Spectrally local geometric response at the onset of many-body quantum chaos

우주를 거대한 우주적 오케스트라라고 상상해 보십시오. 이 오케스트라에서 모든 입자는 연주자이며, 그들이 함께 연주하는 음악은 물질의 상태입니다. 때때로 연주자들은 엄격하고 예측 가능한 악보를 따르는데, 이를 '가적분성(integrability)'이라 부르며, 이때 모든 것은 깔끔하고 질서 정연한 춤을 춥니다. 다른 경우에는 음악이 모든 음이 서로 어지럽고 예측 불가능한 방식으로 의존하는 격렬하고 혼란스러운 잼 세션(jam session)으로 변하는데, 이것이 바로 '양자 카오스(quantum chaos)'입니다. 과학자들은 음악이 엄격한 악보에서 격렬한 잼 세션으로 전환되는 순간에 오랫동안 매료되어 왔습니다. 그들은 카오스가 갑작스러운 폭발처럼 한꺼번에 일어나는지, 아니면 들판 위로 밀려오는 안개처럼 천천히 스며드는지를 알고 싶어 합니다. 이 전이를 이해하는 것은 아주 작은 원자부터 거대한 별에 이르기까지 복잡한 계가 어떻게 질서를 잃고 예측 불가능해지는지를 파악하는 데 매우 중요합니다.

이를 연구하기 위해 연구자들은 대개 시스템이 연주할 수 있는 '음표', 즉 에너지 준위를 살펴봅니다. 카오스를 연구하는 흔한 도구는 '무작위 행렬(random matrix)'이라는 수학 모델인데, 이는 마치 주머니에서 한 움큼을 집어 들어 어떤 일이 일어나는지 보는 구슬 주머니와 같습니다. 가장 유명한 버전인 가우시안 앙상블(Gaussian ensemble)은 완벽하게 섞인 특징 없는 구슬들이 담긴 주머니와 같습니다. 그러나 실제 양자계는 모양, 무게, 질감이 서로 다른 구슬들이 담긴 주머니에 더 가깝습니다. 이 새로운 논문은 오케스트라의 소리를 듣는 새로운 방법인 '기하학적 응답의 스펙트럼 밀도(spectral density of geometric response)'를 소개합니다. 이것은 연주자들이 아주 작은 자극에 얼마나 민감한지를 볼 수 있게 해주는 특별한 안경과 같습니다. 바이올린 현을 살짝 튕겼을 때, 오케스트라 전체가 휘청거립니까, 아니면 그 현 하나만 흔들립니까? 이 새로운 척도는 시스템을 미세하게 조정할 때 전체 '악보'가 어떻게 휘고 변형되는지를 추적하여, 과학자들이 질서에서 카오스로의 전이를 고해상도로 관찰할 수 있게 해줍니다.

저자들은 이 새로운 '자극 측정기(nudge-meter)'를 서로 상호작용하는 입자 집단인 다체 양자계(many-body quantum systems)에 적용했습니다. 그들이 발견한 것은 카오스가 어떻게 장악해 나가는지에 대한 매혹적이고 단계적인 이야기입니다. 그들은 민감성이 모든 곳에 동시에 퍼지지 않는다는 것을 발견했습니다. 대신, 민감성은 에너지 스펙트럼의 작고 고립된 구역에서 시작됩니다. 콘서트장의 군중을 상상해 보십시오. 처음에는 비트가 떨어질 때 뒷줄의 몇 명만이 격렬하게 춤을 추기 시작합니다. 그러다 서서히 춤은 중간 부분으로 퍼지고, 마침 finally, 군중 전체가 뛰어놀게 됩니다. 논문은 고유상태 변형(eigenstate deformations, 시스템 상태의 굽힘)이 전체 스펙트럼으로 퍼지기 전에 이러한 국소적인 스펙트럼 영역에 먼저 축적된다는 것을 보여줍니다. 이는 시스템이 질서 있는 상태에서 혼돈 상태로 이동함에 따라 미세한 변화에 믿을 수 없을 정도로 반응하게 되는 '지수적으로 민감한(exponentially sensitive)' 교차 현상을 드러냅니다.

흥미롭게도, 이 논문은 우리가 카오스를 나타내기 위해 자주 사용하는 수학 모델들이 핵심을 놓치고 있을 수 있다고 시사합니다. 연구진이 '물리적 동기 부여가 된 무작위 행렬 앙상블(physically motivated random-matrix ensembles)', 즉 실제 물리계의 특정 규칙을 모방하려는 모델들을 테스트했을 때, 그들은 이와 동일한 단계적이고 국소적에서 전역으로 퍼지는 카오스의 확산을 목격했습니다. 그러나 그들이 표준적인 '가우시안 앙상블'(특징 없는, 완벽하게 섞인 구슬들)을 사용했을 때는 이러한 행동이 나타나지 않았습니다. 이는 카오스로 가는 특정한 경로가 단순하고 특징 없는 모델에는 존재하지 않는 보편적인 특징을 가지고 있음을 나타냅니다. 즉, 기존의 특징 없는 모델들은 실제 시스템이 실제로 무너지는 복잡하고 국소적인 방식을 포착하기에는 너무 매끄러울 수 있다는 것입니다. 저자들은 우주가 질서에서 카오스로 전환되는 과정을 진정으로 이해하려면, 단순히 모든 것이 무작위로 섞여 있다고 가정하는 것이 아니라 물리적 실체의 구체적이고 질감이 있는 세부 사항을 존중하는 모델이 필요하다고 제안합니다.