Physics-based modelling of wind-turbine wakes turbulence in neutral atmospheric boundary layers

Deze paper presenteert een nieuw, op de fysica gebaseerd model voor de turbulentie-intensiteit in windturbine-wakes dat, in tegenstelling tot bestaande empirische benaderingen, rekening houdt met de driedimensionale aard van de stroming en sterke overeenkomst toont met LES-simulaties en windtunnelmetingen.

De kern

Hoe een windturbine de lucht "verstoort": Een simpele uitleg van een complexe wiskundige ontdekking

Stel je voor dat je in een rustig meer roeit. Als je roeit, maak je een kielwater (een spoor van water) achter je boot. Dat water is niet meer rustig; het golft en draait. Nu, vermenigvuldig dat met een enorme windmolen. Die staat niet in een meer, maar in de lucht. En net als in het water, maakt die windmolen een "spoor" achter zich aan: een wake (in het Nederlands: een wake of stroomturbulentie).

In dit spoor is de wind minder sterk (dat is de snelheidsdaling) en is de lucht veel onrustiger (dat is de turbulentie). Voor andere windmolens die achter die eerste staan, is dit een probleem: ze vangen minder wind en de trillingen kunnen ze beschadigen.

De wetenschappers in dit paper hebben een nieuwe manier bedacht om precies te voorspellen hoe dat onrustige spoor eruitziet. Hier is hoe ze dat deden, vertaald naar alledaagse taal:

1. Het probleem: De oude kaarten waren onvolledig

Vroeger hadden ingenieurs twee soorten kaarten om windmolens te plotten:

• Kaart A: Hoeveel wind er mist in het spoor (snelheidsverlies). Dit was goed uitgewerkt.
• Kaart B: Hoe onrustig de lucht is in dat spoor (turbulentie). Dit was vaak een gokje of een simpele schatting.

Het probleem? De lucht is niet symmetrisch. Net als bij een boot die door een stroming vaart, is het spoor van een windmolen niet perfect rond. Het is vaak hoger of lager, afhankelijk van hoe de grond eronder zit (zee vs. bos) en hoe de wind zelf al bewoog. De oude "gok-kaarten" zagen dit niet en dachten dat het spoor altijd rond was. Dat leidde tot fouten in de berekening van hoeveel stroom een windpark kan opwekken.

2. De oplossing: Een nieuwe, fysieke "recept"

De auteurs (Frédéric Blondel en zijn team) wilden geen gok meer doen. Ze wilden een recept dat gebaseerd is op de echte natuurwetten van de lucht.

Ze gebruikten een supercomputer om een virtueel windturbinepark te simuleren. Denk hierbij aan een gigantisch digitaal zwembad waar ze de luchtdeeltjes naaipten. Ze keken precies hoe de luchtdeeltjes zich gedroegen: waar ze versnelden, waar ze vertraagden en waar ze in kringen draaiden.

3. De analogie: Het koken van soep

Stel je voor dat je soep kookt (de wind) en je gooit er een grote lepel in (de windmolen).

• De oude methode: Ze keken alleen naar hoe de soep langzamer werd en dachten: "Oké, de turbulentie is gewoon evenveel als de snelheid die wegvalt."
• De nieuwe methode: Ze keken naar de energiebalans. Ze zagen dat de lepel (de turbine) energie toevoegt aan de soep, maar dat de soep die energie ook weer kwijtraakt door wrijving en door het verspreiden van de warmte.

Ze ontdekten drie belangrijke dingen in hun "soep":

1. Productie: De lepel roert de soep flink door elkaar (hoge turbulentie aan de randen van de lepel).
2. Verspreiding: Die onrust verspreidt zich langzaam naar de rustige soep eromheen.
3. Vermoeidheid: De soep probeert zichzelf weer rustig te maken (dissipatie).

4. Het resultaat: Een slimme formule

Op basis van deze observaties hebben ze een nieuwe formule bedacht. In plaats van te zeggen "de turbulentie is rond", zegt hun formule:
"De turbulentie hangt af van hoe hard de wind roert, hoe ruw de grond is, en hoe ver je achter de molen zit."

