A Law of Iterated Expectation Primer for Causal Inference

큰 그림: 왜 이것이 필요한가?

만약 당신이 특정 약물(예를 들어 "타목시펜"이라고 부릅시다)이 실제로 유방암 재발을 예방하는지 알고 싶다고 가정해 봅시다. 완벽한 세상이라면, 한 그룹에는 약을 주고 다른 그룹에는 설탕물을 준 뒤 그 결과를 비교하면 될 것입니다. 이것이 무작위 대조 시험(randomized trial)입니다.

하지만 현실 세계에서 우리는 종종 **관찰 데이터(observational data)**만을 갖게 됩니다. 우리는 사람들에게 강제로 약을 먹게 할 수 없습니다. 그저 사람들이 무엇을 선택하는지 지켜볼 뿐입니다. 문제는 약을 선택한 사람들이 선택하지 않은 사람들과 다를 수 있다는 점입니다(예를 들어 더 아프거나 유전적 특성이 다를 수 있습니다). 이러한 차이를 **교란 요인(confounders)**이라고 부릅니다. 만약 우리가 이를 고려하지 않는다면, 환자의 기저 질환 때문에 발생한 일을 약물 때문이라고 잘못 비난할 수 있습니다.

이 논문은 이 수학적 문제를 해결하는 방법을 설명하는 "프라이머(입문서)"입니다. 이 논문은 **반복 기댓값의 법칙(Law of Iterated Expectation)**이라는 특정 수학적 도구를 설명하고, 이 도구가 어떻게 무질서한 현실 세계의 데이터를 인과 관계에 대한 명확한 답으로 바꾸어 놓는지 보여줍니다.

핵심 개념: "반복 기댓값의 법칙"

이 법칙을 **가중 평균(weighted average)**을 계산하는 방법이라고 생각하십시오.

당신이 학교 교장으로서 전교생의 평균 시험 점수를 구하려고 한다고 상상해 봅시다.

• 단순한 방법: 모든 학생의 점수를 다 더한 다음 학생 수로 나눕니다. 이것이 "주변 기댓값(marginal expectation)"입니다.
• "반복적인" 방법: 학교에 학년(1학년, 2학년 등)이 있다는 것을 깨닫습니다. 1학년의 평균 점수를 구하고, 그다음 2학년의 평균 점수를 구하는 식입니다. 그런 다음, 각 학년에 학생이 얼마나 있는지에 따라 가중치를 두어 이 학년별 평균들을 결합합니다.

반복 기댓값의 법칙은 단순히 다음과 같이 말합니다: 모두를 한꺼번에 평균 내든, 그룹별로 먼저 평균을 낸 뒤 그룹들을 결합하든, 결국 똑같은 최종 결과에 도달한다.

논문에서 저자들은 이 수학적 항등식이 인과 효과를 알아내기 위해 사용되는 유명한 도구인 **g-공식(g-formula)**의 엔진임을 설명합니다.

같은 차를 운전하는 두 가지 방법: NICE와 ICE

이 논문은 이 수학을 사용하여 인과 문제를 해결하는 두 가지 서로 다른 방법을 소개합니다. 이 두 방법은 수학적으로 동일하며(정확히 같은 답을 냅니다), 데이터를 바라보는 관점만 다릅니다. 저자들은 이를 NICE와 ICE라고 부릅니다.

1. NICE (비반복적 조건부 기댓값, Non-Iterative Conditional Expectation)

비유: "레시피 북" 접근법.
도시 전체 사람들의 평균 키를 알고 싶지만, 빨간 모자를 쓴 사람과 파란 모자를 쓴 사람에 대한 데이터만 가지고 있다고 상상해 봅시다.

• NICE의 작동 방식: "빨간 모자" 그룹을 보고 그들의 평균 키를 계산합니다. "파란 모자" 그룹을 보고 그들의 평균 키를 계산합니다. 그런 다음, 도시 인구 조사 자료를 통해 빨간 모자를 쓴 사람과 파란 모자를 쓴 사람의 비율이 각각 얼마인지 확인합니다. 마지막으로, 인구 조사 비율을 가중치로 사용하여 이 두 평균을 혼합합니다.
• 논문에서의 적용: 저자들은 이를 타목시펜과 림프절의 간단한 예시를 통해 보여줍니다. 다양한 그룹에 대한 재발률을 계산한 다음, 그 숫자들을 "대입"하여 최종 가중 평균을 얻습니다.

2. ICE (반복적 조건부 기댓값, Iterative Conditional Expectation)

비유: "예측 기계" 접근법.
당신이 일기 예보관이라고 상상해 보십시오. 과거의 데이터를 단순히 평균 내는 대신, 그날의 조건에 따라 매일의 날씨를 예측하는 모델을 만듭니다.

