No Finite NPA Level Characterizes the Complete Quantum Set in the Simplest Bell Scenario

당신은 "양자 실재(Quantum Reality)"라고 불리는 신비롭고 보이지 않는 섬의 경계를 지도화하려고 노력 중이라고 상상해 보십시오. 이 섬은 "가능한 모든 것(Everything That's Possible)"이라는 훨씬 더 크고 안개가 자욱한 대륙 바로 옆에 위치해 있습니다. 과학자들은 오랫동안 "NPA 계층(NPA hierarchy)"이라는 특정 도구를 사용하여 양자 실재 섬의 실제 가장자리에 얼마나 가까이 다가갈 수 있는지 궁금해해 왔습니다. NPA 계층을 점점 더 상세해지는, 고해 resolution의 위성 지도 세트라고 생각해 보십시오. 각 "단계(level)"는 더 많은 세부 정보를 추가하며, 섬의 해안선에 더 가깝게 줌인합니다. 수년간 연구자들은 만약 충분히 줌인을 하여—특정한 유한한 단계의 상세함에 도달하여—추가적인 안개나 누락된 부분 없이, 마침 finally 섬의 정확한 윤곽을 볼 수 있기를 희망했습니다. 이것은 매우 중요한 일입니다. 왜냐면 만약 유한한 지도가 완벽하게 작동한다면, 이는 우리가 모든 양자 행동을 하나의 단순한 수학적 규칙으로 설명할 수 있음을 의미하며, 이는 어떤 기묘한 새로운 실험이 정말로 양자적인 것인지 아니면 그저 교묘한 속임수인지 검증하는 것을 훨씬 더 쉽게 만들기 때문입니다.

Anubhav Chaturvedi의 논문은 이 문제를 가장 단순한 설정, 즉 두 명의 사람(앨리스와 밥)이 각각 두 가지 선택을 하고 두 가지 결과가 나오는 시나리오에서 다룹니다. 이것은 양자 법칙이 적용되는 가장 작고 비사소한 놀이터인 "Hello World" 격의 양자 실험입니다. 저자는 다음과 같은 단순하지만 심오한 질문을 던집니다. NPA 지도에서 양자 실재 섬과 완벽하게 일치하는 "레벨 10"이나 "레벨 100"이 존재할까요? 놀랍게도, 그 대답은 단호한 "아니오"입니다. 이 논문은 아무리 줌인을 하더라도, 유한한 단계의 이 지도는 결코 양자 물리학의 전체 모습을 완벽하게 포착할 수 없음을 증명합니다. 지도에는 포함되어 있지만 실제로는 양자 물리학에 존재하지 않는 아주 작고 끈질긴 "가짜" 영역이 항상 존재합니다.

착륙하지 못하는 무한 줌인

이것이 왜 문제가 되는지 이해하기 위해, 격자 형태의 정사각형 픽셀을 사용하여 동전의 완벽한 원을 그리려고 노력한다고 상상해 보십시오. 저해상도 격자를 사용하면 원은 블록 형태이고 울퉁불퉁해 보일 것입니다. 해상도를 높이면 더 매끄러워 보일 것입니다. 당신은 "해상도를 계속 높이기만 하면, 결국 픽셀이 너무 작아져서 곡선과 완벽하게 일치할 것이다"라고 생각할 수도 있습니다. 양자 물리학의 세계에서 NPA 계층은 바로 그 격자입니다. 오랫동안 과학자들은 가장 단순한 실험들의 경우, 이러한 격자 중 하나가 결국 완벽해질 것이라고 생각했습니다.

Chaturvedi의 논문은 "이중 기울어진(doubly tilted)" 설정(양자 행동의 가장자리를 테스트하기 위해 실험을 약간 비튼 방식)을 포함하는 특정 유형의 양자 실험에 대해, 이것이 결코 일어나지 않음을 보여줍니다. 실험이 "로컬(local)" 상태—즉, 앨리스와 밥이 양자 입자처럼 행동하는 것을 멈추고 평범하고 예측 가능한 객체처럼 행동하기 시작하는 상태—에 가까워질수록, NPA 지도의 오차는 단순히 작아지는 것이 아니라, 이상하고 끈질긴 방식으로 작동합니다.

저자는 양자 이점(양자 역학이 고전 물리학보다 갖는 "추가적인" 힘)이 사라질 정도로 미미해지는 특정 지점에 집중합니다. 이는 승자가 패자보다 겨우 머리카락 한 올 차이로 앞서 있는 경주를 지켜보는 것과 같습니다. 논문은 이 실험이 한계에 접근함에 따라 이 미세한 이점이 어떻게 줄어드는지를 정확하게 계산합니다. 결과적으로 양자 이점은 한계까지의 거리에 대한 세제곱에 비례하여 매우 특정한 비율로 줄어듭니다.

