The number of measures on very large measurable cardinals

Dit artikel toont aan dat, met behulp van consequenties van de Ultrapower Axioma in plaats van inner model-technieken, het aantal normale maten op zeer grote meetbare cardinaalgetallen volledig kan worden voorgeschreven in diverse scenario's, waaronder de eerste $n$ meetbare cardinaalgetallen, de eerste meetbare boven een supercompacte en de eerste meetbare limiet van supercompacte cardinaalgetallen.

De kern

De Aantal-Geheimen van de Reuzen: Een Verhaal over Oneindige Getallen

Stel je voor dat de wiskunde een gigantisch universum is, vol met verschillende soorten "reuzen". Deze reuzen zijn geen monsters, maar speciale getallen die we cardinalen noemen. Sommige zijn gewoon groot, maar er zijn er ook die zo enorm zijn dat ze de regels van de logica zelf lijken te bepalen. De auteurs van dit artikel, Apter, Kaplan en Poveda, hebben zich verdiept in een heel specifiek type reus: de meetbare cardinal.

Om dit verhaal begrijpelijk te maken, gebruiken we een paar analogieën.

1. De Reuzen en hun "Meetinstrumenten"

Stel je een meetbare cardinal voor als een gigantische, magische bal. Op deze bal kun je verschillende soorten "meetinstrumenten" (in de wiskunde: normale maten) plakken.

• Een normaal maat is eigenlijk een manier om te beslissen welke stukken van de bal "belangrijk" zijn en welke niet.
• De grote vraag in de wiskunde was altijd: Hoeveel van deze meetinstrumenten kan zo'n bal eigenlijk dragen?
  • Kan hij er maar één hebben?
  • Kan hij er 100 hebben?
  • Kan hij er oneindig veel hebben?

Vroeger wisten wiskundigen het antwoord alleen voor de "kleinere" reuzen, maar alleen als ze een heel speciaal, ingewikkeld gereedschap gebruikten (de "Inner Model-theorie"). Het probleem was dat dit gereedschap niet werkte voor de aller-grootste reuzen, zoals de supercompacte cardinals. Het was alsof je probeerde een olifant te meten met een liniaal die alleen voor muizen werkt.

2. Het Nieuwe Gereedschap: De "Splitting" (Het Spel van de Spiegels)

De auteurs van dit paper hebben een nieuw, slimmer trucje bedacht. In plaats van die oude, zware gereedschappen te gebruiken, maken ze gebruik van een concept dat ze "Splitting Forcing" noemen.

Stel je dit voor als een spiegelzaal:

• Je hebt één originele spiegel (de oorspronkelijke meetbare cardinal).
• Je plaatst er een reeks nieuwe spiegels voor.
• Door hoe je deze spiegels plaatst, kun je bepalen hoeveel "reflecties" (nieuwe meetinstrumenten) er ontstaan.
• Als je de spiegels op de juiste manier zet, kun je precies bepalen: "Ik wil dat deze bal nu precies 5 meetinstrumenten heeft" of "Ik wil er 1.000.000".

Dit is het grote nieuws: ze kunnen het aantal meetinstrumenten precies naar wens instellen, zelfs voor de aller-grootste reuzen in het universum.

3. De Drie Grote Experimenten

De auteurs tonen in hun paper drie specifieke scenario's waar ze dit nieuwe trucje toepassen:

• Scenario 1: De Reeks van Reuzen
  Stel je een rij van de eerste $n$ reuzen voor (bijvoorbeeld de eerste 3 of 5). Vroeger wisten we dat ze allemaal "sterk compact" konden zijn (een soort superkracht), maar we konden hun "meetinstrumenten" niet goed regelen.

  • De oplossing: Ze laten zien dat je deze rij kunt bouwen waarbij elke reus precies het aantal meetinstrumenten heeft dat jij wilt. De eerste reus heeft er 3, de tweede 10, de derde 100, enzovoort. Ze spelen een soort "lego" met de structuur van het universum.

