기술 요약: ContactIPM

문제 정의

접촉-내재적 궤적 최적화(Contact-implicit trajectory optimization, CITO)는 접촉 순서를 미리 지정하지 않고 로봇의 상태, 입력, 접촉력을 동시에 최적화하고자 한다. 이러한 유연성은 비음수 제약 조건(예: $0 \le a \perp b \ge 0$)을 통해 일방향 접촉과 마찰을 모델링하는 수학적 상보성 제약 조건(Mathematical Programs with Complementarity Constraints, MPCCs)을 도입한다.

이러한 문제들은 근본적인 수치적 난제를 제시한다: 활성화된 비음수 및 곱 제약 조건의 그래디언트가 구조적으로 의존하게 되어, 표준 제약 조건 정규성(예: LICQ)이 실패하게 된다. 이러한 퇴화(degeneracy) 현상은 전통적인 프라이멀-듀얼(primal–dual) 비선형 프로그래밍 솔버를 신뢰할 수 없게 만들며, 종종 특이하거나 조건수가 불량한 KKT 시스템을 초래한다.

기존 방식들은 이러한 강건성 문제를 해결하기 위해 완전 결합된 프라이멀-듀얼 뉴턴 스텝을 포기한다. CRISP와 같은 방법은 볼록 하위 문제(convex subproblems)를 통해 프라이멀 궤적만을 최적화하며, IMPACT는 블록 좌표 하강법(block-coordinate descent)을 사용하는 증강 라그랑주 외곽 루프를 사용한다. 반대로, 구조를 활용하는 최적 제어 솔버(예: acados)는 효율성을 위해 리카티 재귀(Riccati recursion)를 활용하지만, 특별한 처리가 없는 상태에서 정확한 상보성을 강제할 경우 유용한 접촉을 생성하는 데 실패하는 경우가 많다. 이로 인해 MPCC 특화 강건성과 구조 활용 최적 제어(OCP) 솔버의 효율성 사이에 간극이 존재한다.

방법론: ContactIPM

ContactIPM은 리카티 재귀에 필요한 블록 밴드형 OCP 구조를 유지하면서도 상보성 제약 조건을 견고하게 처리하는 통합 프라이멀-듀얼 내부 점(interior-point) 방법을 제안한다.

1. 배리어 결합 탄성 내부 완화 (Barrier-Coupled Elastic Interior Relaxation)

패널티 가중치나 증강 라그랑주를 사용하는 대신, ContactIPM은 표시된 모든 상보성 쌍 $(a, b)$에 대해 **단계별 탄성 내부 완화(stage-local elastic interior relaxation)**를 도입한다:

• 슬랙 변수 (Slack Variables): 양의 측면 슬랙($s_a, s_b$)과 곱 슬랙($s_c$)을 도입한다.
• 탄성 리프트 (Elastic Lift): 상보성 조건을 다음과 같은 등식 시스템으로 변환한다:
  $$g_a + s_a = 0, \quad g_b + s_b = 0, \quad g_a g_b - \theta(\mu) + s_c = 0$$
  여기서 $\theta(\mu) = \gamma_{mpcc}\mu$는 상보성 조임(tightening)을 배리어 파라미터 $\mu$와 직접 연결한다.
• 정규성 (Regularity): 이 구성은 리프트된 제약 조건 자코비안이 슬랙에 대해 항등 블록을 포함하도록 보장한다. 결과적으로, 완화된 문제는 모든 내부점에서 선형 독립 제약 조건 정규성(LICQ)을 만족하여 고유한 승수와 정규 프라이멀-듀얼 시스템을 보장한다.
• 독립적 패널티 없음: 패널티 방법과 달리, 상보성의 조임은 중앙 경로(central path)를 정의하는 동일한 배리어 파라미터 $\mu$에 의해 제어되므로, 독립적으로 튜닝해야 하는 패널티 계수의 필요성을 제거한다.

2. 단계별 프라이멀-듀얼 제거 및 리카티 재귀 (Stagewise Primal–Dual Elimination and Riccati Recursion)

솔버는 궤적, 역학 승수, 부등식 승수 및 슬랙을 단일 섭동 KKT 시스템의 구성 요소로 업데이트하여 프라이멀-듀얼 일관성을 유지한다.

• 국소 제거 (Local Elimination): 상보성 쌍과 탄성 변수는 개별 단계에 국한되어 있으므로, 솔버는 단계별로 국소 슬랙($\Delta s_k$) 및 듀얼($\Delta \lambda_k$) 변수를 제거한다.
• 축소된 시스템 (Reduced System): 이 제거 과정은 오직 국소 단계 헤시안($\tilde{H}_k$)과 그래디언트($\tilde{q}_k$)만을 수정한다. 역학(dynamics)은 인접한 단계 사이의 유일한 결합 요소로 남아 블록 밴드 구조를 보존한다.
• 효율적 풀이 (Efficient Solve): 축소된 시스템은 **후방 리카티 재귀(backward Riccati recursion)**를 수행한 후 전방 치환(forward substitution)을 통해 해결되며, 이를 통해 호라이즌 길이에 대해 선형 복잡도 $O(N)$를 달b달성한다.

