Dimensional Expressivity Analysis, best-approximation errors, and automated design of parametric quantum circuits

Deze bijdrage presenteert een efficiënt hybride quantum-klassiek algoritme voor dimensionele expressiviteitsanalyse dat redundante parameters in parametrische quantumcircuits identificeert en verwijdert, waardoor geoptimaliseerde circuits voor variatieve quantum-simulaties kunnen worden gegenereerd.

De kern

De Kern: Het Bouwen van de Perfecte Quantum-Brug

Stel je voor dat je een quantumcomputer wilt gebruiken om een heel moeilijk probleem op te lossen, zoals het simuleren van een nieuw medicijn of het begrijpen van deeltjes in de natuur. Om dit te doen, bouw je een Parametrisch Quantum Circuit (PQC).

Je kunt dit circuit zien als een reusachtige, flexibele brug die je zelf moet ontwerpen.

• De deelen van de brug zijn de quantum-gates (de bouwstenen).
• De schroeven en verstelknoppen zijn de parameters. Door deze knoppen te draaien, verandert de vorm van de brug.

Het doel is om de brug zo te bouwen dat hij precies past bij het doel (bijvoorbeeld: de exacte vorm van een molecuul). Maar hier zit een groot dilemma:

1. Te weinig knoppen: Als je te weinig knoppen hebt, kan de brug niet de juiste vorm aannemen. Hij is te stijf. Je komt dan nooit bij de oplossing, maar alleen bij de "beste benadering" die je met die stijve brug kunt maken.
2. Te veel knoppen: Als je te veel knoppen hebt, is de brug onnodig complex. In de echte wereld (waar quantumcomputers nog erg onrustig en "ruisachtig" zijn) betekent elke extra knop meer kans op fouten. De brug trilt dan te veel en valt uiteen voordat hij zijn werk doet.

De vraag is: Hoe bouw je een brug die precies goed is? Niet te stijf, maar ook niet te wankel?

De Oplossing: De "Dimensional Expressivity Analysis" (DEA)

De auteurs van dit paper hebben een slimme methode bedacht genaamd Dimensional Expressivity Analysis (DEA). Je kunt dit zien als een slimme inspecteur die de brug bekijkt en zegt: "Hey, deze knop hier is nutteloos!"

Hoe werkt die inspecteur?

Stel je voor dat je een brug hebt met 100 knoppen. De inspecteur kijkt naar elke knop één voor één:

• Hij draait aan knop 1. Verandert de brug? Ja? Dan is deze knop nuttig.
• Hij draait aan knop 2. Verandert de brug? Ja? Dan is deze ook nuttig.
• Hij draait aan knop 3. Verandert de brug? Nee! Of... hij verandert de brug op precies dezelfde manier als knop 1 al deed. Dan is knop 3 redundant (overbodig).

De inspecteur gebruikt wiskunde (specifiek iets dat lijkt op het controleren van de "kracht" van de veranderingen) om te zien welke knoppen echt iets nieuws doen en welke alleen maar doen wat andere knoppen al doen.

Het resultaat: Je verwijdert alle overbodige knoppen. Je houdt een brug over die:

1. Net zo sterk is als de originele (je mist geen mogelijke vormen).
2. Veel minder knoppen heeft (minder kans op fouten door ruis).

De Creatieve Analogieën uit het Paper

Hier zijn een paar manieren om de complexe concepten uit het paper te begrijpen:

1. De "Dubbele Rotatie" (Redundantie)
Stel je voor dat je een kompas hebt. Je kunt de naald draaien met een knop links ($\theta_1$) en een knop rechts ($\theta_2$).

• Als je alleen links draait, verandert de richting.
• Als je alleen rechts draait, verandert de richting ook.
• Maar wat als je twee keer dezelfde knop hebt? Als je knop A de naald 90 graden naar rechts draait, en knop B doet exact hetzelfde, dan is knop B nutteloos. Je kunt hem weggooien en de naald draait nog steeds precies zo goed.
• In het paper laten ze zien hoe je dit wiskundig kunt bewijzen: als de verandering door knop B een "som" is van de veranderingen van de andere knoppen, dan is hij overbodig.

2. De "Onzichtbare Muur" (Fysieke Symmetrieën)
Soms wil je dat je brug bepaalde regels volgt, bijvoorbeeld dat hij er aan beide kanten hetzelfde uitziet (translatie-symmetrie).

• Zonder deze regels zou je een brug moeten bouwen die elke denkbare vorm kan aannemen. Dat is onmogelijk groot.
• Maar als je weet dat de natuur bepaalde regels heeft (zoals symmetrie), dan is de "wereld" waar je in bouwt veel kleiner. Het is alsof je niet de hele oceaan hoeft te verkennen, maar alleen een klein meer.
• Het paper laat zien hoe je automatisch circuits kunt bouwen die al binnen deze kleine, veilige wereld werken. Je bouwt dan niet de hele brug, maar alleen het stukje dat nodig is.

