Mean-based incomplete pairwise comparisons method with the reference values

Dit artikel introduceert twee kwantitatieve methoden voor het berekenen van gewichtsvector uit onvolledige paarwijze vergelijkingen met referentiewaarden, waarbij de optimaliteit van de geometrische variant en de bestaansvoorwaarden van de rekenkundige variant worden bewezen.

De kern

Hier is een uitleg van het artikel, vertaald naar alledaags Nederlands met creatieve vergelijkingen.

De Kern: Hoe je keuzes maakt zonder alles te hoeven vergelijken

Stel je voor dat je een groot feest organiseert en je moet een menu samenstellen. Je hebt zes verschillende voorgerechten op het menu staan. Om de beste te kiezen, zou je normaal gesproken elk gerecht met elk ander gerecht moeten vergelijken (is de soep lekkerder dan de salade? Is de tortilla beter dan de champignons?).

Bij zes gerechten moet je 15 vergelijkingen maken. Dat is veel werk, en mensen worden snel moe of onzeker als ze te veel moeten vergelijken.

Het probleem:
In de echte wereld (bij bedrijven, overheden of zelfs bij het kopen van een auto) hebben we vaak te veel opties om ze allemaal met elkaar te vergelijken. We hebben een "incomplete" lijst: we weten wat A is ten opzichte van B, maar we weten niet hoe A zich verhoudt tot C.

De oplossing uit het artikel:
De auteurs (Konrad Kułakowski en zijn team) hebben een slimme manier bedacht om toch een eerlijke ranglijst te maken, zelfs als je niet alles met elkaar hebt vergeleken. Ze gebruiken een trucje: Referentiewaarden.

De Analogie: De "Vaste Ankers"

Stel je voor dat je een weegschaal hebt, maar je weet niet hoe zwaar de nieuwe voorwerpen zijn. Je hebt echter twee bekende stenen die je al precies weegt:

1. Een steen van 6 kg (een oude, beproefde soep).
2. Een steen van 4 kg (een oude, beproefde kaasplank).

Deze twee zijn je referentiewaarden. Je hoeft ze niet meer te wegen of te vergelijken; hun gewicht staat vast.

Nu leg je de nieuwe, onbekende gerechten (de champignons, de tortilla, etc.) op de schaal en vergelijkt je ze alleen met deze twee bekende stenen.

• "De champignons zijn ongeveer zo zwaar als de soep, maar dan iets lichter."
• "De tortilla is zwaarder dan de kaasplank."

Omdat je de "anker" (de bekende stenen) kent, kun je de gewichten van de nieuwe gerechten berekenen, zelfs als je de champignons nooit direct met de tortilla hebt vergeleken.

De Twee Manieren van Rekenen

Het artikel beschrijft twee manieren om deze berekening te doen, afhankelijk van hoe je denkt:

1. De Rekenkundige Methode (De "Gemiddelde" Manier)

Dit is als het maken van een arithmetic mean (gemiddelde).

• Voorbeeld: Je zegt: "Deze tortilla is 3 keer zo lekker als de soep, maar 2 keer zo slecht als de kaas."
• Je telt de scores bij elkaar op en deelt ze door het aantal vergelijkingen.
• Voordeel: Het is heel intuïtief en makkelijk te begrijpen. "Het gemiddelde van deze twee oordelen."
• Nadeel: Soms werkt deze methode niet als de vergelijkingen heel chaotisch zijn of als er te veel ontbrekende stukjes zijn. Het is als proberen een raadsel op te lossen waarbij de stukjes niet precies in elkaar passen; dan krijg je geen oplossing.

2. De Meetkundige Methode (De "Balanseer" Manier)

Dit is iets slimmer en robuuster. In plaats van optellen, vermenigvuldig je de waarden en trekt je daar de wortel van (een meetkundig gemiddelde).

• Voorbeeld: Je kijkt niet naar het totaal, maar naar de verhouding. Als iets 3 keer zo goed is en 2 keer zo slecht, dan is het resultaat het product van die factoren.
• Voordeel: Deze methode werkt altijd, zelfs als de vergelijkingen wat rommelig zijn. De auteurs bewijzen in het artikel dat deze methode wiskundig gezien de "beste" is (optimaal) omdat hij de fouten in de vergelijkingen het minst maakt. Het is alsof je een balans hebt die zichzelf altijd in evenwicht brengt, ongeacht hoe je de gewichten plaatst.

