Computing Green's functions and improving ground state energy estimation on quantum computers with Liouvillian recursion

Dit artikel presenteert een hybride quantum-klassieke implementatie van de Liouvilliaanse recursie op een supergeleidende quantumprocessor om Green-functies te berekenen voor het Hubbard-model, waarmee via de Galitskii-Migdal-formule een nauwkeurigere grondtoestandsenergie wordt verkregen dan met de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan, en waarbij de methode bewezen is robuust te zijn tegen ruis en imperfecties in de grondtoestandsvoorbereiding.

De kern

Stel je voor dat je een enorm complexe puzzel probeert op te lossen: het gedrag van elektronen in een materiaal. In de natuurkunde noemen we dit "sterk gecorreleerde systemen". Het is alsof je probeert te voorspellen hoe een miljoen dansers zich gedragen in een volle zaal, waarbij elke danser reageert op elke andere.

Normaal gesproken zijn klassieke computers (zoals je laptop) te traag om dit soort dansfeesten te simuleren. Quantumcomputers zijn hier perfect voor, maar ze zijn nog in de kinderschoenen: ze zijn snel, maar ook erg "luidruchtig" en maken veel fouten.

De auteurs van dit paper hebben een nieuwe manier bedacht om deze quantumcomputers toch nuttig te maken voor deze moeilijke puzzels. Hier is hoe het werkt, vertaald naar alledaagse taal:

1. Het Probleem: Een onvolmaakte start

Om de dansers (elektronen) te begrijpen, moet je eerst weten hoe ze in rust staan (de "grondtoestand"). Maar omdat quantumcomputers nog niet perfect zijn, kunnen we deze rusttoestand niet 100% nauwkeurig berekenen. Het is alsof je een foto maakt van de dansvloer, maar de camera is een beetje wazig. Je krijgt een ruwe schets, maar geen perfecte foto.

De meeste oude methoden proberen deze ruwe schets eerst perfect te maken voordat ze verder gaan. Dat kost echter te veel tijd en energie op een quantumcomputer.

2. De Oplossing: De "Liouvillian" Truc

De auteurs gebruiken een slimme wiskundige truc genaamd Liouvillian recursie.
Stel je voor dat je een bal hebt die je tegen een muur gooit.

• De oude manier: Je probeert de bal perfect te gooien (perfecte grondtoestand) om te zien waar hij landt.
• Deze nieuwe manier: Je gooit de bal een beetje scheef (een onvolmaakte grondtoestand). Maar in plaats van te stoppen, laat je de bal herhaaldelijk stuiteren.

Elke keer als de bal stuiteren (elke "iteratie"), leert de computer iets nieuws over de muur en de dansvloer. De wiskunde zorgt ervoor dat, hoe meer de bal stuiteren, hoe scherper het beeld wordt, zelfs als je start met een scheve worp.

3. Wat meten ze eigenlijk? (De Groene Functies)

In de natuurkunde willen we weten hoe een elektron zich verplaatst. Dit noemen ze een "Green's function".

• Lokaal: Hoe beweegt een elektron op zijn eigen plekje?
• Inter-site: Hoe springt een elektron van plekje A naar plekje B?

De quantumcomputer meet niet direct het antwoord, maar meet een reeks van "stootjes" (observables) die door de recursie worden gegenereerd. Het is alsof je niet direct de snelheid van de auto meet, maar je luistert naar het geluid van de motor en het geluid van de banden op de weg om de snelheid te reconstrueren.

4. Het Grote Voordeel: Beter dan de start

Het meest verrassende resultaat is dit:
Zelfs als je start met een heel slechte, wazige foto van de grondtoestand (een slechte start), levert deze methode aan het einde een betere schatting van de totale energie op dan de directe meting op die slechte start.

Het is alsof je met een slechte kompasrichting begint, maar door een slimme routeplanner (de recursie) toch de kortste weg naar de top vindt, terwijl anderen die met een perfect kompas vertrokken, vastlopen in de mist.

