Simulation of S-parameters of general multilayer boxed PCBs with the method of moments and the scattering matrix algorithm

본 논문은 S-행렬 형식을 결합하여 완전한 이항 그린 함수를 유도하고 다양한 기저 함수를 사용하여 횡방향 및 종방향 전류를 모두 모델링함으로써 다층 박스형 PCB 의 S-파라미터를 시뮬레이션하는 수치적으로 안정된 모멘트 방법 도구를 제시한다.

핵심

당신이 고층 빌딩을 설계하는 건축가라고 상상해 보십시오. 하지만 콘크리트와 철근 대신, 당신의 건물은 플라스틱 층과 얇은 구리 시트가 샌드위치처럼 쌓인 것으로 만들어집니다. 이것이 바로 거의 모든 전자기기의 두뇌인 **인쇄회로기판 (PCB)**입니다.

이 고층 빌딩을 실제로 짓기 전에, 당신은 알고 싶어 할 것입니다: 전기가 최상층에서 최하층으로 매끄럽게 흐를까요? 아니면 막히거나 이상하게 튕겨 돌아올까요?

실제 세계에서는 프로토타입을 제작하고 테스트한 뒤, 실패하면 해체하고 다시 시작해야 합니다. 이는 비용이 많이 들고 느립니다. 따라서 엔지니어들은 설계를 가상으로 "테스트"하기 위해 컴퓨터 시뮬레이션을 사용합니다. 이 논문은 이러한 시뮬레이션을 실행하는 새로운, 더 지능적인 방법을 제시합니다.

다음은 그들의 방법을 간단한 비유로 풀어낸 내용입니다:

1. 문제: 시끄럽고 붐비는 방

메아리가 가득 찬 방에서 속삭임을 듣는다고 상상해 보십시오.

• PCB는 그 방입니다. 많은 층 (유전체) 과 금속 시트 (도체) 를 가지고 있습니다.
• 신호는 그 속삭임 (전기) 입니다.
• 과제: 전기가 이러한 층들을 통과할 때 벽과 금속 시트에서 튕겨 나옵니다. 신호가 정확히 어떻게 행동할지 예측하려면, 모든 파동이 다른 모든 파동과 어떻게 상호작용하는지 계산해야 합니다.

전통적으로 이러한 "메아리" (수학적으로 그린 함수라고 함) 를 계산하는 것은 해변의 모든 모래 알갱이를 세어 보려는 것과 같습니다. 특히 신호원과 수신기가 서로 가까울 때는 막대한 컴퓨팅 파워와 시간이 필요합니다. 수학은 복잡해지고, 불안정해지며, 느려집니다.

2. 해결책: "산란 행렬" (마법의 거울)

저자들은 **S-행렬 (Scattering Matrix)**이라는 방법을 사용하여 이러한 메아리를 처리하는 새로운 방식을 제안합니다.

PCB 를 서로 쌓아 올린 일련의 거울과 창문으로 생각해 보십시오.

• 구식 방법: 모든 표면에서 개별적으로 발생하는 모든 반사를 추적하여 빛의 경로를 계산합니다. 이는 매우 지루합니다.
• 새로운 방법 (S-행렬): 모든 반사를 추적하는 대신, 각 층을 특정 규칙집을 가진 "블랙박스"로 취급합니다.
  • 파동이 A 층의 상단에 부딪히면, 규칙집은 얼마나 반사되고 얼마나 B 층으로 통과하는지 정확히 알려줍니다.
  • A 층, B 층, C 층의 규칙집을 결합하여 전체 건물의 규칙집을 얻습니다.

이는 "전화" 게임을 하는 것과 같습니다. 전체 이야기를 알 필요 없이, 체인 속의 각 사람이 메시지를 어떻게 바꾸는지만 알면 됩니다. 이러한 "규칙집" (S-행렬) 을 사용하면 수학이 훨씬 안정적이 되고 계산이 쉬워지며, 복잡한 다층 구조에서도 가능합니다.

3. "지붕"과 "펄스" (빌딩 블록)

전기를 시뮬레이션하기 위해 컴퓨터는 금속 시트와 전선을 작은 조각으로 분해해야 합니다.