Waarom is dit belangrijk?

1. Minder werk: Je hoeft niet 100 vergelijkingen te maken voor 10 opties. Je kiest een paar "bekende" opties (referenties) en vergelijkt de rest alleen met die.
2. Flexibiliteit: Je kunt je mening later aanpassen. Als je een nieuw gerecht toevoegt aan het menu, hoef je niet alles opnieuw te vergelijken. Je vergelijkt het nieuwe gerecht alleen met de oude, bekende "ankers".
3. Geen "Rank Reversal": In de wereld van beslissingen gebeurt het soms dat als je een slechte optie toevoegt, de volgorde van de goede opties verandert (wat onlogisch is). Deze methode voorkomt dat. De volgorde blijft stabiel.

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben een slimme wiskundige formule bedacht die je helpt de beste keuze te maken uit een grote lijst opties, door alleen een paar bekende "standaarden" te gebruiken als anker, waardoor je minder hoeft te vergelijken en toch een betrouwbaar resultaat krijgt.

Kies je voor de rekenkundige of de meetkundige methode?

• Kies rekenkundig als je gewoon een gemiddelde mening wilt van experts (bijv. "Wat is de gemiddelde prijs?").
• Kies meetkundig als je zekerheid wilt dat je berekening altijd werkt en wiskundig perfect is (bijv. "Wat is de meest stabiele rangschikking?").

In de meeste complexe situaties raden de auteurs de meetkundige methode aan, omdat die nooit faalt en de "beste" oplossing garandeert.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Mean-based incomplete pairwise comparisons method with the reference values" in het Nederlands.

Titel: Gemiddelde-gebaseerde methode voor incompleet paarsgewijze vergelijken met referentiewaarden

Auteurs: Konrad Kułakowski, Anna Kędzior, Jacek Szybowski, Jiri Mazurek
Publicatie: arXiv:2207.10783v2 (5 maart 2026)

---

1. Probleemstelling

In de Multi-Criteria Besluitvorming (MCDM), en specifiek binnen de Analytic Hierarchy Process (AHP), is het vaak nodig om prioriteiten (gewichten) te bepalen voor een reeks alternatieven op basis van paarsgewijze vergelijkingen. Traditionele methoden zoals de Eigenwaarde-methode (EVM) en de Geometrisch Gemiddelde-methode (GMM) vereisen doorgaans een volledige set van vergelijkingen ($n(n-1)/2$).

In de praktijk is het echter vaak onpraktisch of onmogelijk om alle mogelijke paren te vergelijken, wat leidt tot incomplete paarsgewijze vergelijkingenmatrijzen. Daarnaast bestaan er methoden die gebruikmaken van referentiewaarden (alternatieven waarvan de prioriteit al bekend is, bijvoorbeeld op basis van historische data of vaste standaarden).

Het centrale probleem dat dit artikel aanpakt, is het ontwikkelen van kwantitatieve methoden om gewichtsvectoren te berekenen voor incomplete matrijzen, waarbij tegelijkertijd gebruik wordt gemaakt van bekende referentiewaarden. Bestaande methoden voor incomplete data of referentiewaarden worden vaak niet gecombineerd of missen wiskundige garanties voor de oplossing.

2. Methodologie

De auteurs stellen twee nieuwe methoden voor, die extensies zijn van de bestaande Heuristic Rating Estimation (HRE) methoden:

1. Arithmetic Incomplete HRE (aiHRE):

   • Principe: De prioriteit van een alternatief wordt benaderd als het arithmetic mean (gewogen gemiddelde) van de prioriteiten van andere alternatieven, vermenigvuldigd met de vergelijkingswaarden.
   • Aanpak: Voor ontbrekende vergelijkingen ($c_{ij} = ?$) wordt aangenomen dat deze consistent zijn met het uiteindelijke resultaat ($c_{ij} = w(a_i)/w(a_j)$). Dit leidt tot een stelsel lineaire vergelijkingen van de vorm $Cw = b$, waarbij $w$ de onbekende gewichten zijn en $b$ afhangt van de bekende referentiewaarden.
   • Oplossing: De oplossing wordt gevonden door dit lineaire stelsel op te lossen.