• ICE의 작동 방식: 데이터를 가져와 모델에 실행시킨 뒤, 모든 사람에 대해 (마치 모두가 약을 복용한 것처럼) "예측된 결과"를 생성합니다. 그런 다음 그 모든 예측값의 평균을 구합니다.
• 논문에서의 적용: 저자들은 모든 사람에 대한 "가정적(what-if)" 예측 목록을 만든 다음, 이를 모두 평균 내는 방식으로 이 작업을 수행할 수 있음을 보여줍니다.

핵심 요점: "레시피 북"(NICE)을 사용하든 "예측 기계"(ICE)를 사용하든, 당신은 결국 같은 숫자에 도달합니다. 논문은 이 두 방법이 단지 다르게 쓰인 동일한 수학적 문장임을 증명합니다.

더 복잡해지기: 시간과 움직이는 요소들

논문은 단순한 예시에서 멈추지 않습니다. 상황이 복잡해질 때 이 방식이 어떻게 작동하는지 보여줍니다.

1. 더 많은 변수: 나이, 소득, 인종, 성별이 모두 뒤섞여 있다면 어떨까요? "레시피 북"(NICE)은 조합이 너무 많아지기 때문에 작성하기 매우 어려워집니다. 반면 "예측 기계"(ICE)는 컴퓨터가 수학을 처리하게 하면 되므로 훨씬 쉽습니다.

2. 시간에 따라 변하는 교란 요인(Time-Varying Confounders): 이것이 가장 어려운 부분입니다. 다음과 같은 시나리오를 상상해 보십시오.

   • 당신이 시간 1(Time 1)에 약을 복용합니다.
   • 그 약이 시간 2(Time 2)에 당신의 건강 상태(교란 요인)를 변화시킵니다.
   • 이 새로운 건강 상태가 시간 2에 당신이 두 번째 약을 복용할지 여부에 영향을 미칩니다.
   • 마지막으로, 시간 3(Time 3)에 결과를 관찰합니다.

   이 시나리오에서는 "교란 요인"(당신의 건강) 자체가 처치(treatment)에 의해 변경되었기 때문에 표준 통계학은 실패합니다. 논문은 g-공식(반복 기댓값의 법칙 사용)이 이 매듭을 푸는 유일한 방법임을 보여줍니다. 이는 역방향으로 작업함으로써 수행됩니다.

   • 먼저, 맨 마지막의 결과를 예측합니다.
   • 그다음, 시간 2에 무슨 일이 일어났는지 예측하기 위해 역방향으로 거슬러 올라갑니다.
   • 그다음, 시간 1로 역방향으로 거슬러 올라갑니다.
   • 마지막으로, 이 모든 것을 평균 냅니다.

   논문은 이를 "역방향 재귀(backward recursion)"라고 부릅니다. 이는 마치 출구에서 시작하여 입구로 걸어서 돌아가는 방식으로 미로를 푸는 것과 같습니다.

저자들이 실제로 주장하는 것 (그리고 주장하지 않는 것)

• 그들은 다음과 같이 주장합니다: 반복 기댓값의 법칙은 우리가 "관찰한 것"을 "실제로 일어났을 일"(인과 효과)로 바꿀 수 있게 해주는 수학적 토대입니다.
• 그들은 다음과 같이 주장합니다: NICE와 ICE 방법은 수학적으로 동등합니다. 이들은 단지 다르게 표현된 동일한 것입니다.
• 그들은 다음과 같이 주장합니다: 단순한 상황(시간 고정형)에서는 두 방법 모두 쉽습니다. 복잡한 상황(시간 가변형)에서는 ICE 방법(역방향 작업)이 코딩하기 더 쉽고 특정 유형의 오류에 더 강건(robust)합니다.
• 그들은 다음과 같이 주장하지 않습니다: 이 논문은 새로운 의학적 결과, 새로운 임상 지침, 또는 의사에게 환자를 어떻게 치료할지에 대한 구체적인 조언을 제공하는 것이 아닙니다. 이것은 순수하게 데이터를 분석하는 수학과 논리에 관한 가이드입니다.
• 그들은 다음과 같이 주장하지 않습니다: 한 방법이 다른 방법보다 일반적인 의미에서 "더 낫다"고 주장하지 않습니다. 그것들은 단지 같은 일을 하기 위한 서로 다른 도구일 뿐입니다. 다만, 수학적 모델이 틀렸다면 두 방법 모두 틀린 답을 낼 수 있다는 점을 언급합니다.

결론

이 논문은 번역가입니다. 이 논문은 매우 난해하고 무서운 수학적 개념(반복 기댓값의 법칙)을 가져와서, 그것이 어떻게 원시 데이터와 인과적 진실 사이의 가교 역할을 하는지 설명합니다. 이 논문은 연구자들에게 "가중 평균" 접근법을 사용하든 "단계별 예측" 접근법을 사용하든, 그들이 "우리가 만약 다른 행동을 했다면 어떤 일이 일어났을까?"라는 질문에 답하기 위해 동일한 근본적 논리를 사용하고 있음을 보여줍니다.