당신이 비밀스러운 스무디의 맛을 추측하려고 한다고 상상해 보세요. 하지만 직접 맛을 볼 수는 없습니다. 대신 "달콤한가?" 또는 "과일 맛인가?"와 같이 질문할 수 있는 특정 질문 목록이 있습니다. 양자 역학의 세계에서, 이 "스무디"는 신비로운 양자 상태이며, 이 "질문"은 관측량이라고 불리는 측정입니다. 문제는 양자 상태가 매우 취약하다는 점입니다. 관찰하는 행위 자체가 상태를 변화시키며, 만약 당신이 고차원 상태(수백만 개의 가능한 재료가 들어있는 스무디라고 생각해보세요)를 가지고 있다면, 그 특성을 파악하기 위해 보통 불가능할 정도로 많은 수의 복사본을 테스트해야 합니다. 이것이 바로 "섀도우 토모그래피(Shadow Tomography)"의 문제입니다. 과학자들은 다음과 같은 질문을 던집니다. "우리가 양자 상태에 대한 많은 질문의 답을, 상태의 복잡성과 상관없이 아주 적은 수의 복사본만을 사용하여 예측할 수 있을까?" 수년 동안, 최선의 방법들은 상태의 복잡성에 따라 필요한 복사본의 수가 늘어나는 방식이었기에, 이는 매우 벅찬 과제였습니다.

이 논문은 이 퍼즐을 풀기 위한 영리한 새로운 전략을 소개합니다. 저자들은 마치 스마트하고 반복적인 탐정처럼 행동하는 방법을 제안합니다. 이 방법은 전체 미스터리를 한 번에 해결하려고 노력하는 대신, "꽤 괜찮은" 질문들을 던지고 매 답변마다 자신의 추측을 업데이트합니다. 이를 반복함으로써, 그들은 상태의 크기와는 무관하게, 질문의 개수와 원하는 정확도에만 의존하는 아주 적은 수의 복사본으로 수천 개의 질문에 대한 답을 추정할 수 있습니다. 그 결과는 엄청난 도약입니다: 필요한 복사본의 수가 이제 거대하고 다루기 힘든 숫자가 아니라, 작고 관리 가능한 숫자(다항 로그 수준)가 되었으며, 이는 그러한 차원 독립적인(dimension-free) 솔루션이 가능한지에 대한 양자 정보 이론의 오랜 질문에 효과적으로 답하고 있습니다.

양자 스무디의 미스터리

이 돌파구를 이해하기 위해, 먼저 게임의 규칙을 살펴보겠습니다. 양자 역학에서 "상태"는 비밀 레시피와 같습니다. 만약 당신에게 양자 컴퓨터가 있다면, 이 레시피는 수백만 개의 변수(차원)를 포함하여 믿을 수 없을 정도로 복잡할 수 있습니다. 이 레시피에 대해 무엇인가를 배우려면, 당신은 그 복사본들에 대해 실험을 수행해야 합니다. 그러나 양자 상태를 측정하는 행위는 그림자에 밝은 빛을 비추는 것과 같습니다. 즉, 대상을 방해합니다. 만약 당신이 이 상태에 대한 많은 다양한 질문(관측량)에 대한 답을 알고 싶다면, 일반적으로 모든 질문에 대해 신뢰할로 있는 답을 얻기 위해 엄청난 수의 복사본이 필요합니다.

2018년 스콧 아런슨(Scott Aaronson)이라는 연구자가 제기한 핵심 질문은 이것이었습니다: 우리가 필요한 복사본의 수가 상태가 얼마나 복잡한지에 따라 달라지는가? 만약 상태가 두 가지 재료가 들어간 단순한 스무디라면, 몇 개의 복사본만 필요할 수도 있습니다. 하지만 백만 가지 재료가 들어간 스무디라면, 백만 배 더 많은 복사본이 필요할까요? 이전의 방법들은 "그렇다"라고 답하거나, 적어도 필요한 복사본의 수가 복잡성에 따라 증가한다고 말했습니다. 이 논문 전까지 알려진 최선의 방법들은, 설령 복잡성을 무시하더라도, 당신이 던지고 싶은 질문의 개수의 제곱근만큼의 복사본이 필요하다고 시사했습니다. 그것 역시 여전히 많은 양의 스무디를 맛봐야 하는 일입니다.