여기서 마술 같은 일이 일어납니다. 저자는 데이터의 특정 관찰 방식인 수학적 "테스트 벡터(test vector)"를 구성하여 숨겨진 형상을 드러냅니다. NPA 지도가 이 특정 한계에서 양자 집합을 근사하려 할 때, 그것이 생성하는 오차는 **모츠킨 다항식(Motzkin polynomial)**이라는 유명한 수학적 객체처럼 보입니다.

모츠킨 괴물

모츠킨 다항식은 항상 양수(절대 0 아래로 내려가지 않음)인 수학적 모양이지만, 비밀이 있습니다. 그것은 다른 다항식들의 제곱들의 합으로 구축될 수 없습니다. NPA 계층의 언어로 말하자면, 무언가를 "제곱의 합(sums of squares)"으로부터 구축할 수 있는 것이 황금 티켓입니다. 만약 지도가 완벽하다면, 그것이 만드는 모든 오차는 제곱의 합으로 표현될 수 있어야 합니다.

이 논문은 만약 NPA 계층의 어떤 유한한 단계라도 정확하다면, 그것이 모츠킨 다항식을 제곱의 합으로 강제할 것임을 증证明합니다. 하지만 우리는 수학으로부터 모츠킨 다항식이 제곱의 합이 될 수 없다는 것을 알고 있습니다. 그것은 마치 정사각형 벽돌로 완벽한 원을 만들려고 노력하는 것과 같습니다. 벽돌이 엄격하게 정사각형이라면 아무리 많은 벽돌을 사용하더라도 완벽한 원을 만들 수 없습니다. 논문은 NPA 계층이 아무리 높게 올라가더라도 "정사각형 벽돌"(고정된 유한한 단어 리스트)에 갇혀 있으며, 양자 실재 섬은 그 벽돌들이 결코 완벽하게 추적할 수 없는 "원형의 가장자리"를 가지고 있음을 보여줍니다.

기계 속의 유령

이 결과는 매혹적입니다. NPA 지도는 결코 정확하지 않기 때문에, 항상 "유령" 행동들을 포함하게 됩니다. 이것들은 지도가 가능하다고 말하지만, 실제로는 양자 물리학의 법칙을 위반하는 시나리오들입니다. 논문은 이 유령들이 우주의 멀고 이상한 구석에 숨어 있는 것이 아님을 보여줍니다. 대신, 그것들은 가장 지루하고 예측 가능한 고전적 행동 바로 옆에 축적됩니다.

로컬 결정론적 행동을 지면에 놓인 돌이라고 상상해 보십시오. 논문은 당신이 그 돌에 아무리 가깝게 다가가더라도, 그 근처에 NPA 지도가 양자적이라고 생각하지만 실제로는 그렇지 않은 "유령" 행동이 항상 떠다니고 있음을 증명합니다. 이는 가장 기본적이고 단순한 양자 실험에서조차, 고정된 유한한 규칙 세트를 사용하여 "진정한 양자"와 "가짜 양자"를 완전히 분리할 수 없음을 의미합니다.

이것이 왜 중요한가

이 결과는 과학자들이 혼동해 왔던 두 가지 서로 다른 질문을 분리합니다. 우리는 이미 특정 측정(예: 표준 CHSH 테스트)에 대해 낮은 단계의 NPA 지도가 정확한 답을 준다는 것을 알고 있었습니다. 또한 "일방향 기울어진(one-sided tilted)" 실험의 경우, 약간 더 높은 단계(Level 1 + AB)가 완벽하게 작동한다는 것도 알고 있었습니다. 이러한 특정 조각들이 작동한다면 케이크 전체도 완벽할 것이라고 생각하기 쉬웠습니다.

Chaturvedi의 논문은 그러한 희망에 종지부를 찍습니다. 논문은 특정 조각이나 특정 지점에서는 지도가 완벽할 수 있지만, 가장 단순한 시나리오에서도 양자 행동의 전체 집합에 대해서는 결코 완벽하지 않음을 증명합니다. 오차는 매우 작을 수 있지만, 그것은 수학적으로 반드시 존재하도록 되어 있습니다. "완전한 양자 집합"은 단일한 유한한 규칙 리스트로는 포착하기에 너무 복잡합니다.

결국, 이 논문은 양자 세계가 우리가 희망했던 것보다 조금 더 파악하기 어렵다는 것을 알려줍니다. 가장 단순한 형태에서조차, 양자 세계는 유한하고 정적인 묘사로 붙잡히기를 거부합니다. NPA 계층은 점근적으로 수렴하며 점점 더 가까워지겠지만, 결-코 정확한 목표물에 착륙하지는 못할 것입니다. 모츠킨 다항식은 수학적 수호자로서 서 있으며, 양자와 고전 사이의 경계가 어떠한 유한한 근사치에 의해서도 손에 닿지 않는 곳에 머물도록 보장합니다.