Gaussian non relativistic spontaneusly stochastic hydrodynamica

유체의 세계를 매끄럽고 예측 가능한 강이 아니라, 북적이고 혼란스러운 도시로 상상해 보십시오. 오랫동안 과학자들은 두 가지 서로 다른 규칙서를 사용하여 이 도시를 설명하려고 노력해 왔습니다. 수학자들이 사용하는 한 규칙서는 유체를 아무리 세게 밀어도 부피가 변하지 않는 완벽하고 깨지지 않는 물의 시트처럼 취급합니다. 이것이 "비압축성(incompressible)" 관점입니다. 또 다른 규칙서는 물리학자들이 사용하는 것으로, 유체가 실제로 끊임없이 서로 충돌하며 열과 소음을 만들어내는 수조 개의 작고 떨리는 입자(원자와 분자)로 구성되어 있다는 것을 알고 있습니다. 이것이 "통계 역학(statistical mechanics)" 관점입니다.

거대한 문제는 이 두 규칙서가 어떻게 서로 대화하느냐는 것입니다. 우리가 거대한 파도를 볼 때, 그것은 매끄러워 보이며 수학자의 규칙을 따르는 것처럼 보입니다. 하지만 아주 미세하게 원자 수준까지 확대해 보면, 물은 충돌로 가득한 혼돈의 상태입니다. 질문은 이것입니다. 분자들의 아주 작은 혼돈스러운 소음이 충분히 커져서 거대한 파도의 움직임을 변화시킬 수 있는가 하는 점입니다. 보통 우리는 거대한 파도가 미세한 소음을 무시한다고 생각합니다. 하지만 만약 그 미세한 소음이 실제로 거대한 파도의 예측 불가능성을 만들어내는 것이라면 어떨까요? 이것이 바로 퍼즐의 핵심입니다. 즉, 원자의 미시적 혼돈이 어떻게 일상생활에서 보는 거칠고 예측 불가능한 난류(turbulence)로 자발적으로 변할 수 있는지, 그리고 우리의 현재 수학이 중요한 이야기의 조각을 놓치고 있는 것은 아닌지를 이해하는 것입니다.

그들의 논문에서, 상파울루 주립대학교의 다비드 몬테네그로(David Montenegro)와 조르조 토리에리(Giorgio Torrieri)는 매끄러운 유체 역학의 세계와 떨리는 통계 역학의 세계를 결합함으로써 이 퍼즐을 해결하고자 합니다. 그들은 유체를 완벽하게 매끄럽고 결정론적인 기계가 아니라, "가우시안 비상대론적 자발적 확률론적 유체역학(Gaussian non-relativistic spontaneously stochastic hydrodynamics)"으로 취급하는 새로운 방식을 제안합니다. 이는 매우 어려운 용어이므로, 더 쉬운 그림으로 풀어보겠습니다.

당신이 강물을 따라 떠내려가는 나뭇잎의 경로를 예측하려고 한다고 상상해 보십시오. 기존의 사고방식은 다음과 같이 말합니다. "물의 속도와 강의 모양을 안다면, 나뭇잎이 어디로 갈지 정확히 계산할 수 있다." 이것은 물이 매끄럽고 단단한 시트라고 가정합니다. 저자들은 이것이 틀렸다고 주장합니다. 왜냐하면 깊은 곳에서 물은 끊임없이 흔들리는 분자들로 이루어져 있기 때문입니다. 그들은 나뭇잎의 경로가 단순히 강의 흐름에 의해 결정되는 것이 아니라, "자발적 확률성(spontaneous stochasticity)"에 의해서도 결정된다고 제안합니다. 이는 분자들의 무작위적이고 미시적인 떨림이 흐름 자체에 크고 예측 불가능한 꿈틀거림을 자발적으로 만들어낼 수 있다는 뜻의 멋진 표현입니다.

저자들은 유체가 "비압축성"(즉, 짓눌릴 수 없다는 것)이라는 일반적인 가정이 댐이 호수를 막아내는 법을 계산하는 것과 같은 거시적 규모에서는 유용한 기술이라고 주장합니다. 그러나 그들은 이 기술이 미시적 수준에서는 무너진다는 점을 지적합니다. 개별 분자의 규모에서 유체는 압축이 가능하며, 즉 짓눌릴 수 있고 음속을 가지고 있습니다. 저자들은 만약 우리가 원자 수준까지 유체가 완벽하게 비압축적이라고 가정한다면, 미세한 떨림과 거대한 소용돌이 사이의 연결 고리를 놓치게 될 것이라고 제안합니다.