3. De "Hybride Teamwork" (Quantum + Klassiek)
Het berekenen van welke knoppen overbodig zijn, is voor een gewone computer te zwaar als de brug heel groot is.

• De auteurs gebruiken een hybride team: De quantumcomputer doet het zware tillen (het meten van de veranderingen) en de klassieke computer doet het rekenen (het analyseren van de data).
• Het is alsof je een quantumcomputer gebruikt als een super-snel meetinstrument, en een gewone laptop als de ingenieur die de blauwdrukken tekent.

Waarom is dit belangrijk? (De "Beste Benadering")

Soms is het zelfs te duur om een brug te bouwen die alles kan. Dan moet je genoegen nemen met een brug die maar een deel van de vormen kan maken.

• Het paper geeft ook een manier om te meten: "Hoe ver zit mijn brug van de perfecte vorm af?"
• Ze noemen dit de "best-approximation error" (de beste benaderingsfout).
• Ze hebben een methode bedacht om deze fout te schatten zonder de brug eerst volledig te hoeven bouwen. Het is alsof je een modeltje van de brug maakt om te zien hoe goed hij zou werken, voordat je de echte, dure brug bouwt.

Conclusie in Eenvoudige Woorden

Dit paper is een handleiding voor het optimaliseren van quantum-apparatuur.

In plaats van blindelings een quantumcircuit te bouwen met honderden knoppen en te hopen dat het werkt, gebruiken we deze DEA-methode om:

1. De overbodige knoppen te vinden en te verwijderen (zoals het verwijderen van dubbele spijkers uit een muur).
2. Automatisch de juiste circuits te ontwerpen die passen bij de regels van de natuurkunde.
3. Te weten hoe goed onze oplossing is, zelfs als we niet alles perfect kunnen bereiken.

Dit maakt quantumcomputers op de korte termijn (de huidige "ruisige" machines) veel effectiever, omdat we minder fouten maken door circuits te vereenvoudigen zonder aan kracht te verliezen. Het is de kunst van "minder is meer", maar dan met wiskundige zekerheid.

Technische samenvatting

Titel: Dimensionale Expressiviteitsanalyse, beste-benaderingsfouten en geautomatiseerd ontwerp van parametrische kwantumcircuits

Auteurs: Lena Funcke, Tobias Hartung, Karl Jansen, Stefan Kühn, Manuel Schneider, Paolo Stornati.
Context: Dit paper is een bijdrage aan de 38e Internationale Symposium over Lattice Field Theory (LATTICE2021) en bouwt voort op eerdere werken [1, 2].

---

1. Het Probleem

Bij het ontwerpen van Parametrische Kwantumcircuits (PQCs) voor Variational Quantum Simulations (VQS) op Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) apparaten, bestaat er een fundamenteel spanningsveld tussen twee tegenstrijdige eisen:

1. Expressiviteit: Het circuit moet voldoende parameters hebben om de oplossing (de gewenste kwantumtoestand) te kunnen genereren. Als het circuit te beperkt is, kan het slechts een benadering vinden die beperkt is tot de door het circuit gegenereerde deelruimte.
2. Minimaliteit en Ruis: Het circuit moet zo weinig mogelijk parametrische poorten bevatten om de ruis van het kwantumapparaat te minimaliseren. Overbodige parameters leiden tot onnodige poorten en daarmee tot meer ruis.

De uitdaging is om een PQC te vinden dat maximaal expressief is (alle relevante toestanden kan bereiken) maar minimaal (geen redundante parameters bevat). Bestaande methoden voor het ontwerpen van circuits missen vaak een systematische manier om redundantie te detecteren en te elimineren, of om te bepalen of een circuit fysiek haalbare toestanden kan bereiken.

2. Methodologie

Het paper introduceert en uitbreidt de Dimensionale Expressiviteitsanalyse (DEA). Deze methode combineert wiskundige analyse met een hybride kwantum-klassiek algoritme.

A. Theoretische Basis: Identificatie van Redundantie

Een PQC wordt gezien als een afbeelding $C$ van een parameterruimte $\mathcal{P}$ naar de toestandsruimte $\mathcal{S}$. Een parameter $\vartheta_k$ is redundant als een kleine verandering in $\vartheta_k$ (terwijl andere parameters constant blijven) een toestand oplevert die ook bereikt kan worden door alleen de andere parameters aan te passen.