• 평평한 금속 시트: 저자들은 평평한 금속 층을 따라 흐르는 전류를 나타내기 위해 지붕 모양 (평평한 꼭대기와 경사진 측면) 을 사용합니다.
• 수직 와이어 (비아): PCB 에는 종종 층을 관통하여 상단을 하단에 연결하는 작은 와이어가 있습니다. 저자들은 이러한 와이어를 따라 위아래로 흐르는 전류를 나타내기 위해 펄스와 선형 모양 (평평한 블록이나 경사로와 유사) 을 사용합니다.

저자들은 이러한 "지붕"과 "펄스"가 "메아리" (S-행렬 규칙) 와 어떻게 상호작용하는지 계산하는 정확한 수학적 공식을 찾아냈습니다. 이를 통해 컴퓨터는 전체 기판의 동작을 예측하는 거대한 방정식을 구성할 수 있습니다.

4. 속도 향상 (고속 푸리에 변환)

새로운 "규칙집" 방법을 사용하더라도 컴퓨터는 여전히 수백만 번의 계산을 수행해야 합니다.

• 비유: 모든 셀을 채워야 하는 거대한 스프레드시트가 있다고 상상해 보십시오. 하나씩 수행하는 데는 영원히 걸립니다.
• 해결책: 저자들은 **FFT(고속 푸리에 변환)**라는 기법을 사용합니다. 이는 초고속 정렬 기계와 같습니다. 모든 셀을 개별적으로 확인하는 대신, 기계는 교묘하게 그룹화하여 거의 즉시 답을 찾습니다. 이로 인해 시뮬레이션이 실제 설계에 실용적일 정도로 빨라집니다.

5. 증명: 효과가 있었을까요?

저자들은 두 가지 예시로 새로운 방법을 테스트했습니다:

1. 필터: 세 층의 플라스틱과 여섯 개의 금속 스트립을 가진 표준 전자 부품입니다. 그들은 컴퓨터 결과를 다른 연구에서 알려진 데이터와 비교했고, 숫자가 완벽하게 일치했습니다.
2. 와이어가 있는 필터: 그들은 층을 연결하는 두 개의 수직 와이어 (비아) 를 추가했습니다. 이는 전류가 좌우로만 이동하는 것이 아니라 위아래로 이동하기 때문에 더 어려운 문제입니다. 그들의 방법은 이를 성공적으로 처리하여 와이어가 신호를 어떻게 변화시키는지 보여주었습니다.

결론

이 논문은 새로운 유형의 회로 기판을 발명하는 것이 아니라, 엔지니어를 위한 더 나은 계산기를 발명하는 것입니다.

보드 내부의 복잡한 메아리를 처리하기 위해 "규칙집" 접근 방식 (S-행렬) 을 사용하고, 전기를 매핑하기 위해 "지붕" 모양을 사용하여, 그들은 다음과 같은 시뮬레이션 도구를 만들었습니다:

• 더 안정적: 상황이 복잡해져도 충돌하거나 이상한 숫자를 주지 않습니다.
• 더 직관적: 이전 방법보다 이해하고 프로그래밍하기 쉽습니다.
• 더 빠름: 문제를 빠르게 해결하기 위해 속도 향상 트릭을 사용합니다.

이는 엔지니어들이 더 많은 물리적 프로토타입을 제작하지 않고도 더 좋고 신뢰할 수 있는 전자기기를 설계하는 데 도움을 줍니다.

기술 요약

기술 요약: 모멘트 방법과 산란 행렬 알고리즘을 활용한 일반 다층 박스형 PCB 의 S-파라미터 시뮬레이션

문제 제기
본 논문은 물리적 제조 전에 S-파라미터를 시뮬레이션하기 위해 차폐된 다층 인쇄회로기판 (PCB) 을 모델링하는 계산적 과제를 다룹니다. PCB 는 유전체 기판 내에 매립된 얇고 전도성이 높은 요소들 (금속화 패치, 스트립, 비아) 로 특징지어지지만, 전통적인 부피 이산화 방법은 비효율적입니다. 표면 및 부피 적분 방정식에 적용된 모멘트 방법 (MoM) 은 이산화를 도체로 제한하므로 선호되는 접근법입니다. 그러나 차폐 구조에 대한 기존 2.5D MoM 공식화는 두 가지 주요 어려움에 직면해 있습니다:

