Multi-objective Portfolio Optimization Via Gradient Descent

당신이 거대한 배의 선장이라고 상상해 보십시오. 하지만 당신은 물 위가 아니라, 온통 돈으로 이루어진 바다를 항해하고 있습니다. 당신의 목표는 최대한 많은 보물을 가지고 A 지점에서 B 지점까지 가는 것이지만, 함정이 하나 있습니다. 바다는 폭풍(리스크)으로 가득 차 있고, 엄격한 지도(규제)가 있어서 한 상자에 너무 많은 금을 담을 수 없으며, 반드시 특정 등대(벤치마크 지수) 근처에 머물러야 한다는 규칙이 있습니다. 이것이 바로 포트폴리오 최적화의 세계입니다. 수십 년 동안 이 배를 조종하는 표준적인 방법은 "현대 포트폴리오 이론"이라는 딱딱한 수학적 나침반을 사용하는 것이었습니다. 이 방식은 잔잔한 바다에서는 잘 작동했지만, 복잡한 규칙이나 상충하는 목표들—예를 들어 최대의 보물과 최소의 리스크, 그리고 엄격한 안전 제한을 동시에 원하는 경우—처럼 바다가 거칠어지면 기존의 나침반은 종종 멈춰버리거나 고장이 나곤 했습니다.

새로운 종류의 항해 도구인 **경사 하강법(Gradient Descent)**이 등장했습니다. 이것을 정교한 지도라기보다는, 안개 낀 산을 더듬거리며 내려가는 등산객이라고 생각하십시오. 등산객(컴퓨터)은 작은 발걸음을 내디디며, 어느 방향이 가장 가파른 내리막길인지(리스크가 낮아지거나 수익이 높아지는 방향) 끊임없이 확인하며 경로를 조정합니다. 보통 이 "등산" 방식은 컴퓨터가 사진 속 고양이를 인식하거나 자동차를 운전하도록 가르치는 데 사용됩니다. 하지만 만약 우리가 컴퓨터에게 금융의 산을 타는 법을 가르친다면 어떨까요? 이것이 바로 이 논문이 탐구하는 내용입니다. 연구진은 현대적인 AI 도구의 힘을 빌린 이 "등산" 기법을 사용하여, 기존의 방식들이 어려움을 겪었던 복잡하고 다중적인 목표를 가진 투자 문제를 해결하는 새로운 프레임워크를 구축했습니다. 그들은 이 유연한 단계별 접근 방식이 기존의 경직된 계산기보다 더 나은, 더 안전하고, 더 규칙을 잘 준수하는 보물 상자를 만들 수 있는지 확인하고자 했습니다.

논문의 여정: 금융의 산을 걷다

오토노머스 마드리드 대학교(Autonomous University of Madrid)와 March Asset Management의 연구진은 이 "등산" 방식(경사 하강법)이 **다목적 포트폴리오 최적화(MPO)**라는 복잡한 업무를 수행할 수 있는지 테스트하기 위해 모였습니다. 현실 세계에서 투자자들은 단순히 "높은 수익"만을 원하지 않습니다. 그들은 리스크를 낮게 유지하면서, 동시에 엄격한 법규(유럽의 UCITS 규정 등)를 준수하면서, 동시에 모든 달걀을 한 바구니에 담지 않으면서도, 특정 시장 지수를 밀접하게 추종하기를 원합니다. 전통적인 도구들은 이 모든 공을 동시에 저글링해야 할 때, 특히 규칙이 까다롭거나 데이터가 방대할 때 종종 어려움을 겪습니다.

연구진은 S&P 500(미국의 약 500개 주요 기업 목록)의 2020년 데이터를 사용하여 디지털 놀이터를 구축했습니다. 그들은 단 하나의 테스트만 만든 것이 아니라, 단순한 "최적의 경로 찾기"부터 "바위를 피하고, 속도 제한을 지키며, 특정 무게를 실어야 하는" 믿기 힘들 정도로 복잡한 "장애물 코스"에 이르기까지 여섯 가지 서로 다른 시나리오를 설계했습니다.

단순한 테스트: 직선 걷기
먼저, 기초적인 사항들을 테스트했습니다. 한 시나리오에서 그들은 컴퓨터에게 리스크와 보상의 최적의 균형(샤프 지수 극대화)을 찾는 과제를 주었습니다. 그들은 이 새로운 "등산" 방식과 CVXPY라는 유명하고 경직된 수학적 솔버를 비교했습니다. 결과는 어떠했을까요? 등산객과 경직된 계산기는 거의 정확히 같은 지점에 도착했습니다. 자산의 비중(각 주식에 투입되는 금액)은 소수점 여섯 번째 자리에서만 차이가 날 정도로 거의 동일했습니다. 이는 새로운 방식이 단순한 작업에서 기존의 신뢰받는 도구들만큼 정확하다는 것을 증л했습니다.

두 번째 테스트에서 그들은 컴퓨터에게 "극단적인 손실"(CVaR이라 불리는 개념)을 최소화하라고 요청했습니다. 그들은 이를 SKFOLIO라는 또 다른 도구와 비교했습니다. 여기서 "등산객"은 경직된 계산기와 약간 다른 경로를 택하여, 다른 주식을 선택하고 약간 다른 비중을 할당했습니다. 그러나 최종 결과, 즉 실제 극단적 손실을 얼마나 피했는지를 확인했을 때, 두 방법은 사실상 쌍둥이 같았습니다. 그 차이는 소수점 다섯 번째 자리 수준으로 매우 미미했기에, 실질적으로 등산객은 미리 그려진 지도를 따르는 대신 지형을 느끼며 이동함으로써 동일한 목적지에 도달한 것입니다. 이는 "극단적 손실" 문제가 수학적으로 매우 복잡하고 경직된 도구들이 완벽하게 해결하기 어렵다는 점에서 매우 중요한 성과였습니다. "등산객"은 이를 아주 쉽게 처리해 냈습니다.

복잡한 테스트: 저글링과 장애물 코스
그다음, 난이도가 높아졌습니다. 연구진은 마치 비디오 게임에서 새로운 레벨을 추가하듯 복잡성을 더했습니다.

• 규칙 준수자: 그들은 컴퓨터에게 UCITS 규정을 준수하면서 극단적인 손실을 최소화하라고 요청했습니다. 이 규정은 예를 들어 "단일 주식이 포트폴리오의 10%를 초과할 수 없다"거나 "큰 베팅(5% 초과)의 합계가 40%를 넘을 수 없다"는 식의 엄격한 유럽 규칙입니다. 전통적인 도구들은 이러한 규칙 때문에 종종 막히곤 하는데, 이는 수학적으로 "비볼록(non-convex)"한 상황, 즉 지도가 구멍과 절벽으로 가득 차서 경직된 계산기를 망가뜨리는 상황을 만들기 때문입니다. 하지만 등산객은 어떠했을까요? 등산객은 그저 계속 걸으며, 선을 벗어나지 않는 경로를 찾을 때까지 발걸음을 조정했습니다. 그 결과, 리스크를 낮게 유지하면서도 규칙을 완벽하게 준수하는 포트폴리오가 만들어졌습니다.

• 줄타기 곡예사: 또 다른 테스트에서 그들은 추적 오차(Tracking Error) 제약을 추가했습니다. 이는 포트폴리오의 성과가 S&P 500 지수와 매우 밀접하게 유지되어야 함을 의미합니다(마치 줄타기 곡예사가 줄 위에 붙어 있는 것처럼 말이죠). 등산객은 극단적 손실을 최소화하면서도 지수에 딱 붙어 있을 수 있었고, 이를 통해 갈등하는 목표들 사이에서 균형을 잡으며 떨어지지 않을 수 있음을 증명했습니다.

• 최종 도전: 가장 복잡한 마지막 테스트는 컴퓨터에게 모든 것을 동시에 수행하도록 요구했습니다. 수익 극대화, 극단적 손실 최소화, UCITS 규정 준수, 최소 주식 수 유지, 각 주식의 최소 비중 보장, 그리고 지수와의 밀접한 추종까지 말입니다. 컴퓨터는 이 혼란스러운 장애물 코스를 성공적으로 통과했습니다. 컴퓨터는 23개의 주식을 선택했고, 각 주식의 비중을 1% 이상으로 유지했으며, "큰 베팅"이 40% 제한을 넘지 않도록 관리하면서, 위험 조정 수익률 측면에서 표준 지수를 능가하는 포트폴리오를 선보였습니다.

"마스크"의 미스터리
마지막으로 창의적인 테스트로서, 연구진은 "마스크(Masks)"를 만들었습니다. 이는 특정 그룹의 주식 총합이 일정 수준을 넘지 않아야 한다는 규칙입니다(예: "테크 그룹은 전체 자금의 27%를 넘을 수 없다"). 등산객은 어떤 그룹도 제한을 위반하지 않도록 자금을 성공적으로 분배하면서도, 포트폴리오의 전체 리스크를 최소화했습니다. 이는 이 방식이 오래된 소프트웨어들에게는 악몽이 될 수 있는 사용자 정의의 임의적인 규칙들도 처리할 수 있음을 보여주었습니다.

이것이 미래에 의미하는 바

이 논문은 당신을 부자로 만들어 줄 "마법의 탄환"을 발견했다고 주장하는 것이 아닙니다. 대신, 훨씬 더 실용적인 것, 즉 유연성을 제안합니다. 저자들은 자동 미분(컴퓨터가 기울기를 즉각적으로 계산할 수 있게 해주는 도구)을 결합한 경사 하강법을 사용하는 것이, 전통적인 수학으로는 해결하기 너무 복잡한 투자 문제들을 해결할 수 있는 강력하고 확장 가능한 방법임을 보여줍니다.

핵 핵심적인 발견은 이 방식이 단순한 작업에서는 기존의 최고 도구들과 경쟁력이 있지만, 복잡하고 다중 규칙이 있는 시나리오에서는 우월하다는 점입니다. 이 방식은 단순히 하나의 답을 찾는 것이 아니라, 투자자들이 실제로 직면하는 지저-분한 현실적 제약들을 존중하는 좋은 답을 찾아냅니다. 연구진은 "등산객"에게 가이드(사용자)가 필요하며, 이 가이드가 적절한 "가중치"(리스ki 대비 수익에 얼마나 신경 쓸 것인지)를 설정해 주어야 한다고 강조합니다. 일단 이 설정이 완료되면, 컴퓨터는 수십 개의 상충하는 목표를 동시에 조율하는 무거운 짐을 대신 짊어질 수 있습니다.

결국, 이 논문은 새로운 종류의 금융 도구로 향하는 문을 열어줍니다. 그것은 마치 인간 등산객처럼 적응력이 뛰어나며, 경직된 지도가 실패하는 현대 투자의 안개 끼고 바위투성이인 지형을 헤쳐 나갈 수 있는 도구입니다. 인공지능의 기술을 빌려옴으로써, 우리는 단순히 수학적으로 건전할 뿐만 아니라, 현실 세계에서도 견고하게 작동하는 포트폴리오를 구축할 수 있다는 것을 시사합니다.