• Scenario 2: De Reus boven de Superreus
  Stel je een supercompacte cardinal voor (een reus die al zo groot is dat hij bijna niet voor te stellen is). Boven deze superreus zit vaak een andere meetbare cardinal.

  • De oplossing: Ze bewijzen dat je die "bovenliggende" reus kunt manipuleren zodat hij precies het aantal meetinstrumenten krijgt dat je kiest, zonder de superreus eronder te beschadigen. Het is alsof je de decoratie van een dak kunt veranderen zonder het huis eronder in te storten.

• Scenario 3: De Reus die een Stad is
  Er is een heel speciale reus die een "meetbare limiet" is van superreuzen. Dit is een reus die zelf zo groot is dat hij een hele stad van kleinere superreuzen omvat.

  • De oplossing: Zelfs deze enorme, complexe reus kan worden "geprogrammeerd" om precies het gewenste aantal meetinstrumenten te dragen.

4. Waarom is dit belangrijk? (De "HOD" en de Dubbelgangers)

Aan het einde van het paper kijken ze naar een heel diep mysterie: de relatie tussen het echte universum ($V$) en een "interne versie" van het universum die ze HOD noemen (een soort spiegelbeeld of archief).

Stel je voor dat het universum een groot theater is.

• $V$ is het echte toneelstuk dat wordt opgevoerd.
• HOD is het script dat in de kast ligt.

Vaak denkt men dat het script (HOD) precies hetzelfde is als het toneelstuk. Maar de auteurs tonen aan dat je een toneelstuk kunt regisseren waarbij het script (HOD) zegt: "Deze reus heeft maar één meetinstrument," terwijl in het echte toneelstuk ($V$) diezelfde reus misschien superkrachtig is. Ze bewijzen dat je de "reputatie" van een reus in het archief (HOD) kunt veranderen zonder zijn echte kracht aan te tasten.

Samenvatting in Eén Zin

Dit paper laat zien dat wiskundigen nu de macht hebben om het aantal "meetinstrumenten" van de aller-grootste, meest mysterieuze getallen in het universum precies naar wens te programmeren, zelfs als die getallen te groot zijn voor de oude methoden. Ze hebben de sleutel gevonden om de "rekenmachine" van het universum te hacken zonder hem kapot te maken.

Het is alsof ze de regels van de zwaartekracht hebben herschreven om te laten zien dat je een vliegtuig kunt bouwen dat precies de snelheid heeft die jij wilt, zelfs als het vliegt door een storm waar andere vliegtuigen in zouden crashten.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "The Number of Measures on Very Large Measurable Cardinals" van Apter, Kaplan en Poveda, in het Nederlands.

Titel: Het aantal maatstaven op zeer grote meetbare cardinaalgetallen

Auteurs: Arthur W. Apter, Eyal Kaplan, Alejandro Poveda

---

1. Het Probleem

Het artikel onderzoekt de mogelijke aantallen normale maatstaven (normal measures) die een meetbaar cardinaalgetal kan dragen in contexten waar de inner model-theorie (de theorie van canonieke inner modellen) niet beschikbaar is.

• Achtergrond: Een meetbaar cardinaalgetal $\kappa$ is een cardinaliteit waarbij een niet-triviale, $\kappa$-complexe ultrafilter bestaat. Het aantal normale maatstaven op zo'n cardinaliteit is een fundamenteel vraagstuk.
• Bestaande Resultaten: Friedman en Magidor ([14]) hebben dit probleem volledig opgelost voor meetbare cardinaalgetallen die binnen het bereik van de huidige inner model-theorie vallen (zoals die in $L[\vec{U}]$). Hun methode maakt gebruik van forcing over canonieke inner modellen, wat echter afhankelijk is van de fijnstructuur van deze modellen.
• De Beperking: Voor "zeer grote" cardinaalgetallen, zoals de eerste sterk compacte cardinaal of de eerste meetbare limiet van supercompacte cardinaalgetallen, bestaan er geen bekende canonieke inner modellen. De methoden van Friedman-Magidor zijn hier niet toepasbaar.
• Eerdere Alternatieven: Gitik en Kaplan ([17]) probeerden dit te omzeilen door Prikry-achtige forcing iteraties te gebruiken. Deze methode vereist echter sterke "anti-grote cardinal" aannames (bijvoorbeeld dat er geen meetbare cardinaalgetallen boven een bepaalde supercompacte cardinaliteit bestaan) en heeft beperkingen bij het controleren van het aantal maatstaven op de tweede sterk compacte cardinaliteit.