탐정의 새로운 전략: "꽤 괜찮은" 추측

이 논문의 저자인 페르난도 그라냐 제로니모(Fernando Granha Jeronimo), 황치자오(Qizhao Huang), 레니 리우(Lenny Liu)는 게임의 판도를 바꾸는 새로운 프로토콜을 개발했습니다. 그들은 당신이 모든 질문에 대한 답을 추정할 때, 상태의 크에는 전혀 의존하지 않는 수의 복사본을 사용할 수 있음을 보여줍니다. 양자 상태가 단순하든 혹은 믿기 힘들 정도로 복잡하든, 필요한 복사본의 수는 동일하게 유지됩니다.

이 "탐정"이 어떻게 작동하는지 추측 게임의 비유를 통해 설명하겠습니다:

1. 설정: 당신에게는 동일하고 신비로운 양자 스무디(상태 $\rho$의 복사본들) 한 봉지가 있습니다. 또한 당신은 "달콤한가?" 또는 "파란색인가?"와 같이 답하고 싶은 $M$개의 질문(관측량) 목록을 가지고 있습니다. 당신은 모든 질문에 대해 작은 오차 범위($\epsilon$) 내에서 답을 얻고자 합니다.

2. 기존 방식: 이전의 방법들은 모든 것을 한꺼번에 측정하려 하거나, 각 질문을 별개의 무거운 짐으로 취급했습니다. 이는 질문의 수가 늘어나거나 스무디의 복잡성이 커짐에 따라, 당신이 마셔야 하는 스무디의 양이 급격히 치솟는다는 것을 의미했습니다.

3. 새로운 "순차적" 방식: 저자들은 **순차적 꽤 좋은 측정(Sequential Pretty-Good Measurements, PGM)**이라고 불리는 기술을 사용합니다. 이것은 "뜨겁다, 차갑다(Hot and Cold)" 게임과 같습니다.

• 라운드 1: 당신은 작은 묶음의 스무디 복사본을 가져와서 "꽤 좋은" 질문을 던집니다. 이것은 완벽한 질문은 아니지만, 당신이 가진 정보로 할 수 있는 최선의 추측입니다. 당신은 답을 얻습니다.
• 업데이트: 그 답을 바탕으로, 당신은 스무디의 맛에 대한 당신의 "사전 믿음(prior belief)"을 업데이트합니다. 당신은 본질적으로 이렇게 말하는 것입니다. "좋아, 달콤했으니까, 아마 시지는 않겠군."
• 라운드 2: 당신은 새로운 스무디 복사본 묶음을 가져와서 또 다른 "꽤 좋은" 질문을 던지지만, 이번에는 라운드 1에서 얻은 업데이트된 믿음에 맞춰 질문을 조정합니다.
• 반복: 당신은 매 새로운 복사본 묶음마다 추측을 정교화하며 이 과정을 계속합니다.

여기서 마법 같은 점은 이 과정이 **반복적(iterative)**이라는 것입니다. 이 방법은 하나의 어려운 측정에 막혀 있지 않고 적응합니다. 이 방법은 "미니맥스 논법(minimax argument)"이라는 수학적 도구를 사용하여, 특정 양자 상태에만 국한되지 않고 어떠한 가능한 양자 상태에 대해서도 작동하는 단 하나의 측정 전략이 존재함을 증명합니다.

결과: 차원 독립적인 승리

이 논문은 이 순차적 전략을 사용하면 필요한 복사본의 수($T$)가 대략 다음과 같음을 증명합니다:

$$T \approx \frac{1}{\epsilon^2} \times (\log M)^4$$

(로그의 로그를 포함하는 몇몇 아주 작은 추가 요소들이 있지만, 핵심은 공식의 형태입니다.)