• Wiskundige formulering: Dit komt neer op het controleren of de partiële afgeleide $\partial_k C(\vartheta)$ een lineaire combinatie is van de andere partiële afgeleiden.
• Jacobian-matrix: De analyse gebruikt de reële partiële Jacobiaan $J_k$. Als het toevoegen van een kolom voor $\partial_k C$ de rang van de matrix niet verhoogt, is de parameter redundant.
• Efficiëntie: In plaats van de grote Jacobiaan direct te berekenen, wordt de matrix $S_k = J_k^* J_k$ geanalyseerd. De parameters zijn onafhankelijk als alle eigenwaarden van $S_k$ strikt positief zijn.

B. Hybride Kwantum-Klassieke Implementatie

Het klassiek berekenen van $S_k$ is exponentieel duur in het aantal qubits ($Q$). Het paper stelt een efficiënte hybride aanpak voor:

• De elementen van $S_k$ corresponderen met reële delen van inproducten van afgeleide toestanden: $\Re\langle \text{init} | \gamma_m^* \gamma_n | \text{init} \rangle$.
• Deze waarden worden gemeten op een kwantumapparaat met behulp van een ancilla-qubit en gecontroleerde poorten (zoals in figuur 8 van het paper).
• Dit verlaagt de klassieke reklast aanzienlijk en maakt de analyse haalbaar voor grotere circuits.

C. Geautomatiseerd Circuit Ontwerp en Fysieke Symmetrieën

Het paper breidt de DEA uit tot het automatisch ontwerpen van circuits:

• Fysieke Toestandsruimtes: In veel fysieke modellen (bijv. met translatiesymmetrie) is de relevante toestandsruimte veel kleiner dan de volledige Hilbertruimte. De dimensie groeit polynomieel in plaats van exponentieel.
• Automatisering: Door gebruik te maken van equivalentieklassen van toestanden onder symmetrie-operatoren, kunnen minimale circuits worden geconstrueerd die specifiek gericht zijn op deze fysieke sectoren.
• Symmetrie-eliminatie: Ongewenste symmetrieën (zoals een globale fase) die de kostenfunctie niet beïnvloeden, kunnen worden geïdentificeerd en verwijderd door de DEA toe te passen op een uitgebreid circuit dat deze symmetrie expliciet bevat.

D. Beste-Benaderingsfout (Best-Approximation Error)

Als een circuit niet maximaal expressief is, wordt de beste-benaderingsfout ($\alpha_C$) gedefinieerd als de maximale afstand tussen een fysiek relevante toestand en de dichtstbijzijnde toestand die door het circuit kan worden gegenereerd.

• Het paper beschrijft methoden om deze fout te schatten, zowel via Voronoi-diagrammen in de toestandsruimte (voor een nauwkeurige schatting) als via een ondergrens gebaseerd op het volume van de afbeeldingsmanifold.
• De ondergrens kan efficiënt worden berekend met dezelfde hybride methode die voor de DEA wordt gebruikt.

3. Belangrijkste Resultaten

1. Validatie op Hardware: De methode is succesvol getest op echte kwantumhardware (IBM Q: ibmq_ourense en ibmq_vigo) voor een enkel-qubit circuit. De resultaten toonden aan dat het algoritme redundantie (zoals een overbodige rotatie) betrouwbaar kan detecteren, zelfs in aanwezigheid van hardware-ruis.
2. Geautomatiseerd Ontwerp: Er is een procedure ontwikkeld om minimale, maximaal expressieve circuits te genereren voor specifieke fysieke symmetrieën (zoals translatie-invariantie) met een polynomiale schaal in het aantal parameters.
3. Foutanalyse: Er zijn methoden ontwikkeld om de "best-approximation error" te kwantificeren, wat cruciaal is wanneer men gedwongen is om minder expressieve circuits te gebruiken vanwege hardwarebeperkingen.

4. Betekenis en Conclusie

De Dimensionale Expressiviteitsanalyse (DEA) biedt een krachtig raamwerk voor de optimalisatie van variational quantum algorithms op NISQ-apparaten.

• Efficiëntie: Het elimineert overbodige poorten, wat direct leidt tot minder ruis en kortere circuits.
• Automatisering: Het stelt onderzoekers in staat om op de vlucht ("on-the-fly") geoptimaliseerde circuits te construeren voor elke iteratie van een VQS-loop, in plaats van één statisch circuit te gebruiken.
• Beperkingen: De toepasbaarheid wordt momenteel nog beperkt door hardware-ruis, vooral bij meerdere qubits. De auteurs benadrukken dat verdere vooruitgang afhankelijk is van betere hardware en low-overhead error-mitigatie technieken.
• Toekomst: Een volgende stap is het integreren van DEA met methoden voor het optimaliseren van niet-parametrische poorten om een volledig geünificeerde optimalisatie-aanpak te creëren.

Kortom, dit paper levert een essentiële bijdrage aan het theoretische en praktische ontwerp van kwantumcircuits, waarbij het de brug slaat tussen wiskundige expressiviteit en de praktische beperkingen van huidige kwantumhardware.