5. Waarom werkt dit op een "luidruchtige" computer?

Quantumcomputers maken fouten (ruis). Meestal zorgt dit ervoor dat berekeningen volledig mislukken. Maar deze methode is zeer robuust.

• De fouten die de computer maakt, "verdwijnen" bijna als je de bal genoeg laat stuiteren.
• De methode convergeert (nemen de fouten af) zo snel (exponentieel), dat de extra rekenkracht die nodig is om de fouten te compenseren, meer dan goed wordt gemaakt door de snelheid van de verbetering.

Samenvattend in één zin:

De auteurs hebben een slimme quantum-algoritme bedacht dat een onvolmaakte, ruwe start gebruikt en door slimme, herhaalde metingen (stuiters) toch een zeer nauwkeurig beeld krijgt van hoe elektronen zich gedragen, zelfs op een quantumcomputer die nog niet perfect is.

Dit is een grote stap voorwaarts, omdat het betekent dat we nu al met de huidige, imperfecte quantumcomputers nuttige wetenschappelijke resultaten kunnen behalen voor materialenwetenschap en chemie, zonder te hoeven wachten op de perfecte, foutloze machines van de toekomst.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het paper "Computing Green's functions and improving ground state energy estimation on quantum computers with Liouvillian recursion" in het Nederlands.

Probleemstelling

De simulatie van sterk gecorreleerde elektronen systemen is een van de meest veelbelovende toepassingen voor kwantumcomputers. Hoewel het vinden van de grondtoestand (ground state) van dergelijke systemen cruciaal is, vereisen veel fysieke toepassingen, zoals Dynamische Middenveldtheorie (DMFT), ook de berekening van responsfuncties, specifiek de een-deeltjes Green-functie ($G(\omega)$).

Bestaande kwantumalgoritmen voor het berekenen van Green-functies hebben vaak grote nadelen:

1. Ze vereisen kostbare extra operaties zoals multi-qubit controle of tijdsontwikkeling, wat leidt tot circuits met een diepte die te groot is voor huidige "near-term" (NISQ) kwantumprocessors.
2. Ze zijn vaak gevoelig voor ruis en imperfecties in de voorbereiding van de grondtoestand.

Er is behoefte aan een algoritme dat alleen toegang vereist tot een benaderde grondtoestand (via query-access), robuust is tegen ruis, en efficiënt kan werken op huidige hardware.

Methodologie

De auteurs presenteren een hybride kwantum-klassiek algoritme gebaseerd op de Liouvillian-recursiemethode. Het algoritme berekent de Green-functie door observabelen te meten die recursief gegenereerd worden, zonder de noodzaak van tijdsontwikkeling of complexe subspace-diagonalisatie.

Kerncomponenten van de methode:

1. Liouvillian Recursie: In plaats van te werken in de Hilbertruimte van toestandsvectoren, werkt het algoritme in de Hilbertruimte van operatoren. De Liouvillian-operator $L(f) = [H, f]$ (waarbij $H$ de Hamiltoniaan is) wordt gebruikt om nieuwe richtingen in deze operatieruimte te genereren.
2. Voortzetting van Breuken (Continued Fraction): De diagonale elementen van de Green-functie ($r=r'$) worden weergegeven als een voortzetting van breuken in het frequentiedomein:
   $$G_{rr}(\omega) = \frac{1}{\omega - \alpha_0 - \frac{\beta_1^2}{\omega - \alpha_1 - \dots}}$$
   De coëfficiënten $\alpha_k$ en $\beta_k$ worden recursief berekend door het meten van verwachtingswaarden van anticommutatoren en commutatoren op een benaderde grondtoestand $|g\rangle$.
3. Polynoom Decompositie voor Niet-Diagonale Elementen: Voor inter-site elementen ($r \neq r'$) gebruiken de auteurs een polynoomhybride formulering. Dit vereist slechts één extra verwachtingswaarde per iteratie per gewenst niet-diagonaal element, in plaats van een complexe matrixvoortzetting.
4. Energie Schatting: De berekende Green-functies worden gebruikt als input voor de Galitskii-Migdal-formule om de grondtoestandsenergie te schatten. Dit biedt een alternatief voor het direct meten van de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan ($\langle H \rangle$).

