기술 요약: 지속적 호몰로지(Persistent Homology)와 함수적 데이터 분석(Functional Data Analysis)을 이용한 네트워크 집합의 통계적 분석

1. 문제 정의

각 네트워크가 독립적인 관측 단위 역할을 하는 네트워크 집합의 통계적 분석은 전통적인 통계 방법론에 상당한 도전 과제를 제시한다. 기존의 접근 방식은 대개 그래프 이론적 특징(예: 차수 분포, 중심성 측정치)에 의존하며, 이는 네트워크를 유클리드 공간의 벡터로 축소시킨다. 그러나 이러한 차원 축소는 전역적인 네트워크 구조에 대한 정보 손실을 빈번하게 초래하며, 구조적 동등성(structural equivalence)을 포착하는 데 실패한다.

주요 장애물은 다음과 같은 상황에서 네트워크를 위한 자연스러운 유클리드 임베딩이 부족하다는 점이다:

• 정점 대응 관계의 부재: 샘플 내의 네트워크들은 서로 다른 수의 정점을 가질 수 있거나 임의의 정점 순서(예: 서로 다른 개인이 서로 다른 유전자 하위 집합을 활성화하는 유전자 조절 네트워크)를 가질 수 있다.
• 구조적 이질성: 네트워크는 크기, 방향성(유향 vs 무향), 가중치(가중 vs 비가중) 면에서 다양하다.
• 계산 복잡도: 그래프 정렬(alignment)에 기반한 몫 공간(quotient-space) 접근법(예: Jain and Obermayer, 2009; Guo et al., 2021)과 같이 라벨이 없는 그래프를 처리하려는 기존 방법들은 최적의 정렬이나 프레셰 평균(Fréchet means)을 찾기 위해 NP-난해(NP-hard)인 순열 문제를 해결해야 한다. 이는 소규모 네트워크에 대한 확장성을 제한한다. 마찬가지로, 라플라시안 기반 방법(예: Severn et al., 2022)은 공통된 정점 집합을 공유하는 네트워크로 제한되며 고차원 공분산 추정 문제에 취약하다.

2. 방법론: 함수적 위상 데이터 분석 (funTDA)

이러한 한계를 해결하기 위해 저자들은 위상 데이터 분석(TDA)의 **지속적 호몰로지(Persistent Homology)**와 **함수적 데이터 분석(FDA)**을 통합한 프레임워크인 **함수적 위상 데이터 분석(funTDA)**을 제안한다. 이 방법론은 다음과 같은 파이프라인을 통해 진행된다.

2.1. 네트워크에서 지속성 다이어그램으로

1. 필트레이션(Filtration) 구축: 각 네트워크 $G_g$에 대해, 정점 간의 최단 유향 경로 길이를 나타내는 측지선 거리 행렬(geodesic distance matrix) $\Gamma_g$를 계산한다.
2. 위상적 진화: 임계값 매개변수 $\epsilon$을 증가시키며 필트레이션을 구축한다. $\epsilon$이 증가함에 따라 에지가 추가되고 네트워크가 진화한다.
3. 특징 추적: 프레임워크는 위상적 특징, 특히 루프(loop) 또는 사이클(cycle)에 해당하는 **1차원 호몰로지($H_1$)**의 "탄생"($b_j$)과 "죽음"($d_j$)을 추적한다.
   • 특징은 루프가 형성될 때 "탄생"한다.
   • 특징은 더 높은 차원의 심플렉스(예: 2-심플렉스)에 의해 루프가 채워질 때 "죽는다".
4. 지속성 다이어그램: 진화 과정은 탄생-죽음 쌍 $P_g = \{(b_j, d_j)\}$의 집합으로 요약되어 지속성 다이어그램을 형성한다. 이 표현은 정점 대응이나 동일한 네트워크 크기를 요구하지 않고도 전역적인 구조적 특성을 포착한다.

2.2. 다이어그램에서 함수적 표현으로

지속성 다이어그램은 가변적인 카디널리티(cardinality)와 벡터 공간 구조의 부재로 인해 직접적인 통계 분석이 어렵다. funTDA 프레임워크는 이러한 다이어그램을 **지속성 랜드스케이프(Persistence Landscapes)**로 변환한다:

• 각 탄생-죽음 쌍 $(b_j, d_j)$는 조각별 선형 삼각형 함수 $f_{(b_j, d_j)}(x)$로 매핑된다.
• 지속성 랜드스케이프 $F_g(x)$는 이러한 삼각형 함수들을 각 지점 $x$에서 정렬하고 $k$-번째로 큰 값을 선택함으로써 구축된다.
• 일반적으로 첫 번째 층($k=1$)이 유지되며, 이는 가장 지속적이고(significant) 중요한 위상적 특징을 나타낸다.
• 이 변환은 위상적 특징을 **힐베르트 공간(Hilbert space)**에 임베딩하여, 네트워크 샘플을 함수의 샘플 $\{F_g\}_{g=1}^N$으로 변환한다.

2.3. 함수적 데이터 분석을 통한 통계적 추론

함수로 표현되면 표준 FDA 기법이 적용된다:

• 스무딩(Smoothing): 이산화 및 노이즈를 처리하기 위해 관측된 랜드스케이프 값들을 B-스플라인 기저 확장(B-spline basis expansion)을 사용하여 모델링한다.
• 기술 통계량: 네트워크 샘플의 중심 경향성과 변동성을 특징짓기 위해 점별 평균(pointwise means)과 공분산 함수를 추정한다.
• 함수적 주성분 분석(FPCA): 네트워크 집합 전체에서 지배적인 변동 모드를 식별하는 데 사용된다. FPC 점수의 이변량 스코어 플롯(bivariate score plots)을 통해 클러스터링 및 그룹 분리를 시각적으로 탐색할 수 있다.
• 가설 검정:
  • 함수적 T-검정: 두 그룹의 네트워크가 평균 랜드스케프 함수에서 차이가 있는지 테스트하여 비교한다.
  • 함수적 F-검정: 이를 $k$개의 그룹으로 확장한다.
  • 전역 검정: 점별 비교에 내재된 다중 검정 문제를 해결하기 위해, 점별 검정 통계량의 상한(supremum)인 $T_{max}$ 또는 $F_{max}$를 사용한다. 유의성은 영가설 분포를 근사하기 위한 순열 절차(permutation procedures)를 통해 평가된다.

3. 주요 기여

• 프레임워크 통합: 본 논문은 네트워크 집합에 대한 통계적 추론을 가능하게 하기 위해 위상 데이터 분석과 함수적 데이터 분석을 잇는 새로운 파이프라인인 funTDA를 소개한다.
• 이질성 처리: 라플라시안 기반 방법과 달리, funTDA는 공통된 정점 집합이나 정점 대응을 요구하지 않으므로 다양한 크기와 구조를 가진 네트워크에 적용 가능하다.
• 확장성: 몫 공간 방법에서 발생하는 NP-난해인 그래프 정렬 문제를 피함으로써, funTDA는 더 큰 규모의 네트워크와 샘플에 대해 계산 가능한 대안을 제공한다.
• 전역 구조 포착: 이 방법은 국소적인 노드 수준의 통계보다 전역적인 위상적 특징(루프)을 우선시하여 네트워크 토폴로지의 더 견고한 요약을 제공한다.
• 다양성: 프레임워크는 유향/무향 및 가중/비가중 네트워크 모두에 적용 가능하다.

4. 결과

본 방법론은 시뮬레이션 연구와 두 가지 실제 응용 사례를 통해 평가되었다.

4.1. 시뮬레이션 연구

• 연결성 차별화: 다양한 에지 확률($p=0.1, 0.5, 0.9$)을 가진 에르되시-레니(Erdős–Rény–i) 랜덤 그래프를 사용하여, FPCA 스코어 플롯은 기저의 연결 구조에 따라 네트워크를 명확하게 구분하였다.
• 가설 검정: 함수적 t-검정과 F-검정은 서로 다른 분포에서 생성된 네트워크를 성공적으로 구별해 낸 반면($p < 0.05$), 동일한 분포에서 생성된 네트워크 간에는 유의미한 차이를 발견하지 못했다($p > 0.05$). 이는 작은 샘플 크기($N=5$)와 큰 샘플 크기($N=20$), 그리고 다양한 정점 수에서도 유효했다.
• 기존 방법과의 비교: 몫 공간 방법 및 라플라시안 기반 접근법(Euclidean, Square Root, Procrustes)과의 비교에서, funTDA는 그래프 정렬의 계산적 부담 없이 이변량 스코어 플롯에서 네트워크 구조를 구별하는 데 대등하거나 우수한 능력을 보여주었다.

4.2. 실제 응용 사례

1. 문학 네트워크: 제인 오스틴과 찰스 디킨스의 소설에서 단어 쌍의 공기(co-occurrence)로부터 구축된 네트워크. FPCA와 가설 검정을 통해 두 작가의 작품 간에 뚜렷한 위상적 차이가 있음이 밝혀졌다.
2. 유전자 조절 네트워크: H3N2 인플루엔자에 노출된 17명의 개인(증상 있음 9명, 증상 없음 8명)의 유전자 발현 데이터에서 유도된 네트워크. 이 프레임워크는 증상이 있는 그룹과 없는 그룹 사이의 유전자 조절 네트워크의 위상적 구조에서 통계적으로 유의미한 차이를 성공적으로 식별하였다.

5. 의의 및 주장

저자들은 funTDA를 단일 인스턴스가 아닌 네트워크 집합을 분석해야 하는 필요성이 커지는 네트워크 과학의 필수적인 진화로 규정한다. 본 논문은 랜드스케프를 통해 네트워크를 함수 공간에 임베딩함으로써 연구자들이 다음과 같은 작업을 수행할 수 있다고 주장한다:

• 이전에는 유클리드 구조가 결여되었던 네트워크 데이터에 대해 표준 통계 연산(평균, 분산, PCA, 가설 검정)을 수행할 수 있다.
• 생물학적 및 사회적 데이터에서 흔히 발생하는 상황인, 정해진 노드 대응 관계 없이 다양한 크기의 네트워크에 대해 추론을 수행할 수 있다.
• 이전의 몫 공간 접근법에서 요구되는 계산적으로 불가능한 수준의 그래프 매칭을 피할 수 있다.

결론적으로, funTDA는 탐색적 데이터 분석 및 네트워크 샘플에 대한 추론을 위한 견고하고 확장 가능하며 통계적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하며, 오픈 소스 저장소를 통해 구현체가 제공된다.