Doel van het artikel: Bewijzen dat men, zonder te vertrouwen op inner model-theorie of anti-grote cardinal aannames, modellen kan construeren waarin zeer grote meetbare cardinaalgetallen een willekeurig voorgeschreven aantal normale maatstaven dragen.

---

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een nieuwe aanpak die de afhankelijkheid van inner model-theorie en Prikry-achtige forcing omzeilt. De kern van hun methode bestaat uit drie pijlers:

1. De Splitting Forcing (Splitsende Forcing):

   • Gebaseerd op werk van Kaplan ([28]) en Goldberg.
   • Dit is een $I$-gespatieerde niet-stationaire support iteratie (nonstationary support iteration) van lengte $\kappa$.
   • Het voegt een "splitsende" functie toe die een enkele normale maatstaf in het grondmodel "splitst" in $\tau$ verschillende maatstaven in de generieke extensie.
   • Voordeel: Het is een eenvoudige forcing die het aantal maatstaven direct controleert zonder complexe coderingsmechanismen die nodig zijn bij de Friedman-Magidor methode.

2. Niet-Reflecterende Stationaire Mengen:

   • Gebruik van forcing $NR(\alpha)$ om niet-reflecterende stationaire verzamelingen toe te voegen aan cardinaalgetallen.
   • Dit zorgt ervoor dat cardinaalgetallen in bepaalde intervallen hun meetbaarheid verliezen, waardoor de auteurs kunnen controleren welke cardinaalgetallen de "eerste" meetbare of sterk compacte cardinaalgetallen worden.

3. De Ultrapower Axioma (UA) en Mitchell Orde:

   • De resultaten worden bewezen onder de aanname van het Ultrapower Axioma (UA) (of een zwakker gevolg daarvan: de lineariteit van de Mitchell orde).
   • Cruciale aanname: In het grondmodel draagt elke relevante meetbare cardinaliteit precies één normale maatstaf met Mitchell-orde 0.
   • UA garandeert dat er geen "verwarrende" maatstaven zijn en dat de structuur van de universe voorspelbaar blijft, wat het mogelijk maakt om de splitting forcing succesvol toe te passen op zeer grote cardinaalgetallen.

4. Indestructibility Preparations:

   • De auteurs gebruiken een aangepaste versie van de Laver-preparatie (via niet-stationaire support iteraties) om supercompactheid en sterk compactheid onvernietigbaar te maken onder $\kappa^+$-gedirigeerd gesloten forcing, terwijl ze tegelijkertijd het aantal maatstaven beheersen.

---

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

De paper presenteert een reeks stellingen die de controle over het aantal normale maatstaven uitbreiden naar niveaus die voorheen ontoegankelijk waren.

Stelling 3.1: De eerste $n$ meetbare cardinaalgetallen

• Resultaat: Gegeven $n$ supercompacte cardinaalgetallen $\kappa_0, \dots, \kappa_{n-1}$, bestaat er een generieke extensie waarin deze de eerste $n$ sterk compacte én de eerste $n$ meetbare cardinaalgetallen zijn.
• Controle: Elk $\kappa_i$ draagt precies $\tau_i$ normale maatstaven (waarbij $\tau_i \leq \kappa_i^{++}$ willekeurig is).
• Innovatie: Dit combineert het klassieke Kimchi-Magidor-resultaat (dat de eerste $n$ meetbare cardinaalgetallen sterk compact kunnen zijn) met volledige controle over het aantal maatstaven, zonder anti-grote cardinal aannames.