Experimentele Opstelling:

• Model: Het open-grens 4-site Fermi-Hubbard-model (8 qubits, 17 Pauli-termen).
• Hardware: IBM Quebec supergeleidende kwantumprocessor (156 qubits).
• Grondtoestanden: Drie verschillende circuits met variërende fideliteit (0.999, 0.963, en 0.768) ten opzichte van de exacte grondtoestand.
• Foutreductie: Toepassing van technieken zoals Twirled Readout Error eXtinction (TREX), Zero Noise Extrapolation (ZNE) en gate twirling.

Belangrijkste Resultaten

1. Snelle Convergentie: Het algoritme convergeert exponentieel snel met het aantal iteraties. Zelfs met circuits met lage fideliteit (0.768) benaderen de resultaten bij iteratie $k=6$ de exacte Green-functie kwalitatief goed.
2. Verbeterde Energieschatting:
   • De energie geschat via de Galitskii-Migdal-formule op basis van de Green-functie is beter dan de directe verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan ($\langle H \rangle$) op de hardware, zelfs wanneer de gebruikte grondtoestand-circuit onnauwkeurig is.
   • Dit geldt zelfs voor circuits met lage fideliteit, wat aantoont dat het algoritme de onnauwkeurigheden in de grondtoestand kan "corrigeren" of verwerken.
3. Robuustheid tegen Ruis: De hardware-resultaten volgen de simulaties nauwkeurig. Interessant genoeg tonen de resultaten aan dat het algoritme inherent robuust is; zelfs bij afwijkingen in de simulatie (bijvoorbeeld bij oneven iteraties door deeltje-gat symmetrie), keren de resultaten terug naar de verwachte waarden bij even iteraties.
4. Computational Cost vs. Convergentie:
   • Het aantal Pauli-operators dat nodig is voor de metingen groeit exponentieel met het aantal iteraties.
   • Echter, omdat de convergentie van de Green-functie (gemeten met de Wasserstein-afstand) ook exponentieel is, compenseert de snelle convergentie de exponentiële kosten.
   • Dit resulteert in een polynomiale complexiteit ($O(1/\epsilon^4)$) ten opzichte van de gewenste nauwkeurigheid ($\epsilon$).

Bijdragen en Significantie

• Nieuw Kwantumalgoritme: Dit paper introduceert een praktische implementatie van Liouvillian-recursie op een echte kwantumprocessor, specifiek ontworpen om zowel diagonale als niet-diagonale Green-functies te berekenen.
• Superioriteit boven Directe Meting: Het toont aan dat het gebruik van Green-functies via de Galitskii-Migdal-formule een krachtigere methode is voor energieschatting dan het direct meten van $\langle H \rangle$, vooral in de aanwezigheid van ruis en imperfecte grondtoestanden.
• Toepasbaarheid voor NISQ: De methode is bij uitstek geschikt voor de huidige generatie kwantumcomputers omdat het geen diepe circuits vereist voor tijdsontwikkeling en tolerant is voor fouten in de initiële grondtoestandvoorbereiding.
• Toekomstperspectief: De resultaten suggereren dat deze methode de basis kan vormen voor nieuwe "impurity solvers" binnen Dynamische Middenveldtheorie (DMFT), wat een cruciale stap is voor het simuleren van sterk gecorreleerde materialen op kwantumcomputers.

Kortom, het paper bewijst dat Liouvillian-recursie een robuuste en efficiënte route biedt om complexe fysieke observabelen te berekenen op near-term kwantumhardware, waarbij de beperkingen van huidige hardware worden omzeild door slimme wiskundige formuleringen en post-processing.