A Note on a Theorem of Apter

Dit artikel toont aan dat de consistentie van ZF met AD_R en de meetbaarheid van Θ de consistentie impliceert van ZF waarin Θ zowel de kleinste sterk regelbare als de kleinste meetbare kardinaal is, terwijl alle onaftelbare kardinalen onder Θ een aftelbare cofinaliteit hebben.

De kern

Hier is een uitleg van dit wiskundige paper, vertaald naar begrijpelijk Nederlands met behulp van creatieve analogieën.

De Grote Droom: Een Wiskundige "Gouden Ezel"

Stel je voor dat wiskundigen een enorme, complexe stad bouwen genaamd V (het Universum). In deze stad gelden bepaalde regels. De belangrijkste regel is vaak de Axioma van Keuze (AC). Dit is als een magische wet die zegt: "Als je een verzameling dozen hebt, kun je altijd uit elke doos precies één voorwerp kiezen, zelfs als je geen idee hebt hoe je dat moet doen."

Deze regel maakt het leven makkelijk voor wiskundigen, maar het heeft een nadeel: het creëert een wereld die soms onnatuurlijk en chaotisch voelt. Het is alsof je een stad bouwt waar je zomaar oneindig veel trappen kunt nemen zonder dat ze ooit eindigen.

In deze paper kijken de auteurs naar een alternatief: Determinantie (AD). Dit is een regel die zegt: "Elk spel dat je speelt met getallen heeft een winnende strategie." In deze wereld (zonder de magische Keuze-regel) gedragen getallen zich veel netter, maar het is ook een heel andere wereld.

Het Probleem: De "Grootste Kleinste"

In de normale wiskunde (met AC) zijn er verschillende soorten "grote getallen" (cardinalen). Sommige zijn gewoon groot, andere zijn "meetbaar" (ze hebben een speciale structuur die ze uniek maakt).

• Meetbare getallen zijn als de koningen van de getallenwereld. Ze zijn enorm machtig.
• Reguliere getallen zijn als de stevige fundamenten van gebouwen; ze kunnen niet worden opgebouwd uit kleinere stukjes.

De vraag die de auteurs zich stellen is: Wat is de kleinste "koning" (meetbaar getal) in deze nieuwe, nettere wereld (zonder AC)?

In het verleden hebben wiskundigen al bewezen dat je de koning zo klein kunt maken als je maar wilt (zelfs zo klein als het eerste oneindige getal, $\omega_1$). Maar de auteurs willen iets specifiekers: Ze willen weten of de kleinste koning ook de kleinste stevige grond (onbereikbaar getal) kan zijn.

De Oplossing: De "Prikker" en de "Symmetrische Spiegel"

De auteurs (Rahman, Otto en Sebastiano) gebruiken een slimme techniek die ze Prikry-forcing noemen. Laten we dit vergelijken met een heel specifieke manier van bouwen:

1. De Prikker (Prikry Forcing):
   Stel je voor dat je een enorme, onbreekbare toren hebt (een groot getal). In de normale wereld is deze toren zo stevig dat je er niet doorheen kunt boren. Maar met de "Prikker" kunnen de auteurs een heel specifiek gat boren in de toren. Ze maken de toren "broos" op een heel specifieke manier: ze maken de toren oneindig hoog, maar ze zorgen ervoor dat je er met een ladder van oneindig veel kleine treden (cofinaliteit $\omega$) in kunt klimmen.

   • Het effect: De toren blijft bestaan, maar hij is nu "gebroken" in de zin dat hij niet meer "onbereikbaar" is voor kleine klimmers.

2. De Spiegel (Symmetrische Uitbreiding):
   De auteurs bouwen nu een heel complex systeem van spiegels. Ze nemen een hele verzameling van deze "grote torens" (alle meetbare getallen onder een bepaalde grens, genaamd $\Theta$) en prikken elk van hen een gat.

   • Ze doen dit op een manier die symmetrisch is. Het is alsof je een enorme kamer vol spiegels hebt. Als je in de ene spiegel kijkt, zie je dat de toren kapot is. Maar door de symmetrie van de kamer, blijft de "hoofdtoer" ($\Theta$) zelf intact en onaangetast door de chaos die je in de kleinere torens veroorzaakt.

Het Resultaat: De Gouden Ezel

Na al dit bouwen en prikken, kijken ze naar hun nieuwe wereld (de "Symmetrische Spiegel"). Wat vinden ze daar?

• Alle kleinere torens (getallen onder $\Theta$) zijn nu "gebroken". Ze zijn niet meer stevig genoeg om "onbereikbaar" te zijn. Ze zijn allemaal opgebouwd uit oneindig veel kleine stukjes.
• De grote toren, $\Theta$, is echter nog steeds stevig! Hij is sterk regulier.
• En nog belangrijker: $\Theta$ is nu ook de kleinste meetbare koning.

