Using Physics Informed Neural Network (PINN) and Neural Network (NN) to Improve a $k-ω$ Turbulence Model

Dit artikel presenteert een verbeterde $k-\omega$-turbulentiemodel, genaamd $k-\omega$-PINN-NN, dat het tekortkomingen in de turbulente diffusie van het standaardmodel corrigeert door Physics Informed Neural Networks en Neural Networks te combineren, wat resulteert in nauwkeurigere voorspellingen van stromingsparameters in kanaalstroming en grenslaagstromingen.

De kern

Stel je voor dat je een zeer slimme, maar soms wat onnauwkeurige voorspeller hebt die probeert te begrijpen hoe water of lucht stroomt. In de wereld van de natuurkunde noemen we dit een turbulentiemodel. De auteur van dit artikel, Lars Davidson, heeft een probleem ontdekt met een populaire voorspeller genaamd de k-ω-model.

Deze voorspeller is heel goed in het voorspellen van de gemiddelde stroomsnelheid (hoe snel het water gemiddeld gaat), maar hij maakt een grote fout bij het voorspellen van de turbulente energie (hoeveel "gedoe" en wervels er in het water zitten). Het is alsof je een weersvoorspelling hebt die perfect vertelt dat het regent, maar vergeet te zeggen dat er ook een orkaan aan zit te komen.

Hier is hoe de auteur dit probleem oplost, vertaald naar een simpel verhaal:

1. Het Probleem: De "Gedoe"-meter werkt niet

De oude voorspeller (het standaardmodel) kijkt naar de stroming en zegt: "Oké, de snelheid klopt." Maar als je kijkt naar de hoeveelheid energie in de wervels, zegt hij: "Er is bijna geen energie." In werkelijkheid (gemeten door supercomputers genaamd DNS) is er echter veel meer energie. De oude voorspeller is dus te optimistisch over de rust en te pessimistisch over het gedoe.

2. De Oplossing: Twee Slimme Hulpjes

Davidson gebruikt twee soorten kunstmatige intelligentie om dit te fixen:

1. PINN (Physics Informed Neural Network): Dit is als een detective die de wetten van de natuurkunde (de regels) kent en een raadsel oplost.
2. NN (Neural Network): Dit is als een lerende student die patronen leert van de detective en die patronen later zelf kan toepassen.

Stap 1: De Detective (PINN)

De detective kijkt naar de echte data (de "waarheid") en zegt: "Hé, de manier waarop de energie zich verspreidt in het water, klopt niet met de regels die we hebben."
De detective lost een wiskundig raadsel op om een nieuwe, betere versie te vinden van hoe die energie zich verspreidt. Hij maakt een nieuwe "verspreidingsformule" die perfect past bij de echte data.

Stap 2: De Student (NN)

Nu hebben we een probleem: de detective is heel slim, maar zijn oplossing is erg complex en werkt alleen voor de specifieke situatie die hij net heeft opgelost. We willen een oplossing die werkt voor elke situatie (of het nu een rivier is of lucht om een vliegtuig).

Dus, we laten de student (NN) kijken naar wat de detective heeft gedaan. De student leert: "Als ik deze twee dingen zie (bijvoorbeeld de druk en de viscositeit), dan moet ik deze nieuwe formule gebruiken."
De student leert de patronen van de detective en maakt er een simpele, snelle regel van die we in elke simulatie kunnen gebruiken.

3. Het Nieuwe Model: De "k-ω-PINN-NN"

Door deze twee stappen te combineren, krijgen we een nieuw model:

• Het houdt de snelheid perfect in de gaten (zoals het oude model).
• Maar het gebruikt de nieuwe formule van de detective/student om de turbulente energie veel realistischer te voorspellen.

Het resultaat?

• In kanalen (zoals een rivier met rechte oevers) werkt het model perfect. De voorspellingen van snelheid en energie kloppen nu met de echte data.
• Bij vlakkende oppervlakken (zoals lucht over een vleugel) werkt het ook heel goed, al is de energie soms net iets te hoog (alsof de student een beetje te enthousiast is).
• Bij heuvels (stroom om een obstakel) werkt het ook uitstekend.

4. De "Magische Formule" (PySR)

Aan het einde van het verhaal doet de auteur nog iets cools. Hij zegt: "De student (NN) is slim, maar zijn antwoorden zijn een beetje een 'zwarte doos' (je ziet niet precies hoe hij tot het antwoord komt). Laten we proberen zijn antwoorden om te zetten in een simpele, begrijpelijke wiskundige formule."

Hij gebruikt een tool genaamd Symbolic Regression (pySR) om de antwoorden van de student te vertalen naar een simpele vergelijking die je kunt schrijven op een schoolbord. Dit is handig omdat commerciële software (die ingenieurs gebruiken) vaak moeite heeft met het importeren van complexe neurale netwerken, maar wel makkelijk met simpele formules om kan.

Samenvatting in één zin

De auteur heeft een oude, imperfecte voorspeller voor stromend water en lucht opgeknapt door eerst een slimme detective (PINN) de fouten te laten vinden, en daarna een leerling (NN) die deze fouten corrigeert, zodat we nu een model hebben dat zowel de snelheid als de "wervel-energie" perfect voorspelt.

Technische samenvatting

Probleemstelling

De bestaande eddy-viscositeit RANS-turbulentiemodellen (zoals de standaard $k-\omega$ en $k-\epsilon$ modellen) zijn doorgaans goed in staat om het gemiddelde snelheidsveld en de turbulentie-schuifspanning te voorspellen. Echter, een veelvoorkomend tekortkoming is dat deze modellen de turbulente kinetische energie ($k$) systematisch onderschatten.

Bij analyse van de termen in de $k$-vergelijking met behulp van Directe Numerieke Simulatie (DNS)-data blijkt dat de productie- en dissipatietermen redelijk goed worden voorspeld, maar dat de turbulente diffusie slecht gemodelleerd wordt. Het doel van dit onderzoek is om deze fout in de turbulentie-diffusie te corrigeren zonder de reeds goede voorspellingen van het gemiddelde stromingsveld te verstoren.

Methodologie

De auteur ontwikkelt een hybride aanpak die Physics Informed Neural Networks (PINN) en standaard Neural Networks (NN) combineert om de $k-\omega$ turbulentiemodel te verbeteren. De methode verloopt in drie hoofdfasen:

1. PINN voor Turbulente Diffusie:

   • De $k$-vergelijking voor een volledig ontwikkelde kanaalstroom wordt omgezet in een gewone differentiaalvergelijking (ODE) voor de turbulente viscositeit, $\nu_{t,PINN}$.
   • De productie ($P^k$) en dissipatie ($\varepsilon$) termen worden direct uit DNS-data gehaald.
   • Een PINN wordt getraind om $\nu_{t,PINN}$ te vinden zodat de diffusieterm in de ODE overeenkomt met de DNS-data.
   • Hieruit wordt een nieuwe, ruimtelijk variërende turbulent Prandtl-getal gedefinieerd: $\sigma_{k,PINN} = \nu_t / \nu_{t,PINN}$.

2. Behoud van Turbulente Viscositeit:

   • Omdat het wijzigen van $k$ direct invloed heeft op de turbulente viscositeit ($\nu_t = k/\omega$), zou een correctie van $k$ leiden tot een verslechtering van het voorspelde snelheidsprofiel.
   • Om dit te voorkomen, worden twee nieuwe correctiefuncties geïntroduceerd: $C_{k,PINN}$ (in de dissipatieterm van de $k$-vergelijking) en $C_{\omega2,PINN}$ (in de destructieterm van de $\omega$-vergelijking).
   • Deze functies worden zo berekend dat de nieuwe $\nu_t$ exact gelijk blijft aan die van het standaard $k-\omega$ model, terwijl $k$ en $\omega$ wel worden aangepast om de DNS-waarden te benaderen.