3. 다단계 MPCC 회복 (Multi-Phase MPCC Recovery)

다양한 접촉 모드와 관련된 여러 정지점 분기(stationary branches)를 처리하기 위해, ContactIPM은 다음을 포함하는 고정된 회복 스케줄을 채택한다:

• 지속 (Continuation): 현재 접촉 모드 영역(basin) 내에 머물려고 시도하면서 배리어 파라미터를 점진적으로 조인다.
• 재시작 (Restart): 지속 과정이 실패할 경우(예: 조건수 악화), 솔버는 원래의 프라이멀 추측값을 복구하고 더 큰 배리어 파라미터와 Gauss-Newton 곡률을 사용하여 다른 영역을 탐색하기 위해 재시작한다.
• 종료 (Termination): 솔버는 완화되지 않은 물리적 상보성 잔차($r_{phys} = \max |a_k b_k|$)가 지정된 허용 오차 미만으로 떨어질 때만 종료되어, 최종 궤적이 완화된 정식화가 아닌 실제 물리적 접촉 모델을 만족함을 보장한다.

4. 스케일링 및 전역화 (Scaling and Globalization)

방법론은 단계별 미분 크기에서 유도된 호라이즌 일관적 대각 좌표 스케일링을 적용한다. 전역화는 목적 함수 감소와 제약 조건 위반 사이의 균형을 맞추는 필터 라인 서치(filter line search)를 통해 이루어지며, 양의 슬랙을 유지하기 위한 경계 비율 규칙(fraction-to-boundary rule)을 사용한다.

주요 기여

1. 통합 정식화: 표시된 상보성 쌍을 비선형 역학, 비용 및 부등식 프레임워크 내에서 배리어 결합 탄성 곱 행(barrier-coupled elastic product rows)으로 변환하는 단계별 정식화를 제공한다.
2. MPCC 인지 프라이멀-듀얼 뉴턴 방법: 국소 슬랙/듀얼 제거와 리카티 재귀를 활용하면서 결합된 섭동 KKT 구조를 보존하는 방법이다. 여기에는 궤적 스케일 프리컨디셔닝과 다단계 회복 정책이 포함된다.
3. 재현 가능한 평가: 다양한 교란 조건 하에서 50회의 폐루프 롤아웃을 포함하여, CRISP, IMPACT 및 (정확한 상보성을 가진) OCP 구조의 acados 베이스라인과 비교하는 종합적인 실험 세트를 제공한다.

실험 결과

CRISP 대비 성능

• 속도: 네 가지 고정 벤치마크 케이스(Cartpole, Push Box, Transport, Push T)에서 ContactIPM은 20회의 쌍을 이룬 시간 반복 실험 동안 CRISP보다 2.17배에서 8.87배 더 빠름을 보였다.
• 강건성: ContactIPM은 Cartpole과 Transport에서는 CRISP와 대등한 성능을 보였으나, Push Box 케이스에서 추가로 5개의 케이스에서 성공했다(25개 중 24/25 vs 19/25). Push T 세트에서 ContactIPM은 50개 케이스 모두 성공한 반면, 엄격한 물리적 상보성이 강제될 때 CRISP는 50개 중 27개만 성공했다.

IMPACT 대비 성능

• 속도: ContactIPM은 Push T에서 2.96배, Cart Transport에서 4.91배 더 빠르다. 그러나 Push Box에서는 IMPACT가 4.46배 더 빠르다.
• 강건성: ContactIPM은 세 가지 50개 케이스 세트(Push Box, Push T, Cart Transport) 전체에서 150/150 성공을 기록하여, IMPACT의 147/150보다 우수한 성능을 보였다.

OCP 구조 베이스라인(acados)과의 비교

• acados가 정확한 상보성(탄성 완화 없음)을 갖도록 설정되었을 때, 유용한 접촉을 생성하는 데 자주 실패한다. 예를 들어, Push Box 벤치마크에서 acados는 25개 케이스 모두 물리적 타당성 검사를 통과했지만, 0/25가 터미널 목표에 도달했으며 종종 제로-접촉 궤적에서 종료되었다.
• 165개의 접촉 풍부 케이스(CRISP Transport, CRISP Push T, IMPACT Push T, IMPACT Cart Transport) 전체에서 acados는 단 1개의 수락된 궤적만을 생성한 반면, ContactIPM은 158개에서 성공했다. 이는 OCP 구조를 활용하는 것만으로는 MPCC 퇴화 문제를 극복하기에 불충분함을 보여준다.

폐루프 검증 (Closed-Loop Validation)

• 모델 불일치, 노이즈, 상태 리셋이 포함된 50회의 폐루프 Push Box 롤아웃에서 ContactIPM은 50케이스 모두 성공했다.
• 지연 시간 (Latency): 중앙값 해결 시간은 2.08 ms였으며, 99.37%의 해결 과정이 100 ms 제어 데드라인을 충족했다.
• 타당성: 폐루프 피드백은 프라이멀 타당성과 물리적 상보성을 유지했으며, 최대 물리적 상보성 곱은 $1.01 \times 10^{-6}$ 미만으로 유지되었다.

의의 및 주장

본 논문은 MPCC 강건성, 프라이멀-듀얼 일관성, 그리고 최적 제어 구조가 단일 솔버 내에서 공존할 수 있음을 주장한다. ContactIPM은 (CRISP 및 IMPACT에서 보이는 것처럼) 상보성 처리를 프라이멀-듀얼 뉴턴 단계에서 분리하는 것이 접촉 상보성을 위한 피할 수 없는 비용이 아님을 입증한다. 탄성 내부 완화와 단계별 제거 및 리카티 재귀를 결합함으로써, 이 솔버는 접촉-내재적 문제를 위한 수치적 강건성과 구조 활용 최적 제어의 계산 효율성을 모두 달성한다. 결과는 고급 OCP 선형 대수 기법을 사용할 때조차 전문화된 MPCC 처리가 필요함을 시사한다.