1. 그린 함수의 복잡성: 횡방향 (수평) 과 종방향 (수직) 전류 모두를 고려하는 층상 도파관에 대한 완전한 이차원 그린 함수를 유도하는 것은 해석적으로 번거롭습니다. 많은 기존 연구는 횡방향 전류에만 초점을 맞추거나 특정 층 수에 대해 복잡한 유도가 필요합니다.
2. 수치적 안정성과 수렴성: 차폐 도파관 내의 그린 함수는 일반적으로 무한 이중 급수를 포함하며, 특히 소스와 관측점이 서로 가까울 때 수렴이 느립니다. 또한, MoM 행렬을 구성하려면 이러한 그린 함수 성분과 기저 함수 간의 중첩 적분을 계산해야 하는데, 이 과정은 종종 통일되고 안정적이며 직관적인 알고리즘적 프레임워크가 부재합니다.

방법론
저자들은 차폐된 PCB 에 대한 전기장 적분 방정식 (EFIE) 을 해결하기 위해 모멘트 방법과 산란 행렬 (S-행렬) 형식을 결합한 통일된 프레임워크를 제안합니다.

• S-행렬을 통한 그린 함수 유도: 그린 함수에 대한 명시적 무한 급수를 유도하는 대신, 저자들은 필드 성분을 집계된 산란 행렬로 표현합니다. 층상 도파관은 균질한 유전체 층과 인터페이스의 시퀀스로 간주됩니다.

  • 기본 행렬: 이 방법은 유전체 층 간의 인터페이스, 균질한 층을 통한 전파, 그리고 경계 조건 (완전 전기 도체 또는 개방 도파관) 에 대한 기본 S-행렬을 정의합니다.
  • 집계 행렬: Redheffer star 곱을 사용하여 저자들은 "위쪽"($S^A$), "아래쪽"($S^B$), 그리고 "쌍"($S^P$) 행렬의 세 가지 집합을 구성합니다. 이들은 각각 소스와 관측점 위의, 아래의, 그리고 사이의 도파관 섹션을 나타냅니다.
  • 안정성: 이 공식화는 직접 급수 합산에서 종종 발생하는 소멸 모드와 관련된 수치적 불안정성을 피하기 위해 양의 길이 상수를 가진 지수 인자로 해를 표현함으로써 수치적 안정성을 보장합니다.

• 기저 함수와 중첩 적분:

  • 평면 금속화: 수평 스트립과 패치 위의 전류는 정규 격자 위의 표면 지붕형 기저 함수 (전체, 상승 램프, 하강 램프 반 지붕형) 를 사용하여 모델링됩니다.
  • 수직 인터커넥트 (비아): 수직 비아 위의 전류는 부피 펄스 및 선형 기저 함수를 사용하여 모델링됩니다.
  • 해석적 적분: 본 논문은 유도된 그린 함수 성분과 이러한 기저 함수 간의 중첩 적분 (반응 적분) 에 대한 명시적 해석적 표현식을 제공합니다. 여기에는 동일한 층, 다른 층에 있는 소스 및 관측점에 대한 적분과 여러 층을 가로지르는 비아에 대한 적분이 포함됩니다.

• 행렬 구성 및 스케일링:

  • MoM 선형 시스템은 적분 방정식을 선택된 기저 함수에 투영하여 구성됩니다.
  • 표면 전류 (A/m) 와 부피 전류 (A/m²) 의 혼합된 물리적 차원을 처리하기 위해 저자들은 행렬 요소와 소스 벡터의 특정 재스케일링을 도입합니다. 이는 최종 시스템 행렬의 단위가 옴, 전압 벡터의 단위가 볼트, 전류 벡터의 단위가 암페어가 되도록 보장합니다.

