Forecasting with Feedback

Voorspellen met een spiegel: Waarom slimme voorspellers soms "fout" lijken

Stel je voor dat je een epidemioloog bent die het aantal nieuwe besmettingen tijdens een uitbraak volgende maand moet voorspellen. Als je een hoog aantal voorspelt, veranderen mensen hun gedrag: ze blijven thuis, dragen maskers en vermijden drukte. Die reacties zorgen er daadwerkelijk voor dat het werkelijke aantal besmettingen lager uitvalt dan je voorspelling. Als je juist een laag aantal voorspelt, gaan mensen zich minder beschermen en stijgt het aantal besmettingen hoger dan anders het geval zou zijn geweest. De uitkomst van wat je voorspelt (het aantal gevallen) wordt dus mede bepaald door de acties die je voorspelling zelf teweegbrengt.

Normaal gesproken denken we dat voorspellingen gewoon gokken zijn over de toekomst (zoals bij het weer). Als een weerman zegt dat het gaat regenen, en het regent, was hij goed. Als het zonnig is, was hij fout. De beslissingen die mensen nemen op basis van jouw voorspelling (zoals een paraplu meenemen) veranderen het weer niet. Dat is een voorspelling zonder feedback.

Maar wat als je voorspelling de toekomst zelf verandert?

In dit paper beschrijven de auteurs een heel ander spel. Het gaat over situaties waar een voorspelling direct leidt tot een actie, en die actie weer het resultaat beïnvloedt. Denk aan een centrale bank die rentevoorspellingen gebruikt om de rente te bepalen. Als de bank denkt dat de inflatie te hoog wordt, verhoogt ze de rente. Die hogere rente zorgt er vervolgens voor dat de inflatie daalt. De voorspelling heeft de uitkomst dus zelf gecorrigeerd.

De auteurs noemen dit voorspellen met feedback. En hier komt het verrassende deel: in zo'n wereld kan het voor een slimme, rationele voorspeller eigenlijk slimmer zijn om een voorspelling te doen die niet 100% accuraat is, maar wel een beetje "scheef".

De Analogie: De Dansende Voorspeller

Laten we dit uitleggen met een analogie uit het dagelijks leven: De Dansende Voorspeller.

Stel je voor dat je een dansleraar bent (de voorspeller) en je hebt een leerling (de beleidsmaker). De leerling is een beetje onzeker en reageert soms te heftig, soms te weinig op wat je zegt.

Het probleem: Je ziet dat de leerling morgen een moeilijke danspas moet maken. Als je zegt: "Je gaat struikelen!", reageert de leerling paniek en valt hij echt. Als je zegt: "Je gaat perfect dansen!", wordt hij zelfverzekerd en lukt het misschien wel.
De onzekerheid: Het probleem is dat je niet precies weet hoe de leerling morgen in zijn of haar vel zit. Soms is hij heel gevoelig (reageert heftig), soms is hij juist stoïcijns. Je weet alleen dat hij gemiddeld zo reageert.
De strategie: Als je een perfecte, eerlijke voorspelling doet ("Je hebt 50% kans om te struikelen"), en de leerling reageert daarop, kan die reactie juist zorgen voor chaos.
- Om de dans rustig te houden, besluit jij als leraar om je voorspelling een beetje te "flauw" te maken. Je zegt: "Het wordt wel een beetje lastig, maar niet zo erg als je denkt."
- Door je voorspelling minder scherp te maken, voorkom je dat de leerling in paniek raakt of juist te roekeloos wordt. Je "verwijdert" een beetje van de informatie om de reactie van de leerling te kalmeren.

Het resultaat: Je voorspelling is nu niet meer 100% eerlijk over de echte kans van struikelen. Het is een beetje "bevooroordeeld" (biased). Maar paradoxaal genoeg is dit de slimste manier om de totale chaos (de fouten) te minimaliseren. Je ruilt een beetje nauwkeurigheid in voor een rustigere dans.

Wat zegt dit paper precies?

De auteurs, Robert Lieli en Augusto Nieto-Barthaburu, hebben een wiskundig model gemaakt dat precies dit gedrag beschrijft. Hier zijn de belangrijkste punten in gewone taal:

Het is niet domheid: Vaak denken economen dat als voorspellingen systematisch fout zijn (bijvoorbeeld altijd te optimistisch of te pessimistisch), de voorspeller wel "irrationeel" moet zijn of een rare voorkeur heeft voor bepaalde fouten. Dit paper zegt: "Nee, niet per se."
Het is een strategie: Als een voorspeller weet dat zijn voorspelling een reactie uitlokt (zoals renteverhogingen), en hij weet niet precies hoe sterk die reactie zal zijn, dan kiest hij bewust voor een voorspelling die minder scherp is. Hij doet dit om de "trillingen" in het systeem te verminderen.
De "Mincer-Zarnowitz" test faalt: In de econometrie gebruiken experts een speciale test (een grafiek) om te kijken of voorspellers slim zijn. Als de grafiek een rechte lijn is met een helling van 1, dan is de voorspeller perfect.
- Volgens dit paper: Als er feedback is, zal die grafiek er nooit zo uitzien. De lijn kan plat zijn, zelfs negatief! Als je dat ziet, denk je misschien: "Die voorspeller is gek." Maar volgens dit model is hij juist heel slim bezig met het managen van onzekerheid.

