Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

Dit artikel presenteert een nieuwe methode voor het implementeren van niet-unitaire Jastrow-Gutzwiller-operatoren op quantumcomputers met behulp van het cascaded variational quantum eigensolver-algoritme, wat experimenteel wordt aangetoond op een IBM Q Lagos-apparaat voor een Hubbard-model.

De kern

Stel je voor dat je probeert het perfecte recept te vinden voor een complex gerecht, zoals een soufflé. Je kent de basisingredienten (de atomen), maar het geheim van een geweldige soufflé schuilt in hoe die ingredienten tijdens het bakken met elkaar interageren. Als je die interacties negeert, wordt je gerecht plat en smaakloos.

In de wereld van de kwantumfysica proberen wetenschappers het "perfecte recept" te vinden voor de laagste energietoestand van een systeem (zoals elektronen in een materiaal). Dit wordt de "grondtoestand" genoemd.

Hier volgt een eenvoudige uiteenzetting van wat dit artikel doet, met behulp van alledaagse analogieën:

1. Het Probleem: De "Niet-unitaire" Chef

Kwantumcomputers zijn als ongelooflijk snelle, maar zeer fragiele chefs. Ze kunnen een enorm aantal mogelijkheden (Hilbertruimten) verkennen die klassieke computers niet aankunnen. Er is echter een addertje onder het gras.

Om het beste recept te krijgen, willen wetenschappers een speciaal gereedschap gebruiken dat de Jastrow-Gutzwiller-operator heet. Stel je dit gereedschap voor als een "smaakversterker" die complexe, multi-ingredienten interacties aan de mix toevoegt.

• Het Probleem: Deze smaakversterker is "niet-unitair". In kwantumtaal betekent dit dat het een receptstap is die de regels van de keuken breekt. Je kunt niet zomaar op een knop op een standaard kwantumcomputer drukken om dit te doen; het is alsof je probeert een taart te bakken door deze eerst on-bakken. Het is wiskundig moeilijk om dit direct te implementeren.

2. De Oplossing: De "Gekaskadeerde" Assemblagelijn

De auteurs stellen een nieuwe manier voor om dit gereedschap te gebruiken, genaamd de Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE).

In plaats van te proberen de kwantumcomputer de onmogelijke "niet-unitaire" stap in één keer te laten uitvoeren, breken ze het proces op in twee delen, zoals een assemblagelijn:

• Deel A (De Unitaire Chef): De kwantumcomputer doet de standaard, regels-gevolgende kookkunst. Het herschikt de ingredienten in een goede beginvorm (met behulp van iets dat een "Thouless-operator" wordt genoemd).
• Deel B (De Smaakversterker): De "niet-unitaire" smaakversterker (de Jastrow-Gutzwiller-operator) wordt op een andere manier behandeld. In plaats van te proberen dit in de kwantumkringloop te bakken, verplaatsen de auteurs het zware werk van dit specifieke deel naar een klassieke computer (een gewone laptop).

De Analogie: Stel je voor dat je een huis bouwt. De kwantumcomputer is de robotarm die de bakstenen perfect legt. De "smaakversterker" is de verf en het behang. In plaats van te proberen de robotarm te laten schilderen terwijl hij bakstenen legt (wat hij niet goed kan), legt de robot de bakstenen, en komt vervolgens een menselijke schilder (de klassieke computer) binnen om de verf aan te brengen op basis van de metingen die de robot heeft gedaan. Ze werken samen in een lus om het perfecte huis te krijgen.

3. De Test: Het "Hubbard-model"

Om te bewijzen dat dit werkt, testte het team hun methode op een beroemd natuurkundig raadsel dat het Hubbard-model heet.

• Wat is het? Stel je een rooster van kleine eilanden (sites) voor waar elektronen (de gasten) kunnen springen. Soms proberen twee gasten op hetzelfde eiland te zitten, wat een "drukte"-probleem (interactie) veroorzaakt.
• De Opzet: Ze testten dit op twee vormen: een vierkant en een driehoek, elk met vier plekken.
• Het Doel: Ze wilden de laagste energietoestand vinden voor deze elektronen, specifiek wanneer het rooster "halfvol" is (twee gasten op vier plekken).

4. De Resultaten: Echte Hardware versus Simulatie

Ze voerden hun experiment uit op een echte kwantumcomputer genaamd IBM Q Lagos (die 7 qubits, of "kwantumbits", heeft).

