Natural proofs for quantum state preparation lower bounds
이 논문은 표준적인 암호학적 가정하에서, 대부분의 하(Haar)-무작위 상태에 대해 성립하고 효율적으로 테스트 가능한 속성으로 정의되는 어떠한 "자연스러운(natural)" 속성도 양자 상태 준비에 대한 초다항식 하한을 증명하는 데 사용될 수 없음을 입증함으로써, 라즈보로프-루디치(Razborov-Rudich) 자연 증명 장벽의 양자적 상응물을 확립한다.
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강력한 양자 컴퓨터를 구축하려는 여정에서, 과학자들은 인류가 직면한 근본적인 수수께끼에 부딪혔다. 즉, 어떤 작업이 양자 컴퓨터가 효율적으로 수행하기에 진정으로 불가능한 것인지, 아니면 단지 우리가 아직 적절한 알고리즘을 찾지 못했을 뿐 어려운 것인지에 대한 문제다. 이를 규명하기 위해 연구자들은 양자 상태의 '복잡성', 즉 컴퓨터가 문제를 해결하기 위해 생성해야 하는 입자들의 특정 구성을 연구한다. 만약 어떤 상태가 너무 복잡하다면, 아무리 정교한 공학 기술을 동원하더라도 이를 빠르게 준비할 수 없다. 그 상태를 만들기 위해서는 우주의 나이보다 더 긴 시간이 걸릴 정도로 깊고 복잡한 회로가 필요하기 때문이다. 어떤 상태가 이토록 만들기 어렵다는 것을 증명하는 것은 양자 이론의 성배와도 같은데, 이는 자연의 진정한 한계가 어디에 있는지를 알려주기 때문이다. 그러나 수십 년 동안 이러한 증명은 좌절스럽게도 찾아내기 어려웠다. 그러한 한계를 증명하기 위해 수학자들이 사용하는 도구들은 한계가 존재하지 않아서가 아니라, 방법론 자체가 너무 광범위하여 진정으로 어려운 문제와 단지 어려운 문제를 구분해내지 못한다는 이유로 벽에 부딪히곤 했다.
컬럼비아 대학교의 크리스틴 리(Christine Li)와 나탈리 파함(Natalie Parham)의 새로운 연구는 왜 이러한 벽이 존재하는지를 정확히 식별해냈으며, 현재의 기술로는 이 벽을 깨뜨리는 것이 불가능할 가능성이 높음을 보여준다. 연구진은 수십 년 전 고전 컴퓨팅에서 발견된 유명한 장애물을 반영하는 양자 상태 준비의 장벽을 확립했다. 그들은 이를 '자연적 증명(natural proofs)' 장벽이라 부른다. 간단히 말해, '자연적' 증명이란 어떤 상태가 가진 특정한 성질을 찾아냄으로써 그 상태를 만들기 어렵다는 것을 보여주려는 방법이다. 여기서 상태가 가진 성질이 '자연적'인 것으로 간주되려면, 해당 상태의 전체 수학적 묘사를 가지고 있을 때 그 성질을 확인하기 쉬워야 하며, 또한 대부분의 무작위 상태들이 갖는 성질이어야 한다. 저자들은 암호학에 관한 특정 표준 가정들이 참이라면, 어떠한 자연적 성질도 어떤 상태가 초다항식(super-polynomially) 수준으로 준비하기 어렵다는 것을 증명할 수 없음을 보여준다. 다시 말해, 우리가 강력한 양자 회로가 만들어낼 수 있는 가장 강력한 상태들을 증명하기 위해 사용하는 바로 그 도구들이 수학적으로 그 임무를 수행할 능력이 없다는 것이다.