이것이 평어로 무엇을 의미하는지 나누어 보겠습니다:

• $\epsilon$ (정확도): 만약 당신이 두 배 더 정확해지고 싶다면, 네 배 더 많은 복사본이 필요합니다. 이는 통계학의 표준입니다.
• $M$ (질문의 수): 만약 질문의 수를 두 배로 늘린다면, 필요한 복사본의 수는 아주 적은 양(로그의 거듭제곱)만큼만 증가합니다. 이것이 "다항 로그(polylogarithmic)" 부분입니다.
• 차원 (Dimension, $d$): 양자 상태의 크기($d$)가 공식 어디에도 나타나지 않음에 주목하십시오. 이것이 "차원 독립적인(dimension-free)" 부분입니다. 양자 상태가 10차원이든 100억 차원이든, 필요한 복사본의 수는 같습니다.

이것은 이전의 최선 방법이 질문의 개수의 제곱근($\sqrt{M}$)에 비례하는 복사본을 요구했던 것에 비해 엄청난 개선입니다. 새로운 방법은 질문의 수가 많아질수록 기존 방식보다 기하급수적으로 더 낫습니다.

이것이 의미하는 것 (그리고 의미하지 않는 것)

저자들은 자신들이 무엇을 성취했고 무엇을 성취하지 않았는지 매우 신중하게 밝히고 있습니다. 그들은 이러한 효율성을 달리는 전략이 존재한다는 것을 증명했습니다. 그들은 (모든 복사본을 함께 측정하는 방식인) "집단 측정(collective measurement)"이 작동하는 수학적 청사진을 보여주었습니다.

하지만, 그들은 이 전략을 지금 당장 실험실에서 쉽게 만들 수 있다고 주장하는 것이 아닙니다. 이 논문은 정보 이론에 관한 것입니다. 즉, 가능한 것의 이론적 한계에 관한 것입니다. 그들은 실제 측정을 구성하는 것이 매우 어려울 수 있다고 인정하는데, 왜냐하면 측정을 어떻게 설정할지 정확히 알아내기 위해 매우 복렴한 계산이 필요하기 때문입니다. 이는 마치 완벽한 케이크 레시피가 존재한다는 것을 증명했지만, 그 케이크를 굽는 데 필요한 주방 장비가 현재로서는 너무 비싸거나 복잡해서 대부분의 사람이 사용하기에는 어렵다고 말하는 것과 같습니다.

또한 그들은 이것이 "클래식 섀도우(classical shadow)" 방법(상태의 재사용 가능한 디지털 복사본을 만드는 방식)이 아님을 명시합니다. 이것은 직접적인 양자 측정 프로토콜입니다.

요약

양자 컴퓨팅의 세계에서, 시스템의 특성을 아는 것은 컴퓨터가 제대로 작동하고 있는지 디버깅하고 검증하는 데 필수적입니다. 만약 당신에게 수천 개의 큐비트가 있는 양자 컴퓨터가 있다면, 그 상태를 확인하는 것은 천문학적인 수의 테스트를 요구하는 불가능한 작업처럼 보였습니다.

이 논문은 이렇게 말합니다. "사실, 그렇게 어렵지 않습니다." 스스로의 실수를 통해 배우는 스마트한 단계별 추측 게임을 사용하면, 양자 시스템에 대한 수천 개의 질문에 대한 답을 놀라울 정도로 적은 수의 테스트로 알아낼 수 있으며, 결정적으로 그 시스템의 크기가 얼마인지와는 상관이 없습니다. 이것은 양자 상태의 "그림자"를 포착하기 위해 놀라울 정도로 적은 양의 빛만 있으면 된다는 이론적 증명이며, 실제 손전등을 만드는 데는 시간이 조금 더 걸릴지라도 양자 세계를 더 효율적으로 검증하고 이해할 수 있는 길을 열어줍니다.