제를 해결하고 거래소 거래를 가능하게 한 최초의 설계입니다.
2. 가치 평가 이론의 확립:
   • AmPO 가 배당금이 있는 자산의 영구 아메리칸 옵션과 수학적으로 동치임을 증명하여, 기존 옵션 이론을 바로 적용할 수 있는 기반을 마련했습니다.
3. 그리스 (Greeks) 및 비교 정적 분석:
   • 상각률 ($q$) 에 따른 옵션 가격, 델타, 감마, 베가, 세타 등의 민감도 분석을 수행했습니다.
   • 특히, 상각률이 높을수록 옵션의 유효 만기 (Effective Maturity) 가 짧아지고, 가격 변동성 (Vega) 에 대한 민감도가 감소함을 규명했습니다.

4. 주요 결과 (Key Results)

• 가격 및 실행 경계:
  • 상각률 $q$가 증가하면 옵션 프리미엄은 감소합니다.
  • 콜 옵션의 경우 최적 실행 경계 (Strike price 이상으로 상승해야 실행) 가 낮아지고, 풋 옵션의 경우 실행 경계가 높아져 실행이 더 보수적으로 변합니다.
  • $q \to 0$일 때 기존 영구 옵션으로 수렴하고, $q \to \infty$일 때 내재 가치 (Intrinsic Value) 로 수렴합니다.
• 그리스 (Greeks) 의 특성:
  • 세타 (Theta): 영구 옵션이므로 명시적인 시간 감소는 0 이지만, 상각으로 인해 경제적 손실 (내재 가치 감소) 이 발생하여 음의 세타 효과를 가집니다.
  • 베가 (Vega): 상각률 $q$가 증가하면 옵션 가격이 변동성에 덜 민감해집니다. 즉, 높은 상각률은 변동성 노출을 줄여주는 효과가 있습니다.
• 유효 만기 (Effective Maturity) 개념:
  • 상각률이 있는 영구 옵션을 특정 만기를 가진 기존 미국식 옵션과 가격적으로 동등하게 만드는 '유효 만기 ($T_{eff}$)'를 정의할 수 있습니다.
  • 시뮬레이션 결과, 높은 상각률 ($q \approx 1$) 에서도 유효 만기 시점에 노미널의 65% 이상이 남아있음을 보여주어, 이는 단순한 만기 설정이 아니라 가격 동등성 개념임을 강조했습니다.
• 전략적 활용:
  • 투자자는 예산 제약 하에서 변동성 노출 (Vega) 을 극대화하기 위해 상각률 $q$를 최적화할 수 있습니다. 예를 들어, 매도 (Bearish) 전략에서는 특정 상각률에서 포트폴리오의 총 베가가 최대가 되는 비단조적 (non-monotonic) 특성이 관찰되었습니다.

5. 의의 및 시사점 (Significance)

• 전통 금융 시장 (Traditional Finance):
  • 기관 투자자 (예: 연금 기금) 가 만기 연장이 필요한 보호성 포지션을 유지할 때, 기존 옵션의 롤오버 (Roll-over) 위험을 제거하고 상각 비용을 통해 지속적으로 노미널을 유지할 수 있게 합니다.
  • 거래소 거래를 통해 가격 발견 (Price Discovery) 이 개선되고 유동성이 증가합니다.
• 탈중앙화 금융 (DeFi):
  • 블록체인 환경에서 비동질성 토큰 (NFT) 기반의 옵션은 유동성이 낮습니다. 반면, AmPO 는 동질성 토큰이므로 자동화 시장 조성자 (AMM) 나 주문 장 (Order Book) 에서 효율적으로 거래될 수 있습니다.
  • 유동성 공급자의 손실 (Loss-versus-Rebalancing) 을 헤지하는 데 CI 옵션이 사용될 수 있음을 증명했으며, AmPO 는 이를 거래소 환경에 적용 가능하게 합니다.
• 상각률 설정의 중요성:
  • 상각률은 시장 조작 (Price Manipulation) 에 취약한 내생적 (Endogenous) 방식이 아닌, **외생적 고정 값 (Exogenous Fixed Constant)**으로 설정해야 합니다. 이는 DeFi 환경에서의 가격 조작 공격을 방지하고 시장 안정성을 확보하기 위한 핵심 설계 원칙입니다.

결론

이 논문은 분할 납입 옵션의 구조적 한계를 극복하고, **동질성을 갖춘 영구 옵션 (AmPO)**을 제안함으로써 전통 금융과 DeFi 모두에서 새로운 파생상품 시장을 창출할 수 있는 이론적, 실용적 기반을 마련했습니다. 특히, 상각률을 통한 비용 구조의 재설계는 옵션의 가격, 위험 관리, 그리고 시장 유동성에 있어 혁신적인 변화를 가져올 것으로 기대됩니다.