Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria

De auteurs ontwikkelen schattings- en inferentiemethoden voor een macroeconomisch model met meerdere evenwichten onder constante-gain learning, waarbij ze consistentie en asymptotische normaliteit van de schatter aantonen en rekening houden met niet-standaard limietverdelingen bij herhaalde evenwichtslösungen.

De kern

Stel je voor dat de economie een enorm, complex bordspel is, gespeeld door miljoenen mensen. In de traditionele economische theorie wordt aangenomen dat alle spelers perfect rationeel zijn: ze hebben een kristallen bol, kennen alle regels uit het hoofd en kunnen de toekomst perfect voorspellen.

Maar in de echte wereld is dat niet zo. Mensen zijn beperkt rationeel. Ze kijken naar wat er de afgelopen tijd is gebeurd, trekken daar simpele conclusies uit en passen hun verwachtingen daarop aan. Dit noemen economen "leren" (learning).

Dit artikel van Alexander Mayer en Davide Raggi gaat over een specifiek type bordspel: de Phillips-curve. Dit is een model dat beschrijft hoe inflatie (prijsstijgingen) samenhangt met de economische situatie (bijvoorbeeld of er veel of weinig werk is).

Hier is wat ze hebben ontdekt, vertaald naar alledaags taal:

1. Het Spel met Meerdere Uitkomsten (De "Gevangen" Evenwichten)

Stel je voor dat je een bal op een landschap rolt.

• In de oude theorie was er maar één dal waar de bal altijd in zou stoppen: het rationele evenwicht.
• In dit nieuwe model met "lerende" mensen, kan het landschap eruitzien als een reeks van meerdere valleien. Afhankelijk van hoe de mensen denken en hoe ze hun verwachtingen aanpassen, kan de economie in één van deze valleien terechtkomen.

Dit zijn de gedrags-evenwichten. Het is alsof de economie in een bepaalde "modus" kan vastlopen. Soms denken mensen dat inflatie heel stabiel is (een diep dal), en soms denken ze dat het snel gaat veranderen (een ander dal). Zelfs als de onderliggende regels van het spel niet veranderen, kan de economie van het ene dal naar het andere springen, puur door de manier waarop mensen naar de toekomst kijken.

2. Het Probleem: Hoe meet je dit?

Het probleem voor economen is dat dit landschap erg onstabiel en niet-lineair is. Het is alsof je probeert de vorm van een wolk te meten terwijl je erdoorheen vliegt.

• Als er meerdere valleien zijn, weten we niet zeker welke we meten.
• Als de mensen hun leer-snelheid veranderen, verandert het landschap mee.

De auteurs zeggen: "We hebben een nieuwe manier nodig om dit landschap in kaart te brengen en te meten, zodat we kunnen zeggen: 'Kijk, we zitten in dit dal, en dit is hoe waarschijnlijk het is dat we naar een ander dal springen'."

3. De Oplossing: De "Niet-Lineaire Schatting"

De auteurs hebben een wiskundig gereedschap ontwikkeld (een Niet-Lineaire Kleinste-Kwadraten-methode).

• Vergelijk het met een GPS: Stel je voor dat je een GPS hebt die probeert je positie te bepalen, maar de wegen zijn constant aan het veranderen en er zijn meerdere mogelijke routes. De oude GPS zou vastlopen. De nieuwe methode van Mayer en Raggi is slim genoeg om te zeggen: "Oké, we zijn hier, en we weten dat er drie mogelijke bestemmingen zijn. Hier is de kansverdeling voor elk."

Ze bewijzen wiskundig dat hun methode werkt, zelfs als het systeem chaotisch lijkt. Ze laten zien dat als je genoeg data verzamelt, je de "leer-snelheid" van de mensen en de "helling" van de economie nauwkeurig kunt schatten.

4. De Valkuil: De "Dubbele" Vallei

Een van de coolste ontdekkingen is wat er gebeurt als de economie precies op de rand tussen twee valleien zit (een herhaald evenwicht).

• Stel je voor dat de bal precies op een heuveltop staat. Een klein beetje wind (een kleine schok) kan hem naar links of naar rechts duwen.
• De auteurs laten zien dat in zo'n situatie de statistische regels anders werken. De "meetfout" is groter en de berekeningen zijn trager. Het is alsof je probeert te raden of een munt op zijn kop of staart ligt, terwijl de munt precies op de rand staat. Je kunt niet zeker zijn of het 50/50 is of 51/49.
• Ze hebben een speciale techniek bedacht om toch betrouwbare conclusies te trekken in deze onzekere situaties.

5. De Praktijk: Wat zeggen de Amerikaanse data?

Ze hebben hun methode getest op echte data uit de Verenigde Staten (inflatie en werkloosheid van 1960 tot 2019).

