End-pinching and inertial-capillary reopening in viscoplastic ligaments at low Ohnesorge number

Deze studie toont aan dat viscoplasticiteit en schuifgevoelige reologie twee nieuwe mechanismen introduceren waardoor terugtrekkende vloeistofdraden bij lage Ohnesorge-getallen end-pinching kunnen ontlopen en zich opnieuw kunnen openen, zelfs in de grens van een puur inertieel-capillair systeem.

De kern

Stel je voor dat je een lange, dunne draad van honing of tandpasta hebt die je in de lucht vasthoudt. Als je die draad loslaat, trekt de oppervlaktespanning (de "huid" van de vloeistof) hem samen. Bij water of dunne olie gebeurt er iets heel bekend: de draad wordt op een gegeven moment zo dun aan de uiteinden dat hij afknapt en er een druppel van afvalt. Dit noemen wetenschappers "end-pinching" (uiteinde-knappen).

Maar wat gebeurt er als die vloeistof niet zomaar water is, maar een viscoplastische vloeistof? Denk aan tandpasta, verf, of een speciaal soort gel die eerst hard moet worden "aangestoten" voordat hij stroomt.

Deze nieuwe studie van onderzoekers aan de Universiteit van Illinois kijkt precies naar dit fenomeen. Ze gebruiken geavanceerde computersimulaties om te zien hoe deze "slimme" vloeistoffen zich gedragen als ze proberen af te knappen. Hier is wat ze ontdekten, vertaald naar alledaagse taal:

1. De twee nieuwe manieren om niet af te knappen

Bij gewone vloeistoffen is het bijna onmogelijk om te ontsnappen aan het afknappen als de vloeistof heel dun is. Maar bij deze speciale vloeistoffen ontdekten ze twee manieren waarop de draad niet afbreekt, maar juist weer opent (reopening):

• De "Verdikker" (Shear-thickening):
  Stel je voor dat je een stukje deeg heel snel uitrekt. Bij sommige vloeistoffen wordt het juist dikker en stijver als je er snel op trekt. In de studie zien ze dat als de draad dunner wordt, de vloeistof in dat dunne puntje plotseling "stijf" wordt. Het wordt alsof er een onzichtbare muur van dikte komt. Deze stijfheid zorgt voor een draaiende beweging (werveling) die de vloeistof weer terugduwt naar het midden. De draad wordt dus niet dunner en knapt niet af; hij wordt juist weer dikker en opent zich weer.

  • Analogie: Het is alsof je een rubberen band probeert te knijpen, maar hoe harder je knijpt, hoe harder hij weerkaatst en terugveert.

• De "Verdunner" (Shear-thinning):
  Dit is het meest verrassende deel. Bij andere vloeistoffen wordt de vloeistof juist dunner en vloeibaarder als je er snel op trekt (zoals verf of ketchup). Je zou denken: "Als het dunner wordt, moet het sneller afknappen!" Maar het tegendeel gebeurt.
  Omdat de vloeistof in het dunne puntje zo dun wordt, verandert de drukverdeling. De kromming van de vloeistof zorgt voor een drukverschil dat de vloeistof juist weg duwt uit het dunne puntje. Het is alsof de vloeistof een "terugslag" krijgt die de knoop opent in plaats van dicht te maken.

  • Analogie: Het is alsof je een tunnel probeert in te drukken, maar de wanden worden zo glad dat de lucht (of vloeistof) er juist doorheen schiet en de tunnel weer open duwt.

2. De verrassende conclusie: Zelfs water kan dit doen!

De onderzoekers ontdekten iets heel grappigs. Ze keken naar het uiterste geval: wat gebeurt er als de vloeistof bijna geen viscositeit (dikte) heeft, dus bijna als water?
Vroeger dachten wetenschappers dat water altijd zou afknappen als het dun genoeg werd. Maar deze studie toont aan dat als je het heel dun maakt (dichter bij het ideale, wrijvingsloze water), er een nieuw mechanisme opduikt. Zelfs water kan dan, onder de juiste omstandigheden, "terugveer" in plaats van afknappen.

• De les: De natuur is verrassend. Zelfs bij iets dat we denken te kennen (zoals water), kunnen er nieuwe regels gelden als je naar de uiterste grenzen kijkt.

3. De "Stijve" en "Vaste" Vloeistoffen

Naast het openen en afknappen, zagen ze nog twee andere gedragingen:

• Geen knoop (No-neck): Als de vloeistof een beetje te "hard" is (te veel weerstand), vormt hij helemaal geen dunne knoop. Hij trekt zich gewoon netjes terug tot een ronde druppel, zonder dat er ergens een smalle hals ontstaat.
• Vastgevroren (Motionless): Als de vloeistof heel erg "hard" is (zoals een stuk tandpasta die nog niet is aangestoten), gebeurt er helemaal niets. De vloeistof beweegt niet, zelfs niet als de oppervlaktespanning trekt. Het is alsof de vloeistof in een ijsblokje zit dat te sterk is om te breken.