Ze hebben de formule zo simpel gemaakt dat ingenieurs hem makkelijk kunnen gebruiken om windparken te ontwerpen, zonder dat ze urenlang op een supercomputer hoeven te wachten.

5. De proef op de som: Werkt het in de echte wereld?

Ze hebben hun nieuwe formule getest tegen twee dingen:

1. De computer-simulaties: Het klopte perfect met hun eigen complexe berekeningen.
2. De windtunnel: Ze hebben hun formule vergeleken met echte metingen in een windtunnel (waar kleine modellen draaiden).

Het verdict: Hun nieuwe formule deed het veel beter dan de oude methoden, vooral in situaties waar de grond ruw is of de wind al onrustig was. Ze konden precies voorspellen waar de "gaten" in de wind zaten en waar de lucht trilde.

Waarom is dit belangrijk?

Stel je voor dat je een windpark bouwt op zee. Als je de turbulentie verkeerd inschat, kunnen de molens achterin te veel trillen en sneller kapot gaan, of ze produceren minder stroom dan gedacht.

Met deze nieuwe, "fysiek onderbouwde" methode kunnen we:

• Meer stroom halen: Door de molens op de perfecte afstand van elkaar te zetten.
• Minder kosten: Door de molens sterker te maken op de plekken waar de lucht echt onrustig is.
• Betrouwbare voorspellingen: Zonder te gokken, maar op basis van de echte natuurwetten van de lucht.

Kortom: Ze hebben een nieuwe, slimmere manier gevonden om te kijken naar het "spoor" van een windmolen, zodat we in de toekomst efficiënter en goedkoper schone energie kunnen opwekken.

Technische samenvatting

Probleemstelling

De huidige engineering-modellen voor windparken (analytische stromingsoplossers) vertrouwen doorgaans op twee submodellen: één voor het snelheidsdeficit en één voor de door de wake toegevoegde turbulentie-intensiteit. Hoewel modellering van het snelheidsdeficit veel aandacht heeft gekregen, zijn modellen voor wake-added turbulence (wake-toegevoegde turbulentie) vaak beperkt tot empirische benaderingen of gaan ze uit van axiale symmetrie.

Dit is een probleem omdat:

1. Windturbines opereren in een atmosferische grenslaag (ABL) met schuifstroming en turbulentie, wat leidt tot asymmetrische wake-vormen, vooral in verticale profielen.
2. Accurate schattingen van lokale turbulentie-intensiteit cruciaal zijn voor het voorspellen van stromingsinteracties en energieopbrengst.
3. Bestaande modellen vaak de driedimensionale aard van de turbulentie negeren of te veel afhankelijk zijn van numerieke integratie (wat rekenintensief is), waardoor ze minder geschikt zijn voor optimalisatie van windparklay-outs.

Methodologie

De auteurs hebben een nieuw, fysiek gebaseerd analytisch model ontwikkeld voor de turbulente kinetische energie (TKE) en de streamwise Reynolds-stress ($u'u'$) in de wake van windturbines. De aanpak omvat de volgende stappen:

1. Data Generatie (LES):

   • Er zijn Large Eddy Simulations (LES) uitgevoerd met de waLBerla-wind solver (gebaseerd op de Lattice Boltzmann Methode).
   • De simulaties omvatten een porieuze schijf (actuator disk) in neutrale atmosferische grenslagen met verschillende bodemruwheid (van glad tot ruw) en verschillende stuwkrachtcoëfficiënten ($C_T$).
   • De simulaties dekken zowel de nabije wake als de verre wake af.

2. Budgetanalyse en Vereenvoudiging:

   • De auteurs hebben de transportvergelijking voor TKE geanalyseerd om de dominante termen te identificeren (productie, advektie, transport en dissipatie).
   • Termen zoals viskeuze diffusie en drukfluctuaties werden verwaarloosbaar bevonden.
   • Op basis van deze analyse werd een vereenvoudigde partiële differentiaalvergelijking (PDE) afgeleid.

