DYSANOS Generative Dynamic Smooth Arbitrage-free Non-parametric Option Surfaces

금융 세계를 주식과 같은 사물의 미래 가격에 대한 '베팅'을 거래하는 거대하고 북적이는 시장이라고 상상해 보십시오. 이러한 베팅을 옵션이라고 부릅니다. 일기 예보가 비가 올 것을 예측하듯, 이 옵션들은 시장이 가격이 얼마나 위아래로 흔들릴 것이라고 생각하는지를 반영하는 '가격'을 가집니다. 이 흔들림을 변동성이라고 합니다. 오랫동안 수학자들과 트레이더들은 이 시장에 대한 완벽한 컴퓨터 시뮬레이션을 구축하려고 노력해 왔습니다. 그들은 주가와 옵션 가격이 어떻게 함께 춤을 추며 움직일 수 있는지 보여주는 수천 가지의 가능한 미래의 날들을 생성하고자 합니다. 하지만 함정이 있습니다. 만약 컴퓨터가 실수를 한다면, 수학적 결함을 찾아내어 공짜로 돈을 벌 수 있는 '공짜 점심(free lunch)'을 만들어낼 수도 있다는 것입니다. 현실 세계에서는 공짜 점심이 존재하지 않습니다. 만약 존재한다면, 모두가 즉시 그것을 잡으려 할 것이고 시장은 붕괴할 것입니다. 따라서 이 분야의 성배는 현실적이면서도(실제 시장의 혼돈처럼 보이고) 수학적으로 완벽한(공짜 점심을 허용하지 않는) 시뮬레이터를 구축하는 것입니다.

여기서 "DYSANOS"라는 논문이 등장합니다. 저자들인 수학자 팀은 이러한 시장 시뮬레이션을 생성하기 위한 새로운 종류의 엔진을 구축했습니다. 그들은 자신들의 창조물을 DYSANOS라고 부르는데, 이는 "Generative Dynamic Smooth Arbitrage-free Non-parametric Option Surfaces"의 약자입니다. 매우 긴 이름이지만, 이를 나누어 살펴보겠습니다. 그들은 단순히 몇 가지 특정 베팅에 대한 가격을 추측하는 모델이 아니라, 모든 가능한 베팅에 대해, 모든 시점에, 매끄럽고 연속적인 가격 '곡면(surface)'을 생성하는 모델을 만들고자 했습니다. 그러면서도 결코 공짜 돈을 허용하는 수학적 결함을 만들지 않아야 합니다. 그들은 이 엔진을 S&P 500(미국의 가장 큰 기업들을 담은 거대한 바구니)의 실제 데이터로 테스트하고, 더 오래되고 단순한 방법들과 비교했습니다. 그 결과, 그들의 새로운 엔진이 수학을 깨끗하고 매끄럽게 유지하는 데는 매우 뛰어나지만, 여전히 아주 작고 은밀한 결함이 있다는 것을 발견했습니다. 즉, 옵션이 만기되기 '전'에 이 옵션들을 거래하려고 하면, 시뮬레이션이 실수로 위험 없는 수익을 낼 수 있는 방법을 만들어낸다는 것입니다. 이것은 마치 물리 법칙이 완벽한 비디오 게임 세계를 만들었지만, 특정 플랫폼 사이를 정확한 타이밍에 점프하려고 하면 실수로 바닥을 뚫고 지나가 버리는 것과 같습니다.

기존 시뮬레이터의 문제점

산맥의 지도를 그리는 것을 상상해 보십시오. 과거의 방식은 몇 개의 특정 지점(예: 정상, 골짜기, 능선)을 정하고 그 사이를 직선으로 잇는 것이었습니다. 이것은 간단하지만, 그리 현실적이지는 않습니다. 만약 당신이 실제 세상에서 그 지점들 사이를 걷고자 한다면, 지도에 표시되지 않은 절벽이나 늪을 마주하게 될 것입니다. 금융에서 이 "직선" 방식은 시뮬레이션된 옵션 가격들이 오직 몇 가지 특정 날짜와 가격에 대해서만 유효하다는 것을 의미했습니다. 만약 그 사이의 무언가를 거래하고 싶다면 수학이 엉망이 되었고, "공짜 점심" 문제가 자주 발생했습니다.

