Broken Symmetry of Stock Returns -- a Modified Jones-Faddy Skew t-Distribution

Dit artikel betoogt dat de negatieve scheefheid en positieve gemiddelde van aandelenrendementen voortkomen uit een gebroken symmetrie in de stochastische volatiliteit, en introduceert een gemodificeerde Jones-Faddy-skew-t-verdeling om deze asymmetrie effectief te modelleren, wat wordt geïllustreerd aan de hand van dagelijkse S&P500-gegevens.

De kern

Hier is een uitleg van het onderzoek in eenvoudig Nederlands, met behulp van alledaagse analogieën.

De Kern: Waarom de Beurs niet eerlijk is

Stel je voor dat de beurs (zoals de S&P500) een enorme, onvoorspelbare dans is. De onderzoekers van deze paper kijken naar de stappen die deze dans maakt: soms een stap vooruit (winst), soms een stap achteruit (verlies).

Het oude idee was dat deze dans symmetrisch is. Dat betekent: als je een kans van 10% hebt om een grote stap vooruit te maken, heb je ook een kans van 10% om een even grote stap achteruit te maken. In de wiskunde noemen ze dit een "Student-t-verdeling". Het is alsof je een perfecte balans hebt tussen winst en verlies.

Maar in het echte leven is dat niet zo. De beursdans is scheef (asymmetrisch).

1. De dans gaat gemiddeld vooruit: De beurs groeit op de lange termijn.
2. De dans is onvoorspelbaar in het slechte: Als de beurs crasht, gaat het vaak veel harder en dieper dan wanneer hij stijgt. De "staart" van de verdeling (de extreme verliezen) is zwaarder dan de "staart" van de winsten.

De onderzoekers zeggen: "Deze ongelijkheid komt doordat de 'zwaarte' van de dans (de volatiliteit) anders werkt voor winst dan voor verlies."

De Analogie: Twee verschillende dansvloeren

Om dit te begrijpen, kun je je de beurs voorstellen als een dansvloer met twee verschillende oppervlakken:

• De Winst-zijde: Hier ligt een gladde, rubberen vloer. Als je hier op stapt, glijdt je soepel. De bewegingen zijn voorspelbaarder en de kans op een enorme, plotselinge val is kleiner.
• De Verlies-zijde: Hier ligt een vloer bedekt met ijs en modder. Als je hier stapt, kun je plotseling uit je evenwicht raken en ver weg glijden. De bewegingen zijn chaotischer en de kans op een enorme val is groter.

Het oude wiskundige model ging ervan uit dat de hele vloer hetzelfde was (alleen maar glad rubber). Dat klopt niet. De onderzoekers zeggen: we moeten het model aanpassen zodat de "ijsvloer" (verliezen) en de "rubber-vloer" (winsten) verschillende eigenschappen hebben.

De Oplossing: De "Gebogen" Verdeling

De onderzoekers hebben geprobeerd verschillende manieren om dit scheve gedrag in een wiskundig model te stoppen:

1. De "Half-Half" aanpak: Ze probeerden twee aparte modellen te maken: één voor de rubber-zijde en één voor de ijs-zijde, en die dan aan elkaar te plakken.

   • Het probleem: Dit voelt als een kunstmatige lijmverbinding. Het is wiskundig niet mooi en het verklaart niet waarom de beurs gemiddeld vooruitgaat (de positieve gemiddelde winst). Het model gaf zelfs een negatief gemiddelde, wat niet klopt met de realiteit.

2. De "Gebogen Jones-Faddy" aanpak (De winnaar):
   Ze gebruikten een nieuwere, meer flexibele wiskundige vorm (de Modified Jones-Faddy skew t-distribution).

   • De Analogie: Stel je voor dat je een elastiek hebt. In het oude model was het elastiek recht. In dit nieuwe model trekken ze het elastiek aan één kant harder dan aan de andere kant. Hierdoor buigt het elastiek.
   • Wat doet dit?
     • Het laat de "ijs-zijde" (verliezen) langer en zwaarder uitlopen (de staart wordt dikker).
     • Het verschuift het middelpunt van de dans een beetje naar voren, zodat het gemiddelde positief is (de beurs groeit).
     • Het doet dit alles in één samenhangend model, zonder twee losse stukken aan elkaar te lijmen.

Wat zeggen de cijfers?

De onderzoekers hebben dit model getest op de dagelijkse koersen van de S&P500 van 1980 tot 2025.