3. Analytische Afleiding:

   • Voor de verre wake werden aannames gebruikt (zoals zelfsimilariteit en asymptotisch gedrag van de turbulentviscositeit) om de PDE om te zetten in een expliciete, gesloten analytische formule.
   • Het model maakt gebruik van een "wake sensor" gebaseerd op snelheidsgradiënten om de turbulentviscositeit buiten de wake te beperken tot de omgevingswaarde.
   • Een dissipatietijdschaal ($\tau_{k,w}$) werd gemodelleerd als lineair afhankelijk van de stroomafwaartse afstand en de hoogte.

4. Extensie naar Reynolds-stress:

   • Dezelfde methodologie werd toegepast op de transportvergelijking voor de streamwise normale Reynolds-stress ($u'u'$), waarbij rekening werd gehouden met de druk-snelheidscorrelatie (pressure-strain correlation).

5. Validatie:

   • Het model werd gevalideerd tegen de LES-data en twee onafhankelijke windtunnel-datasets (Bastankhah & Porté-Agel en Stein & Kaltenbach) met verschillende turbulentie-intensiteiten.

Belangrijkste Bijdragen

• Eerste fysiek gebaseerd analytisch model: Dit is, naar weten van de auteurs, het eerste analytische model voor wake-toegevoegde turbulentie dat de asymmetrie veroorzaakt door de schuif in de inkomende grenslaag expliciet meeneemt, zonder te vertrouwen op puur empirische correcties.
• Driedimensionale structuur: Het model levert volledige 3D-profielen van TKE en $u'u'$, in plaats van alleen een representatieve waarde of axiaal symmetrische profielen.
• Rekenefficiëntie: Door een gesloten analytische vorm te bieden (in plaats van numerieke integratie van een PDE), is het model zeer geschikt voor snelle berekeningen in windpark-optimisatie en real-time controle.
• Koppeling met snelheidsdeficit: Het model is ontworpen om naadloos te werken met bestaande analytische snelheidsdeficit-modellen (zoals het super-Gaussian model).

Resultaten

• Overeenkomst met LES: Het model toont sterke overeenkomst met de LES-data voor zowel gladde (SBL) als ruwe (RBL) grenslagen. Het vangt de overgang van een bimodale verdeling in de nabije wake naar een meer uniforme verdeling in de verre wake correct.
• Validatie met Windtunnel: Bij validatie met windtunnel-experimenten presteert het model beter dan bestaande empirische modellen (zoals het I&Q-model).
  • Het I&Q-model neigt tot het overschatten van turbulentie in ruwe omstandigheden en onderschat deze in de verticale profielen.
  • Het nieuwe model volgt de experimentele trends nauwkeurig, zowel in laterale als verticale richtingen, hoewel er in de zeer nabije wake ($x/D < 4$) enige overschatting optreedt (wat verwacht wordt gezien de aannames voor de verre wake).
• Robuustheid: Het model is robuust voor verschillende waarden van de stuwkrachtcoëfficiënt ($C_T$) en inkomende turbulentie-intensiteit ($I_x$).

Betekenis en Toekomstperspectief

Deze studie biedt een krachtig, voorspellend hulpmiddel voor de windenergiesector. Door de afhankelijkheid van empirische aanpassingen te verminderen en te bouwen op fundamentele stromingsmechanica, verbetert het de nauwkeurigheid van energieopbrengstprognoses en lay-outoptimalisatie van windparken.

Toekomstig werk richt zich op:

• Uitbreiding van het model naar schaal van hele windparken (farm-scale).
• Integratie van atmosferische stabiliteit (thermische stratificatie), wat momenteel is verwaarloosd voor de eenvoud, maar een grote invloed heeft op wake-gedrag.
• Verdere verfijning van de nabije-wake-modellering om de initiële overschatting te elimineren.

Kortom, dit werk vult een belangrijke lacune in de engineering-modellering op door een fysiek onderbouwd, computerefficiënt en 3D-capabel model voor wake-turbulentie te introduceren.