Beyond Black-Scholes: A Computational Framework for Option Pricing Using Heston, GARCH, and Jump Diffusion Models

Each language version is independently generated for its own context, not a direct translation.

Van een Statische Kaart naar een Live Navigatiesysteem: Een Simpele Uitleg van dit Onderzoek

Stel je voor dat je een dure auto (een optie) wilt kopen. De prijs van deze auto hangt af van hoe de prijs van de onderliggende motor (de aandelen) zich in de toekomst gaat gedragen.

Vroeger gebruikten financieel experts een heel oude, simpele kaart: het Black-Scholes-model. Dit model werkte als een statische GPS die uitging van één ding: dat de weg altijd even glad is en dat de auto nooit plotseling remt of versnelt. Het ging ervan uit dat de "schokkerigheid" van de weg (de volatiliteit) altijd hetzelfde blijft.

Het Probleem:
In het echte leven is de weg nooit zo glad. Soms is er een storm (crisis), soms springt de auto ineens een gat in (een plotselinge koersstijging of -daling door nieuws), en soms is de weg erg hobbelig (volatiliteit verandert constant). De oude kaart gaf dan vaak de verkeerde prijs voor je auto.

De Oplossing in dit Onderzoek:
De auteurs van dit paper (Karmanpartap en Pranshi) hebben een nieuw, slim reken-systeem gebouwd dat veel beter werkt dan die oude kaart. Ze gebruiken een techniek genaamd Monte Carlo-simulatie.

De Analogie van de Simulatie:
In plaats van één voorspelling te doen, laat dit systeem een computer 10.000 keer een denkbeeldige reis maken met de auto. Het kijkt naar alle mogelijke routes die de auto zou kunnen nemen: soms gaat hij snel, soms langzaam, soms maakt hij een bocht. Door al die 10.000 reizen bij elkaar op te tellen, krijgen ze een veel nauwkeurigere voorspelling van de prijs.

Maar ze zijn niet gestopt bij alleen "veel reizen". Ze hebben drie slimme upgrades toegevoegd om de simulatie nog realistischer te maken:

1. De GARCH-Upgrade: De Weervoorspeller

Soms is de weg vandaag glad, maar morgen juist erg glad of juist erg hobbelig.

Wat het doet: Het GARCH-model kijkt naar het weer van de afgelopen dagen (historische data) om te voorspellen hoe hobbelig de weg morgen zal zijn.
Voorbeeld: Als het de afgelopen week veel gespoten heeft, weet dit model dat de weg morgen waarschijnlijk nog nat en glad is. Het past de "schokkerigheid" dus dynamisch aan, in plaats van te denken dat het altijd zonnig is.

2. Het Heston-Model: De Zenuwachtige Chauffeur

In de oude theorie was de snelheid van de auto (de volatiliteit) constant. Maar in het echt kan een auto plotseling veel sneller of langzamer gaan rijden, en die snelheid kan ook zelf weer veranderen.

Wat het doet: Het Heston-model gaat ervan uit dat de "schokkerigheid" van de weg zelf ook beweegt en verandert. Het is alsof de chauffeur zelf nerveus wordt als de weg slecht is, waardoor hij nog meer schokt.
Het resultaat: Dit model pakt de complexe patronen in de markt veel beter op, zoals het feit dat slechte tijden vaak leiden tot nog slechtere tijden (een "cluster" van schokkerigheid).

3. De Merton Jump-Diffusie: De Sprong in het Spoor

Soms gebeurt er iets totaal onverwachts: een aardbeving of een groot nieuwsbericht. De auto springt dan ineens een meter op of daalt plotseling. De oude modellen dachten dat de auto altijd soepel reed.

Wat het doet: Dit model voegt een "spring-component" toe. Het berekent de kans dat de auto ineens een grote sprong maakt (een 'jump').
Voorbeeld: Als er plotseling nieuws komt over een nieuwe batterij voor Tesla, kan de koers direct 10% omhoog schieten. Dit model vangt die sprong op, terwijl de oude modellen dachten dat de auto dat nooit zou doen.

De Slimme Truc: Machine Learning

Om al deze modellen perfect af te stellen, hebben de auteurs machine learning gebruikt.

Analogie: Stel je voor dat je een raceauto instelt. Je draait aan de wielen, de vering en de motor. In het verleden deden mensen dit handmatig. Dit systeem gebruikt een slimme computer (een optimizer) die automatisch duizenden kleine aanpassingen doet totdat de auto precies rijdt zoals de echte markt doet. Het "leert" dus zelf de beste instellingen.

Wat hebben ze ontdekt?

Ze hebben dit getest op echte aandelen zoals Tesla, Meta en AMC.

Het resultaat: De oude methoden (Black-Scholes) waren vaak te simpel en gaven een prijs die te ver afweek van de werkelijkheid, vooral bij aandelen die veel bewegen of bij plotselinge nieuwsflitsen.
De nieuwe combinatie (Monte Carlo + Heston + Jump Diffusion + Machine Learning) gaf prijzen die veel dichter bij de echte marktprijzen lagen.