• De Uitdaging: Echte kwantumcomputers zijn luidruchtig. Het is alsof je probeert een fluistering te horen in een windige kamer. De data die ze kregen was "luidruchtig", wat betekent dat de resultaten niet perfect scherp waren.
• De Truc: Om de resultaten duidelijker te maken, gebruikten ze een slimme afkorting. Omdat elektronen "spin" hebben (omhoog of omlaag), lieten ze de kwantumcomputer alleen draaien voor de "spin-up" elektronen en simuleerden ze de "spin-down" elektronen op een klassieke computer. Dit halveerde het aantal benodigde kwantumbits en verminderde het ruis aanzienlijk.
• Het Resultaat:
  • Hun methode (de groene en oranje lijnen in hun grafieken) kwam zeer dicht bij het "exacte" antwoord (de rode gestippelde lijn), wat je zou krijgen als je de wiskunde perfect zou kunnen oplossen op een supercomputer.
  • Zelfs met de ruis van de echte machine, werkte hun aanpak beter dan gewoon gokken.
  • Ze toonden aan dat door het complexe "smaakversterker"-deel naar de klassieke computer te verplaatsen, ze accurate resultaten konden krijgen zonder extra, ingewikkelde kwantumhardware nodig te hebben.

Samenvatting

Het artikel demonstreert een nieuwe manier om een kwantumcomputer te leren omgaan met complexe interacties tussen deeltjes. In plaats van de kwantumcomputer te dwingen een wiskundig verboden zet te doen, splitsen ze de taak op: de kwantumcomputer doet de fysieke herschikking, en een gewone computer behandelt de complexe correlatiemath. Ze bewezen dat dit werkt op een echte, luidruchtige machine door een raadsel over elektronen op een klein rooster op te lossen, en kregen resultaten die verrassend dicht bij het perfecte theoretische antwoord lagen.

Technische samenvatting

Technische Samenvatting: Implementatie van Jastrow–Gutzwiller-operators op een kwantumcomputer met behulp van de Cascaded Variational Quantum Eigensolver

Probleemstelling
Kwantumcomputers bieden de potentie om toegang te krijgen tot exponentieel grote Hilbertruimten om de grondtoestanden van kwantumsystemen te bepalen, een taak die voor klassieke computers vaak onberekenbaar is. Hoewel variatiealgoritmen zoals de Variational Quantum Eigensolver (VQE) veelbelovend zijn voor apparaten op korte termijn vanwege hun korte circuits diepte, zijn ze sterk afhankelijk van de keuze van een ansatz. Een krachtige aanpak om variatiestoestanden te verbeteren, is het gebruik van Jastrow–Gutzwiller-operators, die veeldeeltjescorrelaties (specifiek dichtheids-dichtheidscorrelaties en beperkingen op dubbel bezette orbitalen) toevoegen aan een proeftoestand. De Jastrow–Gutzwiller-operator is echter niet-unitair. Deze niet-unitariteit vormt een aanzienlijke uitdaging voor directe implementatie op kwantumcomputers, die inherent werken via unitaire evolutie. Bestaande methoden vereisen vaak hulp-qubits of benaderingen om deze niet-unitariteit te hanteren, wat de circuits diepte en complexiteit kan vergroten tot buiten de mogelijkheden van huidige hardware.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuwe implementatie van de Jastrow–Gutzwiller-operator voor met behulp van het Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE) algoritme. De kern van hun methode is een ansatz van de vorm $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, waarbij:

• $\hat{U}$ een unitaire Thouless-operator is die een basisverandering uitvoert in de één-lichaams Hilbertruimte (bijvoorbeeld het transformeren van een Fock-toestand in een Fermi-zee).
• $\hat{G}(\theta)$ de niet-unitaire Jastrow–Gutzwiller-operator is, gedefinieerd als $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, waarbij $\hat{n}_q$ bezettingsgetaloperators zijn en $\theta_{qq'}$ variatieparameters.

De kerninnovatie ligt in hoe de verwachtingswaarde van de energie, $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$, wordt berekend. Omdat $\hat{G}(\theta)$ diagonaal is in de basis van bezettingsgetallen, tonen de auteurs aan dat de exponentiële termen in het operatorproduct klassiek kunnen worden geëvalueerd op basis van meetuitkomsten, in plaats van dat de expansie van de exponentiële term tot een som van Pauli-strings op de kwantumcomputer vereist is.

De procedure omvat:

1. Toestandsvoorbereiding: Het voorbereiden van een initiële toestand $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ met behulp van een kwantumcircuit bestaande uit elementaire één- en twee-qubit-poorten die zijn afgeleid uit de decompositie van de unitaire operator $\hat{f}$.
2. Meting: Het meten van het systeem in de computationele basis (of een geroteerde basis voor kinetische termen) om bezettingsgetallen te verkrijgen.
3. Klassieke nabewerking: Het gebruik van de gemeten bezettingsgetallen om de diagonale exponentiële factoren van $\hat{G}(\theta)$ en $\hat{G}^2(\theta)$ klassiek te evalueren. Dit voorkomt de noodzaak van extra qubits of diepe circuits om de niet-unitaire operator te simuleren.
4. Optimalisatie: Het klassiek variëren van de parameters $\theta$ om de verwachtingswaarde van de energie te minimaliseren.

Belangrijkste Bijdragen

• Implementatie van niet-unitaire operators: Het artikel presenteert een methode om niet-unitaire Jastrow–Gutzwiller-operators op kwantumhardware te implementeren zonder hulp-qubits toe te voegen of de operator te benaderen, gebruikmakend van het CVQE-raamwerk.
• Efficiënt meetschema: Door het probleem zodanig te mappen dat bezettingsgetaloperators diagonaal blijven, tonen de auteurs aan dat de exponentiële termen direct in de energieberekening kunnen worden ingevoegd op basis van meetresultaten, wat de meetoverhead aanzienlijk verlaagt in vergelijking met het uitbreiden van de operator tot Pauli-strings.
• Ontkoppeling van spin-soorten: De methode maakt het mogelijk om het circuit voor slechts één spin-soort op de kwantumcomputer te evalueren, terwijl de andere soort klassiek wordt verwerkt. Dit halveert effectief het aantal benodigde qubits voor de demonstratie.
• Experimentele demonstratie: De methode wordt gedemonstreerd op de IBM Q Lagos kwantumprocessor (een apparaat met 7 qubits) voor een Hubbard-model op vier plaatsen op zowel vierkante als driehoekige roosters met periodieke randvoorwaarden bij halfvulling.

Resultaten
De auteurs hebben hun methode toegepast op het Hubbard-model met kinetische energieparameter $k$ en interactiestrkte $d$.

• Energie-minimalisatie: Ze hebben de verwachtingswaarde van de energie $E(\theta)$ met succes geminimaliseerd met betrekking tot de Gutzwiller-parameter $\theta$.
• Vergelijking: De resultaten zijn vergeleken met exacte diagonalisatie (de exacte grondtoestandsenergie) en ruisvrije klassieke simulaties van hun methode.
• Ruisanalyse:
  • Bij het uitvoeren van de volledige berekening (zowel spin-up als spin-down elektronen) op het kwantumapparaat introduceerde ruis fouten in de verwachtingswaarden van de energie.
  • Bij het uitvoeren van slechts één spin-soort op het kwantumapparaat (met de andere klassiek gesimuleerd), werd de fout aanzienlijk verminderd.
  • De fout in de verwachtingswaarde van de energie bleef relatief constant als functie van de interactiestrkte $d$, en in sommige gevallen nam deze licht af naarmate $d$ naar $k$ toe naderde.
• Optimalisatie: De optimale parameter $\theta^*$ werd gevonden door het minimum van de energiekromme te lokaliseren, en de resulterende geoptimaliseerde energieën volgden de exacte grondtoestandsenergie nauwkeurig, met name in de configuratie met één spin-soort.

Betekenis en Beweringen
Het artikel beweert dat deze aanpak de implementatie van de Jastrow–Gutzwiller-ansatz op kwantumhardware op korte termijn mogelijk maakt zonder de resource-overhead van hulp-qubits of de benaderingsfouten die geassocieerd zijn met andere implementaties van niet-unitaire operators. Door de evaluatie van de niet-unitaire exponentiële factoren naar de klassieke computer te verplaatsen, ontkoppelt de methode de optimalisatie van variatieparameters van de noodzaak om kwantumcircuits voor elke parameterupdate opnieuw uit te voeren. Bovendien verlaagt de mogelijkheid om slechts één spin-soort op het kwantumapparaat te simuleren terwijl de andere klassiek wordt verwerkt, de vereiste qubitaantal met de helft, waardoor de aanpak haalbaarder wordt voor huidige apparaten met beperkte connectiviteit en coherentietijden. De demonstratie op het IBM Q Lagos-apparaat valideert de haalbaarheid van deze "cascade"-aanpak voor fermionische systemen, specifiek het Hubbard-model, en biedt een weg om sterke correlatie-effecten op te nemen in variatiekwantumalgoritmen.