Waarom is dit belangrijk?

Dit klinkt als pure theorie, maar het is heel praktisch. Denk aan:

• Inkjet-printers: Als je inkt wilt printen, wil je dat het een mooie druppel is, niet dat het afbreekt in een nevel van kleine druppeltjes.
• Landbouw: Het bespuiten van gewassen met vloeistoffen die niet te snel uit elkaar vallen.
• 3D-printen: Het printen van structuren met zachte materialen.

Kortom: Deze studie laat zien dat vloeistoffen niet altijd doen wat we verwachten. Als je de "dikte" en het gedrag van de vloeistof verandert, kunnen ze plotseling besluiten niet af te knappen, maar juist weer op te openen. Het is een nieuwe manier om te kijken naar hoe vloeistoffen bewegen, wat helpt bij het maken van betere printers, sproeiers en materialen.

Technische samenvatting

Titel

End-pinching en inertie-capillaire heropening in viscoplastische vloeistofdraden bij lage Ohnesorge-getallen.

1. Probleemstelling

De capillaire inkrimping van vloeistofdraden (ligamenten) is goed begrepen voor Newtonse vloeistoffen, waarbij het mechanisme van "end-pinching" (afknijpen aan het uiteinde) leidt tot het loslaten van druppels bij lage viscositeit. Echter, het gedrag van viscoplastische vloeistoffen (die een vloeigrens hebben, zoals Bingham-vloeistoffen) blijft minder onderzocht.

Bestaande studies focussen vaak op eenvoudige vloeigrensmodellen (zoals het Bingham-model) met een constante viscositeit na het vloeien, of op elastoviscoplastische materialen (zoals Carbopol-gels) waarbij elastische effecten de dynamiek verstoren. Dit artikel richt zich specifiek op Herschel-Bulkley-vloeistoffen, die zowel een eindige vloeigrens als een schuifvertraging-afhankelijke viscositeit (shear-rate-dependent viscosity) bevatten. Het centrale vraagstuk is hoe deze niet-lineaire rheologie en de vloeigrens de overgang tussen afknijpen, ontsnappen aan afknijpen, of volledig stilstaan beïnvloeden, vooral in het regime van lage Ohnesorge-getallen (Oh), waar traagheid en capillaire krachten domineren.

2. Methodologie

De auteurs gebruiken volledig opgeloste axiale symmetrische numerieke simulaties met de open-source software Basilisk.

• Governing Equations: De incompressibele Navier-Stokes-vergelijkingen worden opgelost met een "one-fluid" formulering.
• Constitutief Model: De vloeistof wordt gemodelleerd als een Herschel-Bulkley-vloeistof met een geregulariseerd viscositeitsmodel:
  $$\mu_{eff} = \frac{\tau_y}{2\dot{\gamma} + \epsilon} + K(2\dot{\gamma} + \epsilon)^{n-1}$$
  Waarbij $\tau_y$ de vloeigrens is, $K$ de consistentie-index, $n$ de stroomgedragsindex (bepalend voor schuifverdunning of -verdikking), en $\epsilon$ een regularisatieparameter.
• Dimensieloze Grootheden:
  • $J$ (Plastocapillair getal): Verhouding tussen vloeigrens en capillaire spanning.
  • $Oh_K$ (Ohnesorge-getal): Verhouding tussen viskeuze en inertie-capillaire tijdschalen.
  • $n$: Stroomgedragsindex ($n<1$ voor schuifverdunning, $n>1$ voor schuifverdikking).
• Validatie: De code is gevalideerd tegen analytische oplossingen voor Poiseuille-stroming en tegen eerdere resultaten voor Newtonse draden (Notz en Basaran). Grid-onafhankelijkheidstudies tonen aan dat de resultaten robuust zijn, zelfs bij zeer lage viscositeit ($Oh_K \to 0$).

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

De studie identificeert vier distincte dynamische regimes in het $(n, J)$-parameterruimte en onthult twee nieuwe mechanismen voor het ontsnappen aan end-pinching:

A. Regimekaart (Phenomenological Regime Map)

Bij een lage Ohnesorge-waarde ($Oh_K = 10^{-3}$) worden vier uitkomsten onderscheiden:

1. End-pinching (Afknijpen): Voor lage $J$ en bepaalde $n$-waarden volgt de dynamiek het klassieke Newtonse pad waarbij een druppel loslaat.
2. No-neck (Geen nek): Voor intermediaire $J$ ($0.06 \lesssim J \lesssim 0.45$) vormt zich geen gelokaliseerde nek. De vloeistof krimpt glad tot één druppel omdat ongevloeide gebieden de axiale lokalisatie onderdrukken.
3. Motionless (Stilstaand): Voor hoge $J$ ($J \gtrsim 0.45$) is de vloeigrens zo groot dat de capillaire krachten niet voldoende zijn om de vloeistof in beweging te zetten; de draad blijft volledig stilstaan.
4. Escape from end-pinching (Ontsnapping): De draad krimpt maar knijpt niet af; in plaats daarvan opent de nek zich weer.

B. Mechanismen voor Ontsnapping aan End-pinching

De auteurs identificeren twee fundamenteel verschillende mechanismen die leiden tot heropening (reopening) van de nek, afhankelijk van de rheologie:

1. Schuifverdikkende vloeistoffen ($n > 1$):

   • Mechanisme: Tijdens het dunner worden van de nek neemt de lokale schuifsnelheid toe, wat leidt tot een sterke toename van de effectieve viscositeit ($\mu_{eff}$).
   • Dynamiek: Deze hoge viscositeit bevordert de generatie van vorticiteit (werveling) aan de bolvormige kant van de nek. Dit creëert een terugstroming (backflow) die de nek weer opent. Dit mechanisme lijkt op dat van viskeuze Newtonse vloeistoffen of oppervlaktetension-gedreven stromingen, maar wordt hier aangedreven door de niet-lineaire viscositeit.

2. Sterk schuifverdunnende vloeistoffen ($n < 1$) en het Newtonse limiet:

   • Mechanisme: Bij sterke schuifverdunning daalt de viscositeit in de nek, wat de viskeuze weerstand verlaagt. Verwacht zou worden dat dit afknijpen bevordert.
   • Verrassende bevinding: In plaats daarvan leidt dit tot heropening. De oorzaak is een niet-uniforme drukgradiënt veroorzaakt door kromming (curvature-induced pressure gradients).
   • Dynamiek: Bij zeer lage viscositeit (of sterke schuifverdunning) is viskeuze diffusie te zwak om variaties in de interface-vorm glad te strijken. Hierdoor ontstaat een secundaire krommingspiek stroomopwaarts van de nek. Dit creëert een drukgradiënt die de axiale versnelling omkeert, de vloeistof van het minimum af duwt en de nek doet openen.

C. De Inertie-Capillaire Heropening in het Newtonse Limiet ($Oh_K \to 0$)

Een van de meest significante bevindingen is dat dit heropeningsmechanisme ook optreedt in het puur Newtonse limiet wanneer $Oh_K \to 0$ (inviscid limit).

• Eerdere studies suggereerden dat end-pinching de asymptotische uitkomst is voor $Oh_K \approx 10^{-4}$.
• De auteurs tonen aan dat bij $Oh_K < 10^{-5}$ de draad niet afknijpt, maar heropent.
• Dit betekent dat end-pinching niet de enige uitkomst is in de inviscide limiet. De heropening wordt hier puur gedreven door een balans tussen traagheid en capillaire krachten, waarbij de drukgradiënten door kromming de instorting stoppen.

4. Significantie en Conclusie

• Nieuw Inzicht in Rheologie: Het werk toont aan dat de schuifvertraging-afhankelijkheid van de viscositeit (Herschel-Bulkley) kwalitatief nieuwe stromingsresponsen genereert die niet kunnen worden voorspeld door het eenvoudigere Bingham-model (met constante viscositeit).
• Herdefiniëring van de Inviscide Limiet: De studie weerlegt de aanname dat end-pinching de onvermijdelijke uitkomst is voor zeer lage viscositeit. Er bestaat een "inertie-capillaire heropening" die dominant wordt wanneer viskeuze krachten verwaarloosbaar worden.
• Toepassingen: Deze inzichten zijn cruciaal voor processen zoals inkjet-printing, sproeibelekking en het maken van sprays, waar het beheersen van druppelvorming en het voorkomen van ongewenste afknijpen (of juist het bevorderen ervan) essentieel is.
• Beperkingen: De studie isoleert het viscoplastische gedrag en negeert elastische effecten (die vaak aanwezig zijn in echte materialen zoals Carbopol). Toekomstig onderzoek moet de rol van elastische spanningsopslag in dit heropeningsmechanisme onderzoeken.

Samenvattend biedt dit artikel een fundamenteel nieuw perspectief op de dynamica van vloeibare draden, waarbij het aantoont dat zowel vloeigrenzen als niet-lineaire viscositeit kritieke rollen spelen in het voorkomen van afknijpen, zelfs in regimes waar men zou verwachten dat de vloeistof zich als een ideaal, niet-viskeus medium zou gedragen.