Conclusie in één zin

Dit onderzoek zegt eigenlijk: "Vergeet die oude, statische kaarten. Als je duizenden mogelijke toekomstige routes simuleert, rekening houdt met veranderend weer, en slimme computers gebruikt om de instellingen te perfectioneren, dan kun je de prijs van een optie veel beter voorspellen dan ooit tevoren."

Het is de overstap van een statische landkaart naar een live, zelflerend navigatiesysteem voor de financiële wereld.

Each language version is independently generated for its own context, not a direct translation.

Technische Samenvatting: Beyond Black-Scholes

Auteur(s): Karmanpartap Singh Sidhu & Pranshi Saxena (University of Southern California)
Doel: Het ontwikkelen van een robuust computeraal kader voor het nauwkeuriger waarderen van opties door de beperkingen van het traditionele Black-Scholes-model te overwinnen.

1. Probleemstelling

Het traditionele Black-Scholes (BS) model, hoewel wijdverbreid vanwege zijn eenvoud en gesloten vormoplossing, heeft fundamentele beperkingen die het minder geschikt maken voor complexe, dynamische markten:

Constante volatiliteit: Het model gaat uit van een constante volatiliteit, terwijl deze in werkelijkheid fluctueert en "clustert" (bijv. tijdens financiële crises).
Geen jumps: Het veronderstelt dat activa prijzen continu bewegen (Geometrische Brownse Beweging), wat abrupte prijsstijgingen of -dalingen (jumps) door geopolitieke of economische schokken negeert.
Beperkingen bij Amerikaanse opties: Het is primair ontworpen voor Europese opties en faalt bij pad-afhankelijke opties of wanneer dividenden een rol spelen.
Realiteit: De markt vertoont vaak een "volatiliteitsskew" en "volatiliteitsclustering", wat het BS-model onderprijsing of overprijsing van opties veroorzaakt.

Het doel van dit onderzoek is een flexibel, computergestuurd framework te creëren dat deze realistische marktdynamiek kan modelleren.

2. Methodologie

De auteurs hebben een computeraal framework ontwikkeld in Python dat Monte Carlo-simulaties combineert met geavanceerde stochastische modellen. Het onderzoek omvat vier hoofdcomponenten:

A. Basis: Monte Carlo met Geometrische Brownse Beweging (GBM)

Principe: Simulatie van duizenden mogelijke prijsroutes van de onderliggende activa.
Vergelijking: $dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$ .
Implementatie: 10.000 simulaties met 100 tijdstappen. De optieprijs wordt berekend als de gediskonteerde verwachte uitbetaling ( $e^{-rT} \times \text{Average Payoff}$ ).
Rol: Dient als benchmark voor de geavanceerdere modellen.

B. Merton Jump-Diffusion Model

Innovatie: Voegt een "jump-component" toe aan de GBM om abrupte prijsbewegingen te modelleren.
Vergelijking: $dS(t) = S(t)[\mu dt + \sigma dW(t) + (J-1)dN(t)]$ , waarbij $J$ een jump is en $N(t)$ een Poisson-proces.
Optimalisatie: Gebruik van Machine Learning (L-BFGS-B optimizer) om de parameters van de jumps ( $\lambda_j, \mu_j, \sigma_j$ ) te calibreren op basis van historische data en marktwaarden. Het doel is het minimaliseren van de kwadratische fout tussen modelprijs en marktprijs.

C. GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model

Innovatie: Modelleren van tijdsafhankelijke volatiliteit. GARCH(1,1) voorspelt de toekomstige volatiliteit op basis van historische schokken en eerdere volatiliteit (volatiliteitsclustering).
Implementatie: De voorspelde volatiliteit uit het GARCH-model wordt als input gebruikt voor de Monte Carlo-simulatie, in plaats van een constante $\sigma$ .
Doel: Het voorspellen van optieprijzen voor de komende dagen (bijv. 19-21 november 2024) met een realistischere volatiliteitsschatting.

D. Heston Model (Stochastische Volatiliteit)

Innovatie: Modelleren van volatiliteit als een stochastisch proces dat correleert met de activa-prijs.
Vergelijking:
- Prijs: $dS(t) = S(t)(\mu dt + \sqrt{v(t)} dW_1(t))$
- Variantie: $dv(t) = \kappa(\theta - v(t))dt + \sigma_v\sqrt{v(t)} dW_2(t)$
Optimalisatie: Net als bij Merton worden de parameters ( $\kappa, \theta, \sigma_v$ ) geoptimaliseerd met L-BFGS-B om de voorspelde variantie te laten overeenkomen met historische variantie. Dit model kan de "volatiliteitsskew" beter vangen.

Data: Live en historische data van Yahoo Finance voor een portefeuille van vijf aandelen met verschillende bedrijfsmodellen en volatiliteiten: Tesla (TSLA), Meta (META), AMC Entertainment, MARA Holdings (crypto-mining), en Shopify (SHOP).

3. Belangrijkste Resultaten

De resultaten, gebaseerd op experimenten uitgevoerd in november 2024, tonen aan dat de geavanceerde modellen significant beter presteren dan het standaard Black-Scholes/GBM-model:

Heston Model:
- Leverde de meