Drivers of Success: A Bayesian State-Space Model to Disentangling Latent Driver and Constructor Abilities in Formula One

기술 요약: 포뮬러 원(Formula One)의 성공 동인

문제 제기
포뮬러 원의 성과는 드라이버의 기량과 컨스트럭터(팀) 역량의 결합 산물이나, 이러한 기여도는 관찰되지 않으며 시간에 따라 동적으로 변화한다. 이러한 효과를 분리하는 것은 방법론적으로 까다로운데, 이는 세 가지 요인 때문이다: 능력의 시변성(time-varying nature), 드라이버와 컨스트럭터 배정의 빈번한 변경, 그리고 관찰된 결과의 이질성이다. 구체적으로, 데이터는 두 가지 별개의 결과 유형으로 구성된다: 연속적인 최속 예선 랩 타임(fastest qualifying lap times)과 서열형 레이스 피니싱 포지션(race finishing positions, 부분 순위)이다. 기존 문헌은 종종 이러한 문제들을 개별적으로 다루어 왔다—즉, 정적 모델을 사용하거나, 단일 결과 분석을 수행하거나, 혹은 연속적인 성능 지표를 공동으로 통합하지 않는 동적 순위 모델을 사용하는 방식이다. 또한, 계량경제학의 표준적인 2방향 노동자-기업(two-way worker-firm) 모델은 일반적으로 단일 연속 결과만을 분석하며, 개별 효과와 그룹 효과가 공동 상태 공간 구조 내에서 별도의 확률적 진화 방정식을 따르는 프레임워크를 갖추고 있지 않다.

방법론
저자들은 잠재적인 드라이버 및 컨스트럭터 능력을 분리하기 위해, 표준화된 예선 랩 타임과 레이스 순위를 공동으로 분석하는 **베이지안 상태 공간 모델(Bayesian state-space model)**을 제안한다.

• 관측 방정식: 모델은 공유된 잠재 상태에 의해 연결된 결과별 샘플링 분포를 사용하여 두 가지 결과를 처리한다.
  • 예선(Qualifying): 서킷 및 날씨 변화를 고려하기 위해 각 그랑프리 내에서 표준화된 정규 분포를 사용하여 연속적인 결과로 모델링된다.
  • 레이스(Race): 부분 순위 결과로 모델링된다. 레이스 종료 위치는 Gumbel 분포를 따르는 잠재적 레이스 성능 변수에 의해 유도되며, 이는 분석적으로 Plackett-Luce 가능도(likelihood)를 산출한다. 레이스 방정식에는 예선 성적이 그리드 위치를 결정한다는 점을 인정하여 출발 그리드 위치가 공변량으로 포함된다.
• 잠재 상태 역학(Latent State Dynamics): 드라이버 능력($a_{d,t}$)과 컨스트럭터 능력($c_{k,t}$)은 모두 그랑프리 단위로 진화하는 별도의 랜덤 워크(random-walk) 프로세스로 모델링된다. 이 상태들은 두 결과의 성능 예측 변수로 가법적으로 분해된다. 관찰된 계약상의 배정($z_{d,t}$)은 특정 드라이버의 예측 변수에 어떤 컨스트럭터 상태가 들어갈지를 결정한다.
• 식별 전략(Identification Strategy): 동적 분해의 식별은 세 가지 기둥에 의존한다:
  1. 결합 가능도(Joint Likelihood): 연속적인 예선 방정식과 순위 가능도는 상호 보완적인 정보를 제공하여, 순위 모델 단독으로는 식별할 수 없는 공통의 잠재 성분 변화를 제한한다.
  2. 영점 합 제약(Sum-to-Zero Constraints): 잠재 상태의 위치와 척도를 고정하기 위해, 모델은 모든 그랑프리에 대해 드라이버와 컨스트럭터 능력을 0으로 중심화하는 제약을 부과한다. 이는 상태 방정식의 혁신 항(innovation terms)에 음의 상관관계를 유도하는 특정 사전 분포 명세를 통해 구현된다.
  3. 배정의 변동성(Assignment Variation): 드라이버가 팀을 옮기는 것과 같은 시간 경과에 따른 드라이버-컨스트럭터 배정의 변동은, 모델이 지속적인 드라이버 능력과 컨스트럭터 능력을 구분할 수 있게 한다. 이는 2방향 고정 효과 모델에서의 노동자 이동성과 유사하다.
• 추론(Inference): 베이지안 추론은 비가우시안(non-Gaussian) 성격의 순위 가능도를 고려하여, 드라이버와 컨스트럭터 능력을 대칭적으로 취급하는 약정보 사전 분포(weakly informative priors) 하에서 Hamiltonian Monte Carlo 알고리즘인 No-U-Turn Sampler(NUTS)를 사용하여 수행된다. 이 접근 방식은 표준 칼만 필터(Kalman filters)보다 선호되는데, 이는 순위 가능도의 비가우시안 특성 때문이다.