이 논문의 저자들은 "다른 방식을 시도해 보자"라고 말합니다. 몇 개의 점 사이에 직선을 긋는 대신, 그들은 실크 천이 산 위에 드리워진 것처럼 매끄럽고 흐르는 곡면을 만들고자 합니다. 이 천은 어디를 보든, 언제 거래하든 수학이 성립하도록 모든 곳에서 매끄러워야 합니다. 그들은 이 매끄러운 천을 "SANOS" 곡면이라고 부릅니다. 핵심 단어는 "차익거래가 없는(arbitrage-free)"입니다. 쉬운 말로, 이 곡면은 서로 다른 베팅들을 조합하여 위험 없이 확실한 이익을 보장할 수 있는 방법이 없도록 구축되었다는 뜻입니다. 만약 곡면에 이해되지 않는 돌출부나 구멍이 있다면, 똑똑한 컴퓨터 프로그램(또는 인간 트레이더)이 그것을 찾아내어 이용할 것이고, 결국 시뮬레이션을 망가뜨릴 것입니다.

마법의 기계: DYSANOS

저자들은 이러한 매끄러운 곡면을 생성하기 위해 DYSANOS라는 기계를 만들었습니다. 작동 방식은 다음과 같습니다.

1. 설계도 (SANOS): 먼저, 그들은 작은 숫자 세트를 완전하고 매끄러운 옵션 가격 곡면으로 변환하는 특별한 수학적 레시피(SANOS 디코더)를 만들었습니다. 이것은 3D 프린터와 같습니다. 프린터에 몇 개의 좌표만 담긴 작은 파일을 주면, 완벽하고 매끄러운 조각품을 출력합니다. 여기서 "조각품"은 가능한 모든 옵션 가격의 지도입니다. 마법은 이 레시피가 설계될 때부터 조각품에 공짜 점심을 허용하는 구멍이나 돌출부가 생길 수 없도록 되어 있다는 점입니다. 이는 수학적으로 안전함이 보장됩니다.

2. 학습 단계: 기계는 실제 시장이 어떤 모습인지 배워야 합니다. 저자들은 수년간의 S&P 500 실제 데이터를 기계에 입력했습니다. 그들은 단순히 기계에게 "가격을 추측하라"고 말한 것이 아닙니다. 대신, 기계가 실제 시장을 관찰하고 곡면의 모양을 제어하는 숨겨진 "노브(knobs)"(숨겨진 상태라고 불림)를 찾아내도록 가르쳤습니다. 그들은 전체 시장의 행동을 설명하는 데 단 20개 정도의 노브만 있으면 된다는 것을 발견했습니다. 이는 복잡한 댄스 루틴을 모든 단계를 하나하나 외우는 대신, 몇 가지 핵심 동작으로 설명할 수 있다는 것을 깨닫는 것과 같습니다.

3. 생성기 (AR(1) 모델): 노브를 학습한 후, 그들은 이 노브들을 시간에 따라 흔들 수 있는 간단한 엔진을 만들었습니다. 그들은 AR(1) 모델이라고 불리는 기본적인 통계 도구를 사용했습니다. 술 취한 사람이 집으로 걸어가는 모습을 상상해 보십시오. 그는 발걸음을 내딛지만, 방금 전의 위치에 약간의 영향을 받습니다(같은 방향으로 계속 가려는 경향이 있음) 그리고 약간의 무작위적인 비틀거림이 섞입니다. 이 노브들의 단순한 "취객의 걸음걸이"가 다음 날의 새로운 매끄러운 곡면을 생성하고, 그다음 날, 그다음 날을 생성하며 시장이 어떻게 진화할지에 대한 긴 영화를 만들어냅니다.