3. Neural Networks (NN) voor Generalisatie:

   • De bovenstaande correcties ($\sigma_{k,PINN}$, $C_{k,PINN}$, $C_{\omega2,PINN}$) zijn afgeleid voor specifieke stromingen (kanaalstroom) en kunnen niet direct worden toegepast op complexe, recirculerende stromingen.
   • Drie NN-modellen worden getraind om deze correctiefactoren te voorspellen op basis van twee genormaliseerde invoerparameters:
     • $\tau_{tot}/u_\tau^2$ (totale spanning)
     • $\nu_t/(y u_\tau)$ (verhouding viscositeit en wandafstand)
   • De NN-modellen leren de relatie tussen deze invoerparameters en de doelen ($\sigma_{k,PINN}$, enz.) die eerder met PINN en DNS waren bepaald.

Belangrijkste Bijdragen

• Nieuw Model ($k-\omega$-PINN-NN): Een hybride turbulentiemodel dat machine learning gebruikt om de diffusie- en dissipatietermen dynamisch aan te passen.
• Decoupling van $k$ en $\nu_t$: Een innovatieve methode om de turbulentie-energie ($k$) te corrigeren zonder de voorspelling van het gemiddelde snelheidsveld (en dus de schuifspanning) te verstoren, door de $\omega$-vergelijking aan te passen via de $C_{\omega2}$-functie.
• Symbolic Regression (pySR): De auteur demonstreert dat de complexe NN-modellen kunnen worden vervangen door symbolische regressie (algebraïsche vergelijkingen), wat de implementatie in commerciële CFD-software (zoals ANSYS Fluent of OpenFOAM) aanzienlijk vereenvoudigt.

Resultaten

Het nieuwe model is getest op drie stromingstypen:

1. Volledig ontwikkelde kanaalstroom:
   • Getest bij Reynolds-getallen $Re_\tau = 550, 2000, 5200$ en $10.000$.
   • Het model levert uitstekende resultaten op voor snelheidsprofielen, wandwrijving en turbulentie-kinetische energie ($k$).
   • De standaard $k-\omega$ onderschat $k$ sterk; het nieuwe model corrigeert dit bijna volledig.
2. Platte plaat grenslaag:
   • Het model voorspelt de wandwrijving en snelheidsprofielen zeer goed.
   • De piek in de turbulentie-kinetische energie is iets te hoog, maar de vorm is aanzienlijk beter dan die van het standaardmodel.
3. Periodieke heuvelstroom (3D):
   • De voorspellingen voor snelheid en schuifspanning komen zeer goed overeen met DNS-data.
   • De turbulentie-kinetische energie is in dit geval iets te hoog voorspeld, maar het model presteert over het algemeen beter dan het standaardmodel.
   • Opmerkelijk is dat in de heuvelstroom de NN-modellen bijna constante waarden aannemen voor de correctiefactoren, wat suggereert dat het model in deze regio minder complex gedrag nodig heeft dan in de kanaalstroom.

Significantie en Conclusie

Dit onderzoek toont aan dat het combineren van PINN (voor het oplossen van inverse problemen en het afleiden van fysiek consistente functies) en NN (voor het generaliseren van deze functies naar complexe stromingen) een krachtige route is om RANS-turbulentiemodellen te verbeteren.

De belangrijkste doorbraak is dat het model de zwakke schakel in traditionele modellen (de voorspelling van $k$) corrigeert zonder de sterke punten (voorspelling van het gemiddelde veld) te verliezen. Bovendien biedt de overgang naar symbolic regression (pySR) een praktische oplossing voor de integratie van ML-modellen in industriële CFD-codes, waar het importeren van zware neurale netwerken vaak problematisch is. De code en scripts zijn openbaar beschikbaar gesteld, wat de reproduceerbaarheid en verdere ontwikkeling van dit werk stimuleert.