주요 기여

1. 이질적 결과의 공동 모델링: 본 논문은 단일 동적 프레임워크 내에 연속 결과와 부분 순위 결과를 통합하여, 혼합 결과 잠재 변수 모델을 상태 공간 영역으로 확장한다.
2. 동적 2방향 분해: 정적 노동자-기업 모델과 달리, 이 프레임워크는 개별(드라이버) 및 그룹(컨스트럭터) 효과가 관찰된 배정 구조를 통해 식별되는 동안 각각 확률적으로 진화할 수 있도록 허용한다.
3. 방법론적 합성: 본 모델은 혼합 결과 모델, 동적 순위 모델(예: 동적 Plackett-Luce), 그리고 계량경제학적 2방향 효과의 문헌을 연결하여, 공유된 성능 예측 변수를 분해하기 위한 통합된 접근 방식을 제공한다.

실증 결과
포뮬러 원 하이브리드 시대(2014–2021)에 적용했을 때, 모델은 다음과 같은 결과를 도출한다:

• 이질성: 샘플 전반에 걸쳐 드라이버와 컨스트럭터 능력 모두에서 상당한 이질성이 존재한다.
• 안정성 대 변동성: 드라이버 능력은 일반적으로 더 안정적이며 점진적인 진화를 보인다. 반면, 컨스트럭터 능력은 더 큰 변동성을 보이며, 시즌 내 및 시즌 간에 더 뚜렷하고 때로는 급격한 변화를 나타낸다.
• 상대적 기여도: 여러 드라이버-컨스트럭터 조합에 대해, 컨스트럭터 성분이 드라이버 성분보다 공유된 성능 예측 변수에 더 강하게 기여한다. 그러나 상대적 기여도는 특정 페어링과 기간에 따라 크게 달라진다.
• 예측 성능: 모델은 연속적인 예선 결과를 상당히 잘 재현한다. 그러나 레이스 순위 성분은 상위 티어 페어링(예: 2021년의 Verstappen/Red Bull)의 지속적인 지배력을 재현하는 데 더 큰 어려움을 보이며, 관측된 데이터에 비해 상위 2위 이내 입성 빈도를 과소평가하는 경향이 있다.
• 불확실성: 사후 불확실성은 컨스트럭터 능력에 대해 드라이버 능력보다 일반적으로 더 높게 나타나는데, 이는 컨스트럭터 성능의 더 큰 변동성과 배정 데이터의 특정 구조를 반영한다.

의의 및 주장
본 논문은 개인과 그룹의 기여가 관찰되지 않고 동적인 팀 기반 스포츠에서 공동 성능를 분해하기 위한 엄격한 통계적 프레임워크를 제공한다고 주장한다. 드라이버가 팀을 옮기고 결과가 서로 다른 척도로 측정되는 포뮬러 원 데이터의 특수한 구조를 활용함으로써, 모델은 드라이버와 컨스트럭터의 별도 잠재 궤적을 성공적으로 식별한다. 저자들은 본 모델이 포뮬러 원에 맞춤화되어 있으나, 그 기저 구조는 조직적 성과나 다른 팀 기반 경쟁과 같이 별도로 진화하는 개인 및 그룹 효과에 의존하는 이질적인 종단적 결과가 포함된 다른 환경에도 적용 가능하다고 언급한다. 연구는 모델이 성공적인 분해를 수행했음에도 불구하고, 레이스 순위 모델이 성능 지배력의 극단적인 꼬리(extreme tails) 부분을 포착하는 데 한계가 있음을 조심스럽게 결론짓는다.