• 가속화:

  • 본 논문은 그린 함수의 무한 급수가 느리게 수렴한다고 인정합니다. 행렬 채우기와 해를 가속화하기 위해 저자들은 고속 푸리에 변환 (FFT) 기법을 사용합니다. 정규 격자 구조를 활용하여 행렬 요소를 블록 Toeplitz 및 Hankel 행렬의 합으로 표현함으로써 행렬 - 벡터 곱셈을 $O(n \log n)$ 연산으로 수행할 수 있게 합니다.

주요 기여

1. 통일된 S-행렬 형식: 본 논문은 다층 차폐 도파관 내의 임의의 소스 및 관측점에 대한 완전한 이차원 그린 함수를 구성하는 투명하고 일반적인 알고리즘을 제공합니다. 이 함수는 전통적인 전송선로 또는 모드 확장 접근법과 비교하여 구현을 단순화하는 세 가지 사전 계산된 S-행렬 집합 ($S^A, S^B, S^P$) 으로만 표현됩니다.
2. 포괄적인 기저 함수 지원: 이 작업은 동일한 S-행렬 프레임워크 내에서 수평 금속화 (지붕형 함수 사용) 와 수직 인터커넥트 (펄스 및 선형 부피 함수 사용) 를 모델링하는 데 필요한 중첩 적분을 명시적으로 유도합니다.
3. 수치적 안정성: 유도된 표현식은 지수 항의 특정 배치로 인해 소멸 모드를 포함하는 모든 층 구성에 대해 수치적으로 안정한 것으로 입증되었습니다.
4. 구현 및 검증: 이 방법은 C++ 로 구현되었으며 기존 문헌 및 수정된 테스트 사례에 대해 검증되었습니다.

결과
저자들은 두 가지 수치적 예시를 사용하여 방법을 검증했습니다:

1. 세 개의 유전체 층을 가진 필터: 도파관 내 여섯 개의 금속 스트립을 가진 구조가 시뮬레이션되었습니다. 1~4 GHz 범위에서 계산된 S-파라미터 ($S_{11}$ 및 $S_{21}$) 는 이전에 출판된 연구 (참조 [82]) 의 결과와 훌륭한 일치를 보여, 그린 함수 및 중첩 적분 유도식의 정확성을 확인했습니다.
2. 수직 인터커넥트가 있는 필터: 첫 번째 예시는 서로 다른 금속 층을 연결하는 두 개의 수직 비아를 포함하도록 수정되었습니다. 시뮬레이션은 이러한 수직 인터커넥트가 S-파라미터에 미치는 영향을 모델링할 수 있는 이 방법의 능력을 성공적으로 입증하여 부피 기저 함수와 S-행렬 그린 함수의 통합을 검증했습니다.

의의 및 주장
본 논문은 PCB 모델링의 일반적 문제가 새로운 것은 아니지만, 구체적인 기여는 다음과 같은 특징을 가진 대체 해결 방법에 있음을 주장합니다:

• 투명성과 우아함: S-행렬 접근법은 기존 복잡한 유도보다 그린 함수를 구성하는 더 직관적이고 간결한 방법을 제공합니다.
• 일반성: 이 방법은 임의의 층 수에 적용 가능하며, 각각에 대해 별도의 구별된 이론적 프레임워크를 요구하지 않고 수평 및 수직 전류 모두를 모델링할 수 있습니다.
• 구현의 용이성: S-행렬 구성의 알고리즘적 성격 (기본 행렬의 재귀적 결합) 은 소프트웨어에서의 구현을 단순하게 만듭니다.
• 확장성: 현재 구현은 지붕형 및 펄스/선형 기저를 사용하지만, 저자들은 유도된 그린 함수 표현식이 다양한 모양의 객체를 모델링하기 위해 다른 기저 함수 (예: RWG, 정현파) 와 결합될 수 있음을 지적합니다.

저자들은 현재 구현이 비아 길이를 따라 균일한 전류 분포와 얇은 금속화 층을 가정하지만, 이 방법은 비균일 전류와 유한 두께 층으로 쉽게 확장될 수 있음을 지적하며 겸손한 입장을 유지합니다. 이 작업은 개방 (비차폐) 매체 그린 함수 문제를 해결한다고 주장하지 않으며, 차폐 (박스형) 도파관 환경에 엄격히 초점을 맞춥니다.