이를 해결하기 위해 그들은 "재규격화 그룹(Renormalization Group)"이라는 수학적 도구를 사용합니다. 이것을 줌 렌즈가 달린 카메라라고 생각해 보십시오. 당신은 매끄러운 큰 강을 보기 위해 줌 아웃하거나, 혼란스러운 분자 충돌을 보기 위해 줌 인할 수 있습니다. 저자들은 이 도구를 사용하여 줌을 조절함에 따라 물리학이 어떻게 변하는지 보여줍니다. 그들은 혼란스러운 분자의 세계에서 매끄러운 유체의 세계로 줌 아웃할 때, 분자로부터 오는 "소음"이 단순히 사라지는 것이 아니라는 것을 발견합니다. 대신, 그것은 "잔재(remnants)" 또는 "역항(counterterms)"을 남깁니다.

이 잔재들은 마치 미시적 혼돈의 유령이 매끄러운 강을 떠도는 것과 같습니다. 저자들은 이 유령들이 표준 수학으로는 설명할 수 없는 방식으로 흐름에서 에너지가 사라지는 현상인 "이상 소산(anomalous dissipation)"을 일으킨다고 제안합니다. 또한 그들은 이를 "와일드 솔루션(Wild solutions)"과 연결 짓는데, 이는 흐름이 너무 혼란스러워져서 표준적인 예측을 거부하는 수학적 가능성들을 의미합니다. 논문은 이러한 "와일드 솔루션"이 단순한 추상적 수학적 기교가 아니라, 분자들의 통계적 변동에 의해 발생하는 실제 물리적 특징일 수 있다고 시사합니다.

저자들은 이것이 최종적인 증명이 아니라 이론적 프레임워크라는 점을 주의 깊게 명시합니다. 그들은 유체를 "위너/이토 과정(Wiener/Ito process)"(일종의 무작위 행보)으로 취급하는 그들의 접근 방식이 처음부터 이러한 변동을 자연스럽게 포함한다고 주장합니다. 그들은 유체를 가우시안 시스템(특정한 유형의 무작위 분포)으로 취급하고 유체의 대칭성을 존중하면, 평균적인 흐름과 무작위 변동을 함께 설명하는 방정식이 도출된다는 것을 보여줍니다.

결정적으로, 그들은 "비압축성" 한계가 큰 규모에서는 작동하지만 미시적 규모에서는 실패하는 효과적인 묘사라고 주장합니다. 그들은 압축 가능한 미시 세계와 비압축적인 거시 세계 사이의 전이가 마법이 일어나는 지점이라고 제안합니다. 미시적 규모의 "소음"이 증폭되어 난류의 "와일드한" 행동으로 변하는 곳이 바로 그곳입니다. 그들은 이 연결 고리가 왜 난류를 예측하기 어려운지를 설명해 준다고 제사합니다. 그것은 단순히 큰 유체가 움직이는 것이 아니라, 큰 유체가 자신의 원자들의 무작위적이고 혼란스러운 춤에 의해 끊임없이 밀쳐지고 있기 때문입니다.

이 논문은 난류의 미스터리를 해결했거나 자연계에 "와일드 솔루션"이 존재함을 증명했다고 주장하는 것이 아닙니다. 대신, 그것은 새로운 이정표를 제시합니다. 유체를 완전히 이해하려면, 우리는 유체를 매끄럽고 완벽한 시트로 취급하는 것을 멈추고, 미시적 혼돈과 거시적 흐름이 불가분하게 연결된 시스템으로 취급해야 한다고 제안합니다. 이렇게 함으로써, 그들은 유체가 왜 그렇게 행동하는지에 대한 깊은 수학적 질문에 빛을 비추고, 아마도 초저온 원자부터 일상의 액체에 이르기까지 과학자들을 고민하게 만든 '매우 적은 수의 입자로 존재하는 유체'에 대한 문제까지 설명할 수 있기를 희망합니다.

요약하자면, 몬테네그로와 토리에리는 유체에서 보이는 "무작위성"이 단순히 무시해야 할 성가신 존재가 아니라, 유체의 가장 복잡한 행동을 이끄는 엔진이라고 제안하고 있습니다. 그들은 원자의 세계와 대양의 세계 사이에 다리를 놓고 있으며, 눈에 보이지 않는 미세한 떨림이 거대하고 격렬한 소용돌이의 비밀일 수 있음을 보여주고 있습니다.