• Resultaat: De data toont aan dat er inderdaad meerdere manieren zijn waarop de economie kan functioneren.
• In sommige periodes (zoals recentelijk) lijkt de economie vast te zitten in een dal met lage inflatie-ervaringen (mensen denken dat prijzen stabiel blijven).
• In andere periodes zou het kunnen vastlopen in een dal met hoge, versnellende inflatie.
• De "leer-snelheid" van de mensen (hoe snel ze hun mening aanpassen op basis van nieuwe cijfers) is een cruciale knop die bepaalt in welk dal we zitten.

Samenvatting in één zin

Mayer en Raggi hebben een nieuwe, slimme manier bedacht om de economie te meten wanneer mensen niet perfect rationeel zijn, waardoor we kunnen zien dat de economie in verschillende "stijlen" kan leven, en we nu beter kunnen voorspellen welke stijl we nu hebben en hoe we eruit kunnen komen.

Kortom: Ze hebben de "kristallen bol" vervangen door een slimme, aanpasbare GPS die rekening houdt met het feit dat mensen soms dwalen, soms vastlopen in patronen, en dat de economie daardoor in verschillende werelden kan bestaan.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria" van Alexander Mayer en Davide Raggi, geschreven in het Nederlands.

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel adresseert een fundamenteel probleem in de macro-econometrie: de schatting en inferentie in modellen met adaptief leren (adaptive learning) waarbij agents niet rationele verwachtingen vormen, maar gebruikmaken van een constant-gain leerregel.

• Context: Traditionele macro-modellen gaan uit van rationele verwachtingen (RE). Echter, empirisch bewijs suggereert dat agents gebonden rationeel zijn en verwachtingen vormen op basis van eenvoudige, mogelijk verkeerd gespecificeerde econometrische modellen (bijv. een AR(1)-proces voor inflatie, terwijl het ware proces complexer is).
• Het Kernprobleem: Wanneer agents een verkeerd gespecificeerd model gebruiken, kunnen er meerdere gedragsmatige evenwichten (behavioural equilibria) ontstaan. Dit zijn zelfbevestigende inflatiepaden die vaste punten zijn van de waargenomen bewegingswet, maar niet noodzakelijk de rationele verwachtingen-oplossing van het volledige model.
• De Uitdaging: De aanwezigheid van niet-lineariteiten en het potentieel voor meerdere evenwichten (waarbij sommige evenwichten "herhaald" of meervoudig kunnen zijn) maakt de statistische eigenschappen van schatters onbekend. Bestaande literatuur biedt weinig inzicht in de consistentie en asymptotische verdeling van schatters in deze specifieke setting, vooral wanneer de leerparameter (gain) constant is en niet naar nul convergeert.

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een rigoureuze statistische raamwerk voor een New Keynesian Phillips Curve (NKPC) met constant-gain learning.

A. Het Model
Het model bestaat uit drie componenten:

1. De ware Actual Law of Motion (ALM): Inflatie ($\pi_t$) wordt bepaald door verwachte inflatie, een output gap ($y_t$) en een shock.
2. De Perceived Law of Motion (PLM): Agents denken dat inflatie een AR(1)-proces is: $\pi_t = \alpha + \beta(\pi_{t-1} - \alpha) + e_t$.
3. Leermechanisme: Agents schatten de parameters $(\alpha_t, \beta_t)$ recursief met een constant-gain algoritme (Sample Autocorrelation Learning). Dit impliceert dat de schatters niet convergeren naar een vast punt, maar naar een stationaire verdeling.

B. Probabilistische Eigenschappen (Ergodiciteit)
Voordat schatting kan plaatsvinden, moet de data-genererende proces (DGP) goed gedefinieerd zijn.

• De auteurs bewijzen dat het systeem, gezien als een niet-lineaire Markov-keten, geometrisch ergodisch is.
• Dit betekent dat het systeem, ongeacht de initiële condities, exponentieel snel convergeert naar een unieke stationaire verdeling.
• Dit is cruciaal omdat het de toepassing van de Wet van de Grote Getallen (LLN) en het Centrale Limiettheorema (CLT) rechtvaardigt voor niet-lineaire tijdsreeksen.

C. Schatting (Non-Linear Least Squares - NLS)
De structuurparameters $\theta = (\gamma, \delta, \psi)^T$ worden geschat met een NLS-schatter die de som van de kwadratische fouten minimaliseert.

• Identificatie: De auteurs tonen aan dat de parameter $\gamma$ (de leer-snelheid) geïdentificeerd is, tenzij $\delta = 0$. In het geval $\delta=0$ is $\gamma$ een niet-geïdentificeerde "nuisance parameter", maar kunnen de overige parameters nog steeds consistent worden geschat.
• Consistentie: Er wordt bewezen dat de NLS-schatter sterk consistent is ($\hat{\theta}_n \xrightarrow{a.s.} \theta_0$).
• Asymptotische Normaliteit: Onder standaard regulariteitsvoorwaarden (inclusief momentenvoorwaarden voor de fouttermen) is de schatter asymptotisch normaal verdeeld met een convergentiesnelheid van $\sqrt{n}$.

D. Inferentie over Evenwichten
Een uniek aspect is de analyse van de geschatte evenwichten $\beta$, die de wortels zijn van een polynoomfunctie $G(\beta; \lambda) = 0$.

• Eenvoudige wortels: Als er één of drie verschillende wortels zijn, convergeren de schatters met snelheid $\sqrt{n}$ en zijn ze asymptotisch normaal.
• Herhaalde wortels (Repetitive roots): Als de functie de horizontale as raakt (een wortel met multipliciteit 2), treedt er tweede-orde identificatie op.
  • De convergentiesnelheid vertraagt naar $n^{1/4}$.
  • Het aantal gevonden wortels ($r_n$) convergeert niet in waarschijnlijkheid naar het ware aantal ($r_0$); het oscilleert asymptotisch met kans 0.5 tussen 1 en 3 wortels.
  • De auteurs leiden af dat het gemiddelde van de twee geschatte wortels rondom de herhaalde wortel de bias elimineert en een snellere convergentie biedt.

E. Toetsing en Confidence Bands

• Voor het testen van parameters (bijv. $\delta=0$) wordt een supF-statistiek voorgesteld, waarbij de kritieke waarden worden benaderd via een Gaussian multiplier bootstrap.
• Voor de evenwichten worden uniforme betrouwbaarheidsbanden (uniform confidence bands) voor de functie $\beta \mapsto G(\beta)$ geconstrueerd, gebruikmakend van een functionele Delta-methode en een bootstrap-procedure. Dit is robuust tegenover het probleem van herhaalde wortels.

3. Belangrijkste Resultaten

1. Geometrische Ergodiciteit: Het bewijs dat het complexe, niet-lineaire systeem met constant-gain learning stabiel is en een unieke stationaire verdeling heeft.
2. Consistentie en Normaliteit: De NLS-schatter voor de structuurparameters is consistent en asymptotisch normaal, zelfs in de aanwezigheid van meerdere evenwichten.
3. Niet-standaard Asymptotiek bij Herhaalde Evenwichten:
   • Bij een herhaalde wortel (twee evenwichten die samenvallen) is de convergentiesnelheid $n^{1/4}$ in plaats van $\sqrt{n}$.
   • De verdeling van de schatter is niet langer standaard normaal, maar hangt af van de verdeling van een kwadratische vorm van een Gaussisch proces.
   • Het aantal evenwichten is niet consistent schatbaar in het geval van herhaalde wortels.
4. Empirische Validatie:
   • Monte Carlo simulaties: Bevestigen dat de NLS-schatter goed presteert in eindige steekproeven en dat de asymptotische theorie (inclusief de langzamere convergentie bij herhaalde wortels) correct voorspellingen doet.
   • Empirische toepassing (VS-data): Toepassing op Amerikaanse inflatie- en outputgap-data (1960-2019) toont aan dat er meerdere gedragsmatige evenwichten kunnen bestaan.
     • Bij gebruik van de output gap als drijvende variabele worden drie evenwichten gevonden (laag, medium, hoog persistentie).
     • Bij gebruik van loonkosten wordt slechts één evenwicht gevonden.
     • Dit suggereert dat de economie kan oscilleren tussen verschillende regimes van inflatie-persistentie, afhankelijk van de drijvende factoren.

4. Significatie en Bijdrage

Deze paper levert een essentiële bijdrage aan de econometrie van lerende agents:

• Theoretische Lekkernij: Het vult een groot gat in de literatuur door een volledige frequentistische inferentie-theorie te bieden voor modellen met constant-gain learning en meerdere evenwichten, een gebied dat tot nu toe gedomineerd werd door Bayesiaanse benaderingen of heuristieken.
• Robuustheid: De methode is robuust voor de complexiteit van niet-lineaire tijdsreeksen en biedt een oplossing voor het probleem van "niet-geïdentificeerde parameters" onder de nul-hypothese (bijv. $\delta=0$).
• Praktische Toepasbaarheid: De ontwikkeling van uniforme betrouwbaarheidsbanden voor de evenwichtsfunctie stelt economen in staat om onzekerheid over de locatie en het aantal evenwichten kwantitatief te maken, wat cruciaal is voor beleidsanalyse.
• Empirisch Inzicht: De toepassing op VS-data illustreert dat de "flattening" van de Phillips curve en de persistentie van inflatie kunnen worden verklaard door het bestaan van meerdere stabiele leerregimes, in plaats van één uniek evenwicht.

Kortom, het artikel biedt de nodige wiskundige onderbouwing om complexe macro-modellen met gebonden rationaliteit betrouwbaar te schatten en te testen, en onthult dat de economie zich in meerdere mogelijke evenwichtstoestanden kan bevinden.