Stelling 3.2: De eerste meetbare boven een supercompacte

• Resultaat: Als $\kappa$ supercompact is en $\lambda$ de eerste meetbare cardinaliteit boven $\kappa$ is, dan kan $\lambda$ in een forcing-extensie precies $\tau$ normale maatstaven dragen (voor elke $\tau \leq \lambda^{++}$).
• Significantie: De methode van Friedman-Magidor faalde hier omdat deze over $L[U]$ werkt en supercompacte cardinaalgetallen vernietigt. De splitting forcing behoudt de supercompactheid van $\kappa$ terwijl het het aantal maatstaven op $\lambda$ regelt.

Stelling 3.3: De eerste meetbare limiet van supercompacte cardinaalgetallen

• Resultaat: Laat $\kappa$ de eerste meetbare limiet van supercompacte (of sterke) cardinaalgetallen zijn. Dan kan $\kappa$ in een extensie precies $\tau$ normale maatstaven dragen, terwijl het de eerste meetbare limiet blijft.
• Context: Onder UA is zo'n $\kappa$ per definitie sterk compact maar niet supercompact. De stelling toont aan dat zelfs op dit complexe niveau het aantal maatstaven volledig controleerbaar is.

Stelling 3.5: Versterking van het Goldberg-Woodin Theorema

• Resultaat: Onder de aanname van UA en een meetbare limiet van supercompacte cardinaalgetallen, kan men een model construeren waarin de eerste meetbare cardinaliteit ook de eerste sterk compacte cardinaliteit is, en precies $\tau$ normale maatstaven draagt.
• Verschil met eerdere werk: Eerdere bewijzen (zoals in [17]) vereisten anti-grote cardinal aannames (geen meetbare cardinaalgetallen boven een zekere grens). Dit resultaat bereikt hetzelfde zonder die beperkende aannames.

Stelling 4.4: HOD Hypothesis en Supercompactheid

• Resultaat: De auteurs verbeteren een resultaat van Goldberg, Osinski en Poveda. Ze construeren een model waar de HOD-hypothese geldt, de eerste supercompacte cardinaliteit $\kappa$ supercompact is in $V$, maar in HOD (de klasse van herleidbaar ordinaal definieerbare verzamelingen) slechts sterk compact is en precies één normale maatstaf draagt.
• Betekenis: Dit toont een scherpe scheiding tussen de structuur van $V$ en HOD, zelfs onder de HOD-hypothese.

---

4. Significatie en Impact

1. Omzeiling van Inner Model-theorie: Het artikel bewijst dat men fundamentele vragen over het aantal maatstaven op zeer grote cardinaalgetallen kan beantwoorden zonder de constructie van inner modellen voor supercompacte cardinaalgetallen (die momenteel niet bestaat).
2. Flexibiliteit van Splitting Forcing: De "splitting forcing" wordt geïntroduceerd als een krachtig en flexibel alternatief voor Prikry-achtige forcing. Het is eenvoudiger te combineren met andere forcing-technieken (zoals indestructibility-preparaties) en behoudt beter de oorspronkelijke grote cardinal-structuren.
3. Unificatie van Resultaten: De auteurs slagen erin om klassieke resultaten (Kimchi-Magidor) te verenigen met moderne technieken (UA, splitting forcing) om een volledig beeld te schetsen van de mogelijke configuraties van normale maatstaven op de hoogste niveaus van de grote cardinal-hiërarchie.
4. HOD en Supercompactheid: De resultaten bieden nieuwe inzichten in de relatie tussen de universe $V$ en HOD, en tonen aan dat de supercompactheid van een cardinaliteit in $V$ niet noodzakelijk impliceert dat deze supercompact is in HOD, zelfs niet als de HOD-hypothese geldt.

Conclusie: Dit werk markeert een belangrijke stap vooruit in de set-theorie door de controle over normale maatstaven uit te breiden naar de grenzen van wat momenteel mogelijk is met de huidige kennis van grote cardinaalgetallen, puur door middel van geavanceerde forcing-technieken en de Ultrapower Axioma.