In simpele taal:
De auteurs hebben bewezen dat het mogelijk is om een wiskundige wereld te bouwen waarin:

1. Er geen "magische keuze-regel" is.
2. Alle getallen die kleiner zijn dan een bepaald punt ($\Theta$) "zwak" zijn (ze zijn niet onbereikbaar).
3. Dat punt ($\Theta$) zelf de eerste is die zowel "onbereikbaar" (sterk regulier) als een "koning" (meetbaar) is.

Waarom is dit belangrijk?

Vroeger dachten wiskundigen dat je voor zo'n constructie extreem krachtige, bijna goddelijke getallen nodig had (zoals een "Woodin-limit"). Deze paper toont aan dat je dat niet nodig hebt. Je kunt deze specifieke, mooie structuur creëren met minder krachtige middelen.

Het is alsof je eerder dacht dat je een diamant alleen kon maken met een onmogelijk krachtige pers. Deze auteurs tonen aan dat je het ook kunt doen met een slimme, goed ontworpen hamer en een beetje geduld.

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben bewezen dat je een wiskundige wereld kunt ontwerpen waarin de "kleinste koning" en de "sterkste grond" precies hetzelfde getal zijn, door slimme trucs te gebruiken die alle kleinere getallen "zwak" maken zonder de grote te raken.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "A Note on a Theorem of Apter" van Rahman Mohammadpour, Otto Rajala en Sebastiano Thei, geschreven in het Nederlands.

Titel: A Note on a Theorem of Apter

Auteurs: Rahman Mohammadpour, Otto Rajala, Sebastiano Thei
Instituut: IMPAN (Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences)

---

1. Probleemstelling en Context

Het artikel richt zich op de fundamentele vraag in de verzamelingenleer zonder het Axioma van Keuze (AC): wat is de kleinste mogelijke maatbare kardinaal?

• Achtergrond: In de standaard theorie (met AC) is een maatbare kardinaal $\kappa$ een zeer grote kardinaal die een niet-triviale $\kappa$-volledige ultrafilter draagt. Zonder AC kan de structuur van kardinalen drastisch veranderen. Het is bekend dat het consistent is dat $\omega_1$ maatbaar is.
• De uitdaging: Onder de Axioma van Determinantie (AD), die vaak wordt bestudeerd in afwezigheid van AC, zijn alle reguliere kardinalen onder $\Theta$ (de kleinste kardinaal waar de reële getallen niet op afgebeeld kunnen worden) maatbaar. De vraag is hoe klein een maatbare kardinaal kan zijn als deze ook onbereikbaar (inaccessible) moet zijn.
• Eerdere resultaten:
  • Apter [1] toonde aan dat onder AD + $V=L(\mathbb{R})$ de kleinste maatbare kardinaal de kleinste reguliere limietkardinaal kan zijn.
  • Gitik, Hayut en Karagila [5] bewezen dat als $\kappa$ een $\kappa^{++}$-supercompact kardinaal is, er een forcing-extensie bestaat waarin $\kappa$ de kleinste sterk onbereikbare kardinaal is én maatbaar.
• Het doel van dit artikel: De auteurs willen de grote kardinaalsterkte van het resultaat van Gitik, Hayut en Karagila verminderen. Ze introduceren een iets andere definitie van "onbereikbaarheid" (die ze sterk regulier noemen) en tonen aan dat een veel zwakker axioma-systeem voldoende is om een model te construeren waarin $\Theta$ zowel de kleinste onbereikbare als de kleinste maatbare kardinaal is.

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een combinatie van Prikry-forcing en symmetrische extensies binnen het kader van ZF (Zermelo-Fraenkel zonder Keuze).

• Axioma's en Definities:

  • Ze werken vanuit de aanname $ZF + \Theta_{meas}$, wat de conjunctie is van ADR (Axioma van Determinantie voor reële getallen) en de bewering dat er een $R$-volledige maat op $\Theta$ bestaat.
  • Sterk regulier: Een kardinaal $\kappa$ is sterk regulier als hij onteld is en voor elke $\alpha < \kappa$ en elke functie $f: \mathcal{P}(\alpha) \to \kappa$, het bereik van $f$ begrensd is in $\kappa$. Dit is sterker dan de gebruikelijke onbereikbaarheid, maar impliceert regulierheid.
  • ADR: Stelt dat elke $\omega$-lange wisselende tweespeler game met perfecte informatie waarin spelers reële getallen spelen, bepaald is.