2. Geometric Incomplete HRE (giHRE):

   • Principe: De prioriteit wordt benaderd als het geometrisch gemiddelde van de vergelijkingen.
   • Aanpak: Door logaritmische transformatie wordt het niet-lineaire stelsel omgezet in een lineair stelsel in de logaritmische ruimte ($\hat{C}\hat{w} = \hat{b}$).
   • Oplossing: Na het oplossen voor de logaritmische gewichten, worden deze teruggetransformeerd naar de lineaire ruimte via exponentiële transformatie.

Kernaanname: De set alternatieven $A$ wordt verdeeld in $A_U$ (onbekende prioriteiten) en $A_K$ (bekende referentie-alternatieven). De methode berekent alleen de gewichten voor $A_U$ op basis van de vergelijkingen met elkaar en met $A_K$.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Wiskundige Garanties voor Existentie:

  • Voor de geometrische methode (giHRE) bewijzen de auteurs dat er onder zeer natuurlijke voorwaarden (irreducibiliteit van de vergelijkingen en ten minste één directe vergelijking tussen een onbekend en een referentie-alternatief) altijd een unieke, reële en positieve oplossing bestaat.
  • Voor de aritmische methode (aiHRE) worden voldoende voorwaarden geformuleerd (gerelateerd aan diagonale dominantie van de matrix) waaronder een oplossing bestaat. De auteurs tonen aan dat een oplossing niet altijd gegarandeerd is, maar dat de methode wel kan worden geformuleerd als een optimalisatieprobleem als de algebraïsche oplossing faalt.

• Optimaliteit van de Geometrische Methode:

  • Het artikel bewijst dat de giHRE methode optimaal is in de zin dat de berekende gewichtsvector de kwadratische foutfunctie (least squares error) minimaliseert voor de beschikbare (incomplete) data. Dit is een directe extensie van de optimaliteits-eigenschap van de standaard GMM-methode.

• Flexibiliteit en Integratie:

  • De methoden staan de beslisnemer toe om het aantal referentie-alternatieven en het aantal te maken vergelijkingen vrij te kiezen (van het minimum $n-1$ tot een volledige set).
  • De methoden integreren naadloos met de hiërarchische structuur van AHP, waardoor ze toepasbaar zijn in complexe besluitvormingsmodellen.

4. Resultaten en Numerieke Voorbeelden

De auteurs illustreren de methoden met twee numerieke voorbeelden:

1. Advertentiecampagne: Het rangschikken van nieuwe ontwerpen (onbekend) op basis van vergelijkingen met bestaande ontwerpen (bekende winstgevendheid).
2. Festelijke maaltijd: Het kiezen van voorgerechten waarbij gasten niet alle combinaties kunnen vergelijken, maar wel vergelijkingen kunnen maken met twee bekende opties (soep en kaasplank).

Vergelijking van resultaten:

• In consistente matrijzen leveren zowel aiHRE als giHRE identieke resultaten op.
• In inconsistente matrijzen (waarbij meningsverschillen bestaan) kunnen de resultaten verschillen:
  • aiHRE neigt naar het rekenkundig gemiddelde van de schattingen. Dit is intuïtief als men ervan uitgaat dat alle oordelen even waarschijnlijk zijn.
  • giHRE neigt naar het geometrisch gemiddelde. Dit straft extreme afwijkingen (pessimistische of optimistische schattingen) sterker af en is theoretisch onderbouwd door optimaliteit.
• De auteurs concluderen dat de keuze tussen de methoden afhangt van de context: schatting van specifieke waarden (aiHRE) versus rangschikking en optimalisatie (giHRE).

5. Betekenis en Conclusie

Dit artikel is significant voor het veld van Multi-Criteria Besluitvorming omdat het:

1. De last van data-inzameling verlaagt door het toestaan van incomplete vergelijkingen zonder verlies van nauwkeurigheid.
2. Een theoretisch onderbouwde brug slaat tussen referentie-gebaseerde methoden (zoals TOPSIS of BWM) en paarsgewijze vergelijkingen (AHP/HRE).
3. Robuustheid biedt door te bewijzen dat de geometrische variant altijd een oplossing vindt en deze optimaal is.
4. Praktische toepasbaarheid biedt voor decision-makers die te maken hebben met beperkte tijd of expertise om alle paren te vergelijken, maar wel gebruik kunnen maken van bekende benchmarks.

De voorgestelde giHRE wordt aanbevolen als de voorkeursmethode vanwege de gegarandeerde existentie van een oplossing en de optimaliteits-eigenschappen, terwijl aiHRE nuttig blijft voor situaties waar een intuïtief rekenkundig gemiddelde gewenst is.