Non-Hermitian Random Matrix Theory of Jamming in Active Disordered Media

군중 속의 줄다리기

모두가 움직이려 애쓰지만 음악은 멈춰버린, 꽉 찬 댄스 플로어를 상상해 보세요. 물리학의 세계에서는 이를 "재밍(jamming, 밀집 현상)"이라고 부릅니다. 이는 모래 알갱이나 우리 몸속의 세포처럼 입자들이 너무 빽빽하게 뭉쳐서 더 이상 서로 미끄러져 지나갈 수 없을 때 발생합니다. 입자들은 제자리에 고정되어, 흐르는 액체를 하나의 단단한 덩어리로 바꿔 놓습니다. 보통 이 단단한 덩어리를 누르면, 구조가 칼날 위의 균형처럼 아슬아슬하게 유지되고 있기 때문에 말랑말랑하게 느껴지거나 심지어 부서질 수도 있습니다. 연결 구조가 형태를 유지할 만큼은 충분하지만, 완전히 견고한 고체로 만들기에는 부족한 상태인 것입니다. 이를 "한계(marginal)" 상태라고 하며, 물질이 간신히 버티고 있는 상태를 의미합니다.

이제 그 댄스 플로어 위의 모든 무용수가 갑자기 각자 무작위 방향으로 몸을 흔들거나, 회전하거나, 밀치기로 결정했다고 상상해 보세요. 그들은 단순히 이웃에게 반응하는 것이 아니라, 스스로 에너지를 만들어내고 있습니다. 현실 세계에서 생체 조직 내부에서는 정확히 이런 일이 일합니다. 세포는 수동적인 벽돌이 아닙니다. 세포는 밀고 당기는 능동적인 작은 엔진입니다. 이러한 "능동적(active)" 입자들이 함께 잼 상태(jammed)가 되면 규칙이 바뀝니다. 이들이 서로에게 가하는 힘은 공정하거나 대칭적이지 않습니다. 예를 들어 세포 A가 세포 B를 민다고 해서, 세포 B가 반드시 똑같은 힘으로 세포 A를 밀어내는 것은 아닙니다. 이는 일반적인 물리 법칙(뉴턴의 제3법칙 같은)을 깨뜨리며, 무작위적이고 반복되지 않는 움직임의 패턴을 만들어냅니다. 과학자들은 오랫동안 궁금해했습니다. 만약 이처럼 에너지가 넘치고 스스로 움직이는 세포들이 잼 상태의 군중을 이룬다면, 전체 조직은 초강력 요새가 될까요, 아니면 무너져 내릴까요?

논문의 발견: 혼돈이 질서를 창조할 때

이 논문에서 교토 대학교의 물리학자 하야카와 히사오(Hisao Hayakawa)는 이 잼 상태의 조직을 거대하고 복잡한 수학 문제로 다룸으로써 이 수수께를 풀고자 합니다. 그는 "랜덤 행렬 이론(Random Matrix Theory)"이라는 도구를 사용하는데, 이는 개별 입자를 하나하나 추적하는 대신 숫자의 패턴을 살펴봄으로써 수많은 움직이는 부품을 가진 거대 시스템의 행동을 예측하는 방법입니다.

하야카와는 먼저 잼 상태의 시스템을 구축하는 것부터 시작합니다. 그는 두 가지 유형의 힘이 작용한다고 가정합니다. 첫째는 "수동적(passive)" 힘입니다. 이는 입자들이 서로 부딪히고 달라붙는 평범하고 지루한 물리 법칙입니다. 움직임이 없는 조용한 군중 속에서, 이는 매우 취약한 구조를 만듭니다. 만약 이 구조를 짓누르려 한다면, 쉽게 흔들리거나 변형될 수 있는 "소프트 모드(soft modes)"를 갖게 되어, 물질의 저항 능력(컴플라이언스, compliance)이 무한대로 치솟는 지점에 도달하게 됩니다. 마치 숨만 크게 쉬어도 무너지는 카드 집과 같습니다.

그다음, 하야카와는 "능동적(active)" 힘을 추가합니다. 이것은 세포들이 비상호적(non-reciprocal)으로(즉, 밀고 당기는 힘이 대칭적이지 않게) 서로 밀고 당기는 것을 나타냅니다. 그는 이를 시스템에 추가된 혼돈스럽고 무작위적인 노이즈로 모델링합니다. 여기서 놀라운 반전이 일듭니다. 이 혼돈스러운 활동이 잼 상태의 조직을 무너뜨리는 대신, 오히려 이를 안정화시킨다는 것입니다.