이를 입증하기 위해 연구팀은 완벽한 테스트 케이스 역할을 하는 특정 양자 상태 군(family)을 구축했다. 이 상태들은 그 전체 수학적 묘사를 검토하는 모든 고전적 관찰자에게, 설령 무제한의 시간을 들여 숫자를 계산하는 관찰자라 할지록 완전히 무작위적인 것처럼 보이도록 설계되었다. 그럼 nonetheless, 역설적이게도 이 동일한 상태들은 '매직 계층(magic hierarchy)'이라고 알려진 고정된 복잡도 수준 내에서 작동하는, 놀라울 정도로 단순하고 얕은 양자 회로에 의해 준비될 수 있다. 매직 계층은 진정한 양자 마법을 만드는 데 필요한 단순하고 가역적인 연산과 더 복합적이고 비가역적인 연산 사이를 얼마나 많이 전환하는지에 따라 양자 회로를 분류하는 방식이다. 연구진은 보안 암호 함수가 존재한다는 표준적인 가정이 참이라면, 이 '가짜 무작위(fake random)' 상태들이 고전적인 테스트에 대해 진정한 무작위 상태들과 구별 불가능하다는 것을 증명했다. 자연적 증명은 만들기 쉬운 상태와 어려운 상태 사이의 차이를 찾는 것에 의존하는데, 이 가짜 무작위 상태들은 만들기 쉬우면서도 동시에 무작위해 보이기 때문에, 어떤 자연적 증명도 실패하게 된다. 즉, 증명은 쉬운 상태를 거부하거나(그렇게 해서는 안 되는데), 어려운 상태를 수용하게 되어(그렇게 해서는 안 되는데) 결국 쓸모없는 것이 된다.
논문은 더 나아가 과학자들이 특정 상태가 준비하기 어렵다고 주장하기 위해 사용해 온 여러 기존 기법들을 조사한다. 저자들은 '파울리 차수(Pauli degree)'(특정한 방식으로 얽혀 있는 입자의 수를 측정하는 척도), 국소 에너지 시스템에서의 기저 상태의 유일성, 그리고 입자 간의 상호 정보량에 기반한 논증들이 모두 자연적 증명의 범주에 속한다는 것을 보여준다. 이는 이러한 인기 있는 방법들이 더 단순한 회로에는 유용할지 모르나, 더 강력한 양자 모델에 대해 강력한 하한(lower bounds)을 증명하는 데 있어서는 근본적으로 차단되어 있음을 의미한다. 연구진은 이러한 기법들이 너무 '자연적'이어서 문제가 된다는 것을 발견했다. 즉, 이 기법들은 무작위처럼 보이는 상태를 식별하는 데는 매우 뛰어나지만, 진정으로 만들기 어려운 상태와 교묘하게 위장된 만들기 쉬운 상태를 구분해내지 못한다.
이 발견이 강력한 양자 상태가 존재하지 않는다거나 그것들을 만들기 어렵다는 사실을 의미하는 것은 아니다. 단지 이를 증명하기 위한 현재의 플레이북이 불완전하다는 것을 의미할 뿐이다. 이 장벽은 앞으로의 발전을 위해서는 '자연적이지 않은' 전혀 새로운 종류의 논증, 즉 구축하기가 믿기 힘들 정도로 어렵거나 확인하기 까다로운 성질에 의존하는 새로운 방법이 필요함을 시사한다. 또한 이 연구는 데이터를 어떻게 조작할지 지시하는 명령인 양자 연산(unitaries)의 한계를 증명하는 과제에 대해서도 다룬다. 저자들은 표준적인 가정을 사용하여 이러한 연산들에 대해 동일한 유형의 장벽을 구축할 수는 없었으나, 그렇게 하는 것이 해당 분야의 또 다른 주요 미해결 문제를 해결하는 길임을 보여줌으로써, 그 난도가 훨씬 더 깊은 곳에 있음을 시사했다.
궁극적으로 이 연구는 지형에 대한 명확한 지도를 제공한다. 이는 양자 하한(quantum lower bounds)을 증명하는 데 따르는 어려움이 단순히 노력이나 영리함의 부족 때문이 아니라, 우리가 사용하는 논리의 구조적 한계 때문임을 알려준다. 이 장벽을 식별함으로써, 저자들은 과학 공동체가 막다른 골목을 쫓는 데서 벗어나게 했으며, 새로운 종류의 수학적 통찰력이 필요함을 지목했다. 앞으로의 경로는 자연적 성질이라는 안락한 구역에서 벗어나, 무작위성에 쉽게 속지 않는 렌즈를 통해 양자 세계를 바라보는 방법을 찾는 것이다. 그때까지 양자 컴퓨팅의 가장 강력한 한계는, 현재로서는 수학적으로 침투 불가능한 벽 뒤에 숨겨져 있을 것이다.
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