• Constructie van het Model:

  1. Prikry-forcing: Voor elke maatbare kardinaal $\kappa < \Theta$ in het basismodel $V$, wordt de Prikry-forcing $\mathbb{P}_\kappa$ gebruikt. Deze forcing maakt de cofinaliteit van $\kappa$ gelijk aan $\omega$ (singuliere macht) terwijl de maatbaarheid behouden blijft in de tussenstappen.
  2. Productforcing: Ze construeren een eindige steun-product $\mathbb{P} = \prod_{\kappa \in M} \mathbb{P}_\kappa$, waarbij $M$ de verzameling is van alle maatbare kardinalen onder $\Theta$.
  3. Symmetrische Extensie: In plaats van een volledige forcing-extensie te nemen, construeren ze een symmetrisch submodel $N$. Dit model wordt gedefinieerd via een inductieve procedure waarbij alleen objecten worden opgenomen die definieerbaar zijn met betrekking tot de "kleine" generieke filters $G_\kappa$ voor eindige deelverzamelingen van $M$.
  4. Behoud van Eigenschappen: De kern van de methode is het bewijzen dat in dit symmetrische model $N$:
     • Alle kardinalen behouden blijven.
     • De cofinaliteit van elke oorspronkelijke maatbare kardinaal $\kappa < \Theta$ wordt $\omega$ (dus ze zijn niet langer regulier).
     • $\Theta$ zelf behoudt zijn maatbaarheid en wordt sterk regulier.

3. Belangrijkste Resultaten

Hoofdstelling (Theorem 1.1):
Aannemende $ZF + \Theta_{meas}$, bestaat er een extensie die voldoet aan $ZF$, waarin:

1. $\Theta$ een sterk reguliere kardinaal is.
2. $\Theta$ de kleinste onteld reguliere kardinaal is.
3. $\Theta$ de kleinste maatbare kardinaal is.
4. Alle onteld kardinalen onder $\Theta$ hebben cofinaliteit $\omega$ (en zijn dus singulier).

Technische Bewijsschreden:

• Behoud van Kardinalen (Lemma 3.5): Het symmetrische model $N$ behoudt de klasse van kardinalen van het basismodel $V$. Dit wordt bewezen door te tonen dat elke functie in $N$ al in een eindige subproduct-extensie $V[G_c]$ zit, en dat deze subextensies kardinalen behouden.
• Verdwijnen van maatbaarheid onder $\Theta$ (Propositie 3.7): Omdat voor elke $\kappa < \Theta$ de Prikry-forcing de cofinaliteit van $\kappa$ naar $\omega$ verandert, kan geen enkel $\kappa < \Theta$ maatbaar blijven in $N$ (een maatbare kardinaal moet regulier zijn).
• Sterke Regulierheid van $\Theta$ (Propositie 3.8): Ze bewijzen dat elke functie $f: \mathcal{P}(\alpha) \to \Theta$ in $N$ begrensd is. Dit volgt uit het feit dat dergelijke functies in eindige subextensies liggen en dat de Axioma van Determinantie (AD) impliceert dat er geen onbegrensde afbeelding van de reële getallen naar $\Theta$ bestaat.
• Behoud van Maatbaarheid van $\Theta$ (Propositie 3.9): Ze tonen aan dat een $R$-volledige normale ultrafilter $\mu$ op $\Theta$ uit het basismodel "opgeheven" (lifted) kan worden naar een maat $\mu^*$ in het model $N$. Dit bewijst dat $\Theta$ maatbaar blijft in de nieuwe wereld.

4. Betekenis en Implicaties

• Verzwakking van Axioma's: Het belangrijkste bijdrage is dat de consistentie van "de kleinste maatbare kardinaal is de kleinste onbereikbare kardinaal" kan worden bewezen vanuit een veel zwakker uitgangspunt dan eerder gedacht. Waar Gitik et al. een Woodin-limit van Woodin-kardinalen nodig leken te hebben, tonen de auteurs aan dat $ZF + \Theta_{meas}$ (wat zwakker is dan een Woodin-limit) voldoende is.
• Nieuwe Definitie van Onbereikbaarheid: Door de focus te leggen op "sterk regulier" in plaats van de standaard definitie van onbereikbaarheid (zoals gebruikt door Gitik et al.), kunnen ze een strakker resultaat behalen. Hoewel deze definities onder AC equivalent zijn, verschillen ze in ZF.
• Open Vragen: Het artikel sluit af met interessante open vragen, zoals of de kleinste onbereikbare kardinaal een maat kan dragen die zich concentreert op punten met cofinaliteit $\omega_1$, en wat de exacte consistentiesterkte is van het samenvallen van de kleinste onbereikbare en maatbare kardinaal.

Conclusie

De auteurs hebben succesvol een model geconstrueerd waarin de hiërarchie van grote kardinalen onder AC wordt "herordend" door middel van Prikry-forcing en symmetrische extensies. Ze tonen aan dat onder de Axioma van Determinantie (en een zwakke variant van een maat op $\Theta$), $\Theta$ de unieke kandidaat kan zijn voor zowel de kleinste onbereikbare als de kleinste maatbare kardinaal, zonder de noodzaak van extreem sterke grote kardinaal-axioma's. Dit verrijkt het begrip van de structuur van kardinalen in de afwezigheid van het Keuzepostulaat.