논문은 능동적인 비상호적 힘이 안전망 역할을 한다고 밝힙니다. 이 힘들은 소프트 모드를 "규칙화(regularize)"합니다. 쉬운 말로 설명하자면, 끊임없이 흔들리고 밀치는 능동적인 세포들의 움직임이 구조를 붕괴시킬 수 있는 빈틈을 메워주는 것입니다. 수학적으로 보면, 무한한 말랑함(squishiness)은 사라지고 유한하고 안정적인 강성(stiffness)으로 대체됩니다. 조직이 단단해지는 이유는 세포들이 완벽하게 멈춰 있기 때문이 아니라, 바로 특정한 방식으로 혼돈스럽게 움직이고 있기 때문입니다.

마법의 숫자와 "스윗 스팟(Sweet Spot)"

저자들은 단순히 추측한 것이 아니라, 세포가 얼마나 능동적인지에 따라 조직이 얼마나 단단해지는지에 대한 구체적인 수학적 규칙을 도출했습니다. 그들은 스케일링 법칙(scaling law), 즉 숫자들 사이의 관계를 보여주는 일종의 레시피를 발견했습니다. 그들은 기계적 컴플라이언스(조직을 얼마나 쉽게 짓누를 수 있는지)가 활성 수준의 -6/7 승수에 비례한다는 독특한 패턴을 발견했습니다.

이는 세포가 더 능동적일수록(더 세게 밀거나 더 빨리 움직일수록) 조직이 더 단단해지지만, 매우 정밀한 비정수 곡선을 따른다는 것을 의미합니다. 이는 단순한 직선이 아니라, 이러한 종류의 능동적 물질이 갖는 고유한 특징입니다.

또한 논문은 "교차점(crossover point)"을 식별합니다. 세포가 약간만 능동적이라면 조직은 대부분 일반적인 수동적 잼 물질처럼 행동하며, 기존의 단순한 수학으로 설명할 수 있습니다. 하지만 활동이 충분히 강해지거나 패킹(packing)이 적절해지면, 시스템은 새로운 복잡한 수학이 지배하는 새로운 "특이(singular)" 영역으로 전환됩니다. 저자들은 이 전환이 추가적인 패킹 밀도(최소 밀도보다 얼마나 더 빽빽한지)가 활성 수준의 4/5 승수와 관련될 때 일어난다고 계산했습니다.

이론적인 환상이 아님을 증명하기 위해 연구팀은 컴퓨터 시뮬레이션을 실행했습니다. 그들은 500개의 입자로 이루어진 디지털 군중을 만들고 힘에 어떻게 반응하는지 관찰했습니다. 그들은 군중의 강성을 측정하는 두 가지 방법, 즉 복소수(고윳값, eigenvalues)를 보는 방법과 실제 물리적 반응(특잇값, singular values)을 보는 방법을 비교했습니다. 결과는 실제 물리적인 밀고 당김을 나타내는 "특잇값" 방식이 자신들의 새로운 수학과 완벽하게 일치함을 보여주었습니다. 시뮬레이션은 조직이 실제로 안정화되며, -6/7 법칙을 따른다는 것을 확인해주었습니다.

이것이 의미하는 바 (그리고 그렇지 않은 것)

저자들은 이 연구가 특정 유형의 모델(구형 입자가 밀고 회전하는 모델)에 기반한 이론적 프레임워크라는 점을 주의 깊게 언급합니다. 이 모델이 인체의 모든 생물학적 조직에서 일어난다는 것을 아직 증명한 것도 아니며, 모든 종류의 능동적 물질에 대해 테스트한 것도 아닙니다. 그들은 이 프레임워크가 왜 종양(능동적이고 잼 상태인 세포들로 구성된)이 개별 세포는 말랑말랑함에도 불구하고 믿기 힘들 정도로 단단할 수 있는지를 설명할 수 있다고 제안합니다. 그들은 세포의 힘이 비상호적인 성질(세포가 밀 때 똑같은 힘을 받지 않는 성질)이 조직이 무너지지 않게 유지하는 비밀 재료라고 제안합니다.

하지만 이 논문은 이것이 생물학의 최종 해답이라고 주장하는 단계까지는 가지 않습니다. 저자들은 모델이 완벽하게 둥근 입자를 가정하고 상호작용이 무작위적이라고 가정했는데, 이는 복잡한 환경에 있는 실제의 불규칙한 모양의 세포들에게는 적용되지 않을 수 있다고 인정합니다. 또한 그들의 수학은 작은 선형적 압력에 가장 잘 작동하며, 만약 조직을 너무 강하게 짓누른다면 규칙이 다시 변할 수 있다고 명시했습니다.

요약하자면, 이 논문은 능동적 물질의 혼돈스러운 세계에서 무질서가 오히려 질서를 창조할 수 있음을 시사합니다. 에너지가 넘치고 스스로 밀어내는 입자들의 군중을 시뮬레이션하기 위해 고급 수학을 사용함으로써, 저자들은 구조를 깨뜨릴 것처럼 보이는 요소—즉, 힘의 대칭성이 결여된 것—가 오히려 구조를 지탱하는 핵심이며, 연약하고 말랑한 잼 상태를 놀라울 정도로 견고한 고체로 바꾼다는 것을 보여줍니다.