On representation of macroscopic crack in periodic fine-scale discrete mechanical models

기술 요약: 주기적 미세 구조 이산 역학 모델에서의 거시적 균열 표현에 관하여

문제 제기
콘크리트와 같은 불균질한 연화(softening) 재료의 다중 스케일 모델링에서, 미세 구조 대표 체적 요소(RVE)에 적용되는 경계 조건(BCs)은 변형 국부화(strain localization)의 개시와 패턴에 상당한 영향을 미친다. 표준 주기적 경계 조건(PBCs)은 탄성 또는 경화 재료에는 적합하지만, 국부화 대역의 기울기가 모델 기하 구조(예: 정사각형 또는 입방체 도메인)의 주기성 방향과 일치하지 않는 연화 재료에서는 인위적인 연성 거동과 과도한 에너지 소산을 유발한다. 이러한 불일치는 주기성을 만족시키기 위해 다수의 비물리적인 균열 패턴 형성을 강제하며, 결과적으로 거시적 응답을 왜곡시킨다. 구형 또는 원형 모델은 방향에 독립적인 기하 구조를 제공하지만, 표준 PBC는 국부화 대역이 경계를 가로지르는 것을 여전히 방지한다. 연속체 모델을 위해 새로운 경계 조건들이 제안되었으나, 이산 역학 모델에 대한 적용 가능성은 아직 검증되지 않았다.

방법론
본 연구는 콘크리트의 메조스케일 이산 입자 모델(구체적으로 격자-이산 입자 모델 또는 LDPM 프레임워크)에 세 가지 새로운 경계 조건 접근법의 적용 가능성을 평가한다. 모델은 입자 간 접촉에서 정의된 구성 행동을 갖는 상호 연결된 강체 입자들로 구성된다. 조사는 2차원 정사각형 및 원형 모델, 그리고 선택된 3차원 입방체 모델을 대상으로 다양한 하중 각도에서의 단축 인장을 포함하여 수행되었다.

본 연구는 다음의 경계 조건 전략들을 비교한다:

1. 표준 주기적 BCs: 경계 노드들이 거시적 변형에 기초하여 서로 상대적으로 움직이도록 제한하는 기본 접근 방식이다.
2. 최소 운동학적 BCs (Minimal Kinematic BCs): 평균 미세 구조 변형은 0으로 강제하되, 강체 운동은 허용하는 제약 조건이다.
3. 투과 경로 정렬 BCs (Percolation-path-aligned BCs): 주기성 프레임을 진화하는 국부화 대역에 맞춰 회전시킨다. 이들은 균열에 수직인 경계 섹션에는 강한 주기성을 부여하고, 법선이 일치하지 않는 섹션에는 약한(적분적) 주기성을 부여한다.
4. 테셀레이션 BCs (Tessellation BCs): 국부화 대역이 인접 도메인으로 계속 이어지게 함으로써(즉, 변형된 모델들로 공간을 테셀레이션함으로써) 주기성 프레임을 오프셋($\Delta x$)만큼 이동시킨다. 이는 균열 패턴이 반복되지 않도록 한다.
5. 매립 균열 BCs (Embedded-crack BCs, 원형 모델용): 특정 "개방 노드 쌍(opening node pair)"에 미지의 변위 점프를 도입하여 원형 도메인이 분리될 수 있도록 하는 PBC의 수정 형태이다.

모델은 보조 경계 노드를 가진 "매끄러운" 표면 기하 구조와 벌크(bulk)와 통계적으로 동일한 "거친" 표면 기하 구조를 모두 활용한다. 시뮬레이션은 2D 정사각형 모델에 대해 20회, 원형 및 3D 입방체 모델에 대해 10회의 실현(realizations)을 통해 Open Academic Solver (OAS)를 사용하여 수행되었다.

주요 결과

• 표준 주기적 BCs: 방향 의존적인 연화 현상을 일으킴을 확인하였다. 2D에서의 $0, \pi/4, \pi/2$ 또는 3D에서의 특정 직교 방향 이외의 하중 각도에서, 다수의 인위적으로 긴 균열이 형성됨에 따라 에너지 소산이 기준치보다 최대 2.5배까지 크게 증가하였다.
• 최소 운동학적 BCs: 연화 모델에는 부적합한 것으로 나타났다. 몇 개의 노드 탈착이 에너지적으로 유리해지는 경계 부분에서 가짜 변형 국부화가 발생하여, 비현실적으로 낮은 에너지 소산과 피크 응력을 초래하였다.
• 투과 경로 정렬 BCs: 주요한 결함을 보였다. 강하게 제약된 경계 섹션과 약하게 제약된 경계 섹션 사이의 차이가 불균일한 변형을 유발하였다. 이는 특히 하중 각도가 $\pi/8$에서 $3\pi/8$ 사이일 때, 다수의 국부화 대역(이차 균열) 형성이나 약하게 제약된 섹션에서의 가짜 국부화를 초래하였다. 결과는 모델의 내부 불균질성에 강한 의존성을 보였다.
• 테셀레이션 BCs: 모든 하중 방향에 대해 일관되게 단일하고 명확한 국부화 대역을 생성하였다. 대역의 길이는 모델의 기하 구조와 하중 각도에 의해서만 결정되었다. 결과적으로, 하중 방향에 따른 에너지 소산의 의존성은 경계 조건의 오류가 아닌 기하학적 요인(균열 길이)에 의한 것임이 밝혀졌다. 2D에서는 에너지 소산이 이론적 기하 계수($1/h$)와 밀접하게 일치하였으며, 3D에서는 이산화 효과로 인해 상관관계가 다소 약했으나 합리적인 수준이었다.
• 매립 균열 BCs (원형 모델): 일관되지 않은 결과를 생성하였다. 균열이 특정 "개방 노드 쌍"에서 시작될 때는 완전한 국부화 대역을 허용하였으나, 그 결과는 내부 불균질성에 의해 결정되었다. 만약 균열이 다른 곳에서 시작되면, 모델은 표준 PBC 하에서의 모델과 유사하게 동작하여 다수의 균열과 과도한 에너지 소산을 초래하였다.

의의 및 결론
본 논문은 테셀레이션 BCs가 이산 모델에서 기존 방식들보다 가장 유의미한 개선을 제공한다고 결론짓는다. 이 방식은 에너지 소산이 경계 조건의 인위적인 제약이 아닌 국부화 대역의 기하 구조에 의해 지배되는 일관된 거시적 응답을 제공한다. 이를 통해 계산된 균열 길이에 기반한 직접적인 사후 처리 보정이 가능하다.

반면, 투과 경로 정렬 BCs는 다수의 균열이나 가짜 국부화를 유도할 가능성이 있어 이산 모델에는 신뢰할 수 없는 것으로 간주된다. 원형 모델을 위한 매립 균열 BCs는 특정 균열 개시 지점에 의존하기 때문에 결과가 확률적이며 무작위 내부 구조에 종속된다는 한계가 있다.

저자들은 이러한 결론이 균질한 재료 파라미터를 가진 이산 모델의 단조 단축 인장 상황에 국한된다는 점을 명시하였다. 이들은 이러한 방법론의 더 복잡한 하중 시나리오나 불균질한 재료 분포를 가진 연속체 모델에 대한 적용 가능성은 여전히 미해결 과제로 남아 있음을 인정하였다. 또한, 이러한 새로운 경계 조건의 실제 구현을 위해서는 국부화 개시 시점의 균열 법선 방향을 결정하는 견고한 기술이 필요하며, 이는 반복적인 해법(iterative solutions)에서 항상 용이한 것은 아니라고 언급하였다.