• Resultaat: Het nieuwe model (de "gebogen elastiek") past perfect op de echte data.
• Het verklaart waarom er vaker kleine winsten zijn dan grote verliezen, maar waarom die grote verliezen (crashes) veel zwaarder wegen dan de grote winsten.
• Het verklaart ook waarom de beurs ondanks de crashes toch gemiddeld stijgt.

Conclusie in het kort

De beurs is geen eerlijke dobbelsteen. Het is een systeem waarbij de regels voor "verlies" anders zijn dan voor "winst". De onderzoekers hebben een nieuwe wiskundige "bril" ontwikkeld (de Modified Jones-Faddy verdeling) waarmee we deze ongelijkheid beter kunnen zien en begrijpen.

Hoewel ze nog niet precies weten waarom de natuurwetten van de beurs zo scheef zijn (dat is nog een mysterie voor de toekomst), hebben ze nu wel de juiste formule om het gedrag van de beurs in de toekomst nauwkeuriger te beschrijven. Het is alsof ze eindelijk de juiste kaart hebben gevonden voor een landschap dat eerder als perfect rond werd beschouwd, maar in werkelijkheid een steile berg en een diepe vallei bleek te zijn.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Broken Symmetry of Stock Returns - a Modified Jones-Faddy Skew t-Distribution" in het Nederlands.

Titel: Gebroken Symmetrie van Aandelenrendementen – Een Gewijzigde Jones-Faddy Schuine t-Verdeling

1. Probleemstelling

De auteurs onderzoeken de statistische eigenschappen van dagelijkse rendementen van de S&P500 (periode 1980-2025). Traditionele modellen, zoals de Student's t-verdeling afgeleid van stochastische differentiaalvergelijkingen (SDE's) voor prijs en volatiliteit, veronderstellen een symmetrische verdeling rondom het gemiddelde. Echter, empirische data vertoont duidelijke asymmetrieën die door deze standaardmodellen niet worden gevangen:

• Positief gemiddelde: Aandelen hebben op de lange termijn een stijgende trend.
• Negatieve scheefheid (skewness): De verdeling heeft een langere "staart" naar links (grote verliezen) dan naar rechts.
• Ongelijke frequentie: Er zijn meer winstdagen dan verliesdagen.
• Verschillende staartgedrag: De machtswet-exponent (power-law exponent) voor verliezen is anders (minder steil) dan voor winsten, wat impliceert dat extreme verliezen frequenter voorkomen dan extreme winsten.

Het centrale probleem is hoe deze "gebroken symmetrie" tussen winst en verlies wiskundig kan worden gemodelleerd binnen een coherent raamwerk, zonder volledig af te wijken van de onderliggende fysica van stochastische volatiliteit.

2. Methodologie

De auteurs bouwen voort op een standaard SDE-framework voor aandelenrendementen ($x_t$) en stochastische volatiliteit ($\sigma_t$ of variatie $v_t = \sigma_t^2$).

• Basis: De rendementen worden gemodelleerd als $dx_t = \sigma_t dW$, waarbij de volatiliteit volgt een gemiddelde-revertieproces (bijv. Cox-Ingersoll-Ross of multiplicatief model).
• Symmetriebreking-hypothese: De auteurs stellen dat de parameters van de stochastische volatiliteit verschillend zijn voor winst ($x > 0$) en verlies ($x < 0$). Specifiek worden de parameters $\alpha$ (gerelateerd aan de vorm van de verdeling) en $\theta$ (gerelateerd aan de gemiddelde volatiliteit) gescheiden in $\alpha_g, \theta_g$ voor winst en $\alpha_l, \theta_l$ voor verlies.

De auteurs evalueren vier modellen:

1. Student's t-verdeling: Het standaard symmetrische model.
2. Half Student-t: Een mengsel van twee afzonderlijke Student's t-verdelingen (één voor winst, één voor verlies) met verschillende gewichten. Dit is een "mix-model" en geen organische verdeling.
3. Gewijzigde Jones-Faddy 1 (mJF1): Een schuine t-uitbreiding (skew t-distribution) waarbij één parameter $\theta$ (gemiddelde volatiliteit) voor beide kanten wordt gebruikt, maar $\alpha_g$ en $\alpha_l$ verschillen. Dit introduceert scheefheid en een locatieparameter $\mu$.
4. Gewijzigde Jones-Faddy 2 (mJF2): Een generalisatie van mJF1 waarbij ook $\theta_g$ en $\theta_l$ verschillend zijn.

De modellen worden getest op de dagelijkse S&P500-gegevens (1980-2025) met behulp van Bayesiaanse fitting. De kwaliteit van de aanpassing wordt beoordeeld aan de hand van:

• Statistische momenten (gemiddelde, variantie, modus).
• Scheefheidscoëfficiënten (Pearson $\zeta_1$ en $\zeta_2$).
• Staartgedrag (machtswet-exponenten van de Complementaire Cumulatieve Verdelingsfunctie, CCDF).
• Statistische tests (U-test op orde-statistieken) en betrouwbaarheidsintervallen om outliers (zoals "Dragon Kings") te detecteren.

3. Belangrijkste Resultaten

• Falen van Half Student-t: Hoewel dit model de verschillende staarten kan modelleren, faalt het om het positieve gemiddelde van de rendementen correct weer te geven (het voorspelt een negatief gemiddelde). Bovendien is het geen "organische" verdeling, maar een kunstmatige mix.
• Superioriteit van mJF1: De mJF1-verdeling bleek de beste kandidaat.
  • Het vangt de positieve mean correct op door de locatieparameter $\mu$.
  • Het modelleert de negatieve scheefheid en de verschillende staartexponenten door het verschil tussen $\alpha_g$ en $\alpha_l$.
  • De fit is visueel en statistisch zeer nauwkeurig voor zowel de kern als de staarten van de verdeling.
• Parameteranalyse:
  • De schattingen tonen aan dat $\alpha_l < \alpha_g$. Omdat de staartexponent gerelateerd is aan $-2(\alpha/\theta + 1)$, betekent een kleiner $\alpha_l$ dat de staart voor verliezen "zwaarder" is (minder snel afnemende kans op extreme verliezen).
  • De locatieparameter $\mu$ compenseert niet alleen voor het grotere aantal winstdagen, maar ook voor de hogere waarden van winsten in de bulk van de verdeling.
• mJF2 vs. mJF1: Het toevoegen van een extra parameter ($\theta_l \neq \theta_g$) in mJF2 leidde tot geen noemenswaardige verbetering in de fit. Dit suggereert dat het aannemen van dezelfde gemiddelde volatiliteit voor winst en verlies ($\theta_g = \theta_l$) een geldige en vereenvoudigde aanname is.
• Statistische Tests: De p-waarden en betrouwbaarheidsintervallen tonen aan dat de mJF1-fit goed past bij de data, inclusief de uiterste staarten, zonder dat er significante afwijkingen (outliers buiten het model) worden gevonden die het model ongeldig maken.

4. Bijdragen

• Conceptueel: De paper biedt een nieuwe interpretatie van de asymmetrie in aandelenrendementen: deze wordt veroorzaakt door een "gebroken symmetrie" in de parameters van de stochastische volatiliteit voor winst versus verlies.
• Methodologisch: De introductie en toepassing van de Gewijzigde Jones-Faddy (mJF1) verdeling als een organisch, enkelvoudig wiskundig model dat de complexe eigenschappen van marktdata (positief gemiddelde, negatieve scheefheid, verschillende staartexponenten) in één formule verenigt.
• Empirisch: Een robuuste analyse van de S&P500 over een periode van 45 jaar, waarbij wordt aangetoond dat de machtswet-eigenschappen van verliezen en winsten fundamenteel verschillend zijn.

5. Betekenis en Conclusie

De studie concludeert dat de mJF1-verdeling de meest geschikte kandidaat is om dagelijkse S&P500-rendementen analytisch te beschrijven. Hoewel het model momenteel nog niet direct uit eerste principes (SDE's) kan worden afgeleid (in tegenstelling tot de standaard Student's t), is het "in geest" dicht bij de stochastische volatiliteitstheorie en levert het uitstekende fits.

De belangrijkste inzichten zijn:

1. De asymmetrie in markten is fundamenteel en vereist modellen die winst en verlies niet als identiek behandelen.
2. Het verschil in de "zwaarte" van de staarten (power-law exponents) is een cruciaal kenmerk dat door standaardmodellen wordt gemist.
3. De mJF1-verdeling biedt een praktische en nauwkeurige tool voor risicomanagement en het modelleren van extreme gebeurtenissen in financiële markten.

Toekomstig werk richt zich op het vinden van een strikte SDE-afleiding voor de mJF1-verdeling en het testen van het model op andere markten (NASDAQ, Russell, Europese/Asiatische indices) en op geaccumuleerde rendementen.