The crystallographic quaternions and their product law

당신이 장난감 팽이가 도는 모습이나 무용수가 피루엣(pirouette)을 하는 모습을 묘사하려 한다고 상상해 보십시오. 물리학과 공학의 세계에서, 우리는 이 움직임을 설명하기 위해 '사원수(quaternion)'라는 특별한 수학적 도구를 가지고 있습니다. 사원수를 효율적인 회전 지침서라고 생각하십시오. 컴퓨터에게 무언가를 어떻게 회전시킬지 알려주기 위해 (행렬처럼) 거대하고 복잡한 숫자 목록을 사용하는 대신, 사원수는 계산이 더 빠르고 오류가 발생할 가능성이 적은 압축된 코드를 사용합니다. 보통 이러한 지침들은 세상이 완벽한 정사각형 격자, 즉 모든 선이 90도로 만나는 모눈종지 같은 구조로 이루어져 있다고 가정하며 작성됩니다. 이것을 '데카르트 기저(Cartesian basis)'라고 부르며, 대부분의 수학이 사용하는 표준 놀이터입니다.

하지만 실제 결정(crystal)의 세계는 항상 완벽한 정사각형으로 만들어져 있지는 않습니다. 금속이나 광물에서 발견되는 많은 결정은 원자들이 기묘하게 기울어진 형태로 배열되어 있습니다. 그들의 내부 격자는 늘어난 직사각형이거나, 기울어진 상자이거나, 육각형일 수 있습니다. 만약 당신이 이 기울어진 결정에 대해 표준적인 '정사각형 격자' 기반의 회전 지침을 사용하려 한다면, 수학적 계산을 할 때마다 이 기울어진 결정의 세계와 가상의 정사각형 세계 사이를 끊임없이 번역해야 합니다. 이는 마치 정사각형 팬에 케이크를 굽고 싶으면서도, 재료를 잴 때마다 둥근 그릇에 옮겨 담아 측정하고, 다시 변환하고, 또 다시 측정하는 것과 같습니다. 작동은 하겠지만, 지저지고 느리며 오류가 발생하기 쉽습니다. 이것이 바로 전자 후방 산란 회절(EBSD) — 결정 표면의 사진을 찍어 그 방향성을 파악하는 기술 — 을 연구하는 과학자들이 직면해 온 퍼즐입니다. 그들은 기울어진 결정이 어떻게 회전하고 있는지 정확히 알아야 하지만, 표준적인 수학 도구들은 마치 엉뚱한 언어로 말하고 있는 것처럼 느껴집니다.

여기, 스위스 로잔 연방 공과대학교(EPFL)의 연구자인 시릴 케이론(Cyril Cayron)이 등장합니다. 그는 번역을 멈추고 결정의 모국어를 직접 말하기로 결심했습니다. 그의 논문에서 그는 사원수 시스템에 대한 영리한 업그레이드를 제안합니다. 그는 우리가 결정을 정사각형 상자에 억지로 맞출 필요가 없다고 주장합니다. 대신, 우리는 사원수 게임의 규칙을 일반화하여 결정이 실제로 존재하는 기울어지고 기묘한 모양의 격자 위에서도 완벽하게 작동하도록 만들 수 있습니다.

이 새로운 방법의 핵심 비결은 케이론이 도입한 한 쌍의 수학적 '마법 지팡이'입니다. 첫 번째 도구는 **메트릭 텐서(metric tensor)**로, 이는 이미 과학자들에게 알려진 도구이며, 기울어진 표면에서의 거리와 각도를 측정할 줄 아는 자라고 생각하면 됩니다. 두 번째는 케이론이 발명한 새로운 도구인 **크로스 텐서(cross tensor)**입니다. 메트릭 텐서가 자라면, 크로스 텐서는 기울어진 격자 위에서 '외적(cross product, 두 벡터에 수직인 방향을 찾는 방법)'을 처리할 줄 아는 각도기입니다. 케이론은 이 두 도구가 사실 서로 사촌 관계이며, 크로스 텐서는 메트릭 텐서 역행렬의 특정한 계산된 버전이라는 것을 보여줍니다.

이 도구들을 결합함으로써, 케이론은 사원수 곱셈을 위한 새로운 공식을 유도합니다. 이 새로운 공식은 두 회전이 결합되는 방식(예를 들어 팽이를 돌린 후 기울이는 것)을 결정 고유의 기울어진 좌표계 안에서 직접 계산할 수 있게 해줍니다. 더 이상 정사각형 격자로 번역하기 위해 왔다 갔다 할 필요가 없습니다! 이 논문은 이러한 직접적인 접근 방식이 비입방 결정(non-cubic crystals)에 대해 수학적으로 타당할 뿐만 아니라, 컴퓨터 프로그램 입장에서 잠재적으로 더 효율적임을 입증합니다.

또한 이 논문은 결정 내에서 각도나 거리를 측정하기 위해 반드시 데카르트(정사각형) 기저를 사용해야 한다는 흔한 오해를 다룹니다. 케이론은 이러한 믿음이 불필요하다고 주장합니다. 기존의 '로드리게스 벡터(Rodrigues vectors)'(또 다른 유형의 회전 코드) 방식은 압축적이긴 하지만, 무언가를 정확히 180도 회전시키려 할 때 무한대로 발산하여 컴퓨터 프로그램을 다운시키는 치명적인 결함이 있습니다. 사원수는 이 무한대 문제를 피할 수 있지만, 이전에는 정사각형 격도로의 번역이 필요하다는 제약이 있었습니다.

케이론은 자신의 '결정학적 사원수(crystallographic quaternions)'가 실제로 더 빠른지 확인하기 위해 수치를 계산합니다. 그는 단일 회전 계산에 대해, 새로운 방법은 약 46단계의 수학적 단계(부동 소수점 연산)를 필요로 하는 반면, 정사각형 격도로 번역했다가 돌아오는 기존 방법은 약 43단계를 필요로 한다는 것을 발견했습니다. 언뜻 보기에는 기존 방식이 약간 더 빨라 보입니다. 그러나 논문은 이 비교가 숨겨진 비용을 무시하고 있다는 점에서 불공평하다고 지적합니다. 시작할 때 데이터를 정사각형 격도로 번역하고 끝날 때 다시 되돌리는 데 필요한 추가 단계를 포함하면, 기존 방식이 실제로 더 많은 작업을 수행하게 됩니다. 더욱이, 새로운 방법은 숫자들이 결정 고유의 언어로 단순하고 깔끔하게 유지되기 때문에 대칭성(예를 들어 결정이 회전 후에도 동일한 모습인 경우)을 훨씬 더 쉽게 포착할 수 있게 해줍니다.

요약하자면, 이 논문은 우리가 결정을 정사각형 상자에 억지로 밀어 넣는 일을 멈춰야 한다고 제안합니다. 크로스 텐서를 도입하고 사원수 곱셈 규칙을 업데이트함으로써, 우리는 결정의 자연스러운 기울어진 격도 위에서 직접 회전 수학을 수행할 수 있습니다. 이는 전자 후방 산란 회절(EBSD)에서 결정의 방향을 분석하는 과정을 더 깔끔하고 우아하며, 특히 우리 물질 세계를 구성하는 복잡한 비입방 결정들을 다룰 때 잠재적으로 더 빠르게 만들어 줍니다. 저자는 이 접근 방식이 이러한 분석에 사용되는 컴퓨터 프로그램의 현재 표준을 대체하여, 미시 세계가 어떻게 회전하는지 이해하는 데 더 직접적이고 견고한 방법을 제공할 수 있다고 결론짓습니다.