결과: 매끄럽지만 약간의 결함이 있는

저자들은 자신들의 기계를 실행하고, 과거 패턴에 기반해 가격을 추측하는 훨씬 오래되고 단순한 방법(PCA 모델이라 불림)과 비교했습니다. 결과는 흥미로웠습니다.

• 좋은 소식: 곡면의 "공짜 점심"(정적 차익거래) 여부를 확인했을 때, DYSANOS는 아주 훌륭하게 통과했습니다. 생성된 모든 곡면은 수학적으로 완벽했습니다. 옵션을 만기까지 보유한다면 시스템을 이용해 이득을 취할 방법은 없었습니다. 곡면은 매끄럽고 현실적이었으며, 기존 모델들을 괴롭혔던 들쭉날쭉한 가장자리가 없었습니다.
• 나쁜 소식 (동적 차익거래): 그러나 저자들은 옵션이 만기되기 '전'에 이 옵션들을 거래하려고 할 때 어떤 일이 일어나는지 테스트했습니다. 그들은 수백만 개의 경로를 시뮬레이션하고, 트레이더가 날짜 사이에 옵션을 사고팔아 확실한 이익을 얻을 수 있는 상황이 있는지 살펴보았습니다. 여기서 그들은 문제를 발견했습니다. 곡면 자체는 완벽했지만, 날짜 사이의 움직임은 완전히 완벽하지 않았습니다. 특정 시나리오에서 시뮬레이션은 날짜 사이의 타이밍을 맞추어 돈을 벌 수 있는 "동적 차익거래(dynamic arbitrage)"를 허용했습니다.

명확히 하자면, 이것은 거대하고 명백한 오류가 아니었습니다. 이것은 데이터를 매우 자세히 들여다보았을 때 나타난 미묘한 수치적 결함이었습니다. 저자들은 수백만 개의 시뮬레이션 경로와 다양한 유형의 거래 전략을 사용하여 이를 엄격하게 테스트했습니다. 그들은 기존 모델(PCA)이 명백한 공짜 점심으로 가득 차 있었던 반면, DYSANOS는 훨씬 나았지만, 날짜 사이의 거래 시 여전히 이러한 작고 숨겨진 틈새를 가지고 있음을 발견했습니다.

이것이 왜 중요한가

이 논문은 당신이 매끄럽고 수학적으로 안전한 시장 시뮬레이터를 설계할 수 있음을 증명했다는 점에서 큰 진전입니다. 이전의 모델들은 실수를 하지 않기를 바라며 "부드러운" 규칙에 의존해야 했습니다. DYSANOS는 곡면 자체가 안전하다는 강력한 수학적 보증을 사용합니다.

하지만 저자들은 아직 해결하지 못한 부분에 대해 매우 솔직합니다. 그들은 자신들의 모델이 매끄러운 곡면을 생성하는 데는 뛰어나지만, 역학(dynamics)(곡면이 시간에 따라 어떻게 움직이는가)은 여전히 개선이 필요하다고 인정합니다. 이 작은 동적 차익거래 기회가 발견되었다는 사실은, 만약 이 모델을 사용하여 AI를 학습시킨다면, 그 AI가 실제 시장을 거래하는 법을 배우는 대신 이러한 작은 결함을 이용하는 법을 배울 수도 있음을 의미합니다.

결국, DYSANOS는 최첨단 신형 자동차와 같습니다. 엔진은 완벽하고 승차감도 매끄럽지만, 핸들에 약간의 유격이 있는 상태입니다. 저자들은 이와 같은 문제에 대해 세상에서 가장 훌륭한 섀시와 엔진을 만들었지만, 레이스 트랙에 나가기 전에는 조향 장치(동적 부분)에 더 많은 튜닝이 필요하다는 점을 처음으로 인정했습니다. 그들은 수학 법칙을 어기지 않으면서 전체 시장의 역사를 시뮬레이션할 수 있는 미래의 토대를 마련했지만, 현재로서는 우리가 어떻게 운전해야 할지 주의를 기울여야 합니다.