Waarom is dit belangrijk? (Het voorbeeld van de Fed)

De auteurs kijken naar de voorspellingen van de Amerikaanse Centrale Bank (de Fed). Die bank maakt voorspellingen over inflatie. Maar die voorspellingen worden gebruikt om de rente te bepalen, wat de inflatie weer beïnvloedt.

Als je kijkt naar de geschiedenis van deze voorspellingen, zie je vreemde patronen:

Soms zijn ze jarenlang te optimistisch, dan plotseling te pessimistisch.
De relatie tussen hun voorspelling en de werkelijkheid verandert drastisch (soms lijkt het alsof ze het tegenovergestelde voorspellen van wat er gebeurt).

De traditionele verklaring is: "De Fed is niet rationeel" of "Ze hebben een vreemde voorkeur."
De verklaring van dit paper is: Het is de feedback. Omdat de Fed niet precies weet hoe haar eigen reactie (de rente) de economie zal beïnvloeden, "dempt" ze haar eigen voorspellingen. Ze maakt ze minder scherp om de economie niet onnodig te laten schokken.

De conclusie in één zin

Als je voorspelling de toekomst verandert, en je weet niet precies hoe die verandering uitpakt, dan is de slimste strategie om je voorspelling een beetje "op te rekken" of "in te korten". Dat ziet er voor een buitenstaander misschien uit als een fout, maar in werkelijkheid is het de meest rationele manier om de totale schade te beperken.

Kortom: Soms is het slimmer om een beetje liegen (of beter gezegd: "niet volledig eerlijk zijn") dan om de wereld in paniek te brengen met een te scherpe, te accurate voorspelling.

Titel: Forecasting with Feedback (Voorspellen met Feedback)

Auteurs: Robert P. Lieli en Augusto Nieto-Barthaburu
Datum: April 2026

1. Probleemstelling

Traditioneel worden systematisch vertekende (biased) voorspellingen in de economische literatuur geïnterpreteerd als bewijs van twee dingen:

Irrationaliteit van de voorspellers.
Asymmetrische kostenfuncties (waarbij onder- of overschatting verschillende kosten met zich meebrengt).

De auteurs stellen echter een alternatieve verklaring voor: voorspellingsfeedback. In veel realistische scenario's (zoals inflatievoorspellingen van centrale banken) beïnvloeden de voorspellingen het beleid, en dit beleid beïnvloedt op zijn beurt weer de realisatie van de te voorspellen variabele.

Het centrale probleem is dat als een voorspeller weet dat zijn voorspelling beleidsacties zal triggeren die de uitkomst veranderen, en er bovendien onzekerheid bestaat over hoe sterk die beleidsreactie zal zijn, de optimale voorspelling systematisch vertekend kan zijn, zelfs onder de aanname van een kwadratische kostenfunctie (waarbij onder- en overschatting even zwaar wegen).

2. Methodologie en Modelopzet

De auteurs modelleren de interactie tussen een voorspeller (de "sender") en een beslissingsnemer (DM, de "receiver") als een strategisch spel.

De Modelstructuur:

De Uitkomst: De gerealiseerde uitkomst $y_{t+1}$ wordt bepaald door de economische staat $\theta_t$ , de beleidsactie $a_t$ , en een ruisterm $\epsilon_{t+1}$ :
$y_{t+1} = \theta_t + a_t + \epsilon_{t+1}$
De Voorspeller: Heeft toegang tot private informatie (de staat $\theta_t$ ) en publiceert een voorspelling $f_t$ . De voorspeller minimaliseert de verwachte kwadratische fout (MSE).
De Beslissingsnemer (DM): Reageert op de voorspelling via een reactiefunctie (vergelijkbaar met een Taylor-regel):
$a^*(f_t) = x_t (y^T - E[\theta_t | f_t])$
Hierbij is $y^T$ een gemeenschappelijke doelwaarde en is $x_t$ een "sterkte-parameter" die bepaalt hoe agressief de DM reageert.
Onzekerheid: De parameter $x_t$ is private informatie van de DM en wordt door de voorspeller niet exact gekend, maar volgt wel een bekende verdeling met gemiddelde $\mu$ en variantie $\tau^2$ . Deze onzekerheid is cruciaal voor de resultaten.

Het Mechanisme:
De voorspeller moet anticiperen op de reactie van de DM. Omdat de voorspelling de uitkomst beïnvloedt via de DM, en de DM onzekerheid heeft over de sterkte van de reactie ( $x_t$ ), ontstaat er een bias-variatie trade-off:

Als de voorspeller een zuivere, onbevooroordeelde voorspelling doet (gericht op de verwachte uitkomst), kan dit leiden tot een hoge variabiliteit in de uitkomst als de DM onvoorspelbaar reageert.
Om de totale kwadratische fout te minimaliseren, kiest de voorspeller ervoor om de voorspelling minder gevoelig te maken voor zijn private informatie (de staat $\theta_t$ ). Dit "afzwakken" (attenuation) reduceert de volatiliteit van de uitkomst, maar introduceert een systematische vertekening (bias).

3. Belangrijkste Resultaten

A. Optimaliteit van Vertrekking (Bias) onder Kwantitatieve Kosten
Onder de aanname van een kwadratische kostenfunctie (normaal gesproken synoniem met onbevooroordeelde voorspellingen) is de optimale voorspelling bevooroordeeld zolang er onzekerheid is over de beleidsreactie ( $\tau^2 > 0$ ).

De voorspeller "trekt" de voorspelling naar de doelwaarde $y^T$ toe om de volatiliteit van de beleidsreactie te dempen.
Als de onzekerheid verdwijnt ( $\tau^2 \to 0$ ), verdwijnt de bias en wordt de voorspelling weer onbevooroordeeld.

B. Mincer-Zarnowitz (MZ) Regressie Eigenschappen
De auteurs analyseren de statistische relatie tussen de voorspelling en de realisatie via de Mincer-Zarnowitz regressie ( $y_{t+1} = \alpha + \beta f_t + \text{error}$ ).

Intercept ( $\alpha$ ): Is verschillend van nul.
Slope ( $\beta$ ): Is verschillend van één.
Kritieke bevinding: De helling $\beta$ kan sterk variëren, afhankelijk van de gemiddelde beleidsagressiviteit ( $\mu$ ) en de onzekerheid ( $\tau^2$ ). De helling kan negatief zijn, dicht bij nul liggen, of zelfs groter dan één. Dit verklaart waarom empirische tests vaak "irrationeel" gedrag concluderen, terwijl het gedrag in feite rationeel is binnen dit feedback-kader.

C. Evenwichtsanalyse (Equilibrium)
Het model lost een lineair Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) op waarin de DM correcte verwachtingen heeft over hoe de voorspeller zijn informatie gebruikt.

Het evenwicht bestaat alleen als de onzekerheid onder een bepaalde drempel ligt ( $\tau^2 \leq 1/4$ ).
In dit evenwicht is de voorspelling een volledig onthullend signaal (separating equilibrium), maar de statistische eigenschappen (bias en MZ-slope) blijven afwijken van de standaardtheorie zonder feedback.
De bias wisselt van teken: als de economische staat boven de doelwaarde ligt, ondervoorspelt de voorspeller; ligt hij eronder, dan overvoorspelt hij. Dit leidt tot een "gravitatie" naar de doelwaarde.

4. Empirische Motivatie

De auteurs illustreren hun theorie met data van de Greenbook-inflatievoorspellingen (van het Federal Reserve Board).

Observatie 1: Deze voorspellingen tonen systematische bias die van teken wisselt over de tijd.
Observatie 2: De MZ-regressieslope voor deze voorspellingen is drastisch veranderd door de jaren heen (van ~1 naar negatief waarden, en terug naar 0).
Conclusie: Traditionele tests zouden dit interpreteren als falende rationaliteit of veranderende kostenfuncties. Het model van de auteurs suggereert dat deze patronen het natuurlijke resultaat zijn van de interactie tussen voorspellingen en monetair beleid, gecombineerd met onzekerheid over hoe het beleid precies zal worden uitgevoerd.

5. Bijdrage en Significatie

Theoretische Bijdrage:

Het is de eerste formele behandeling van de statistische eigenschappen van voorspellingen in een omgeving met strategische feedback.
Het toont aan dat de kostenfunctie van de voorspeller niet langer voldoende is om de eigenschappen van optimale voorspellingen te karakteriseren; de reactiefunctie van de beslissingsnemer is even cruciaal.
Het introduceert een nieuw mechanisme voor bias: de bias-variatie trade-off veroorzaakt door feedback-onzekerheid, onafhankelijk van asymmetrische kosten.

Praktische Significatie:

Herinterpretatie van Rationaliteitstests: Veel studies die voorspellers als "irrationeel" bestempelen op basis van MZ-regressies (waarbij intercept $\neq 0$ of slope $\neq 1$ ), moeten hun conclusies heroverwegen. Het kan zijn dat de voorspellers optimaal reageren op een feedback-mechanisme.
Beleidsevaluatie: Voor beleidsmakers is het belangrijk te beseffen dat het publiceren van voorspellingen de uitkomst verandert. De "optimale" voorspelling is niet noodzakelijk de meest accurate voorspelling van de toekomstige uitkomst zonder ingrijpen, maar een strategisch aangepaste voorspelling die rekening houdt met de eigen impact.
Methodologische Waarschuwing: Tests op voorspellingsefficiëntie moeten expliciet aannemen dat er geen feedback is, of een mechanisme moeten specificeren dat deze feedback kwantificeert, anders leiden ze tot verkeerde conclusies over de kwaliteit van de voorspellers.

Kortom, het paper biedt een krachtig wiskundig kader om te begrijpen waarom "rationele" voorspellers in interactieve omgevingen systematisch vertekende voorspellingen doen die er op het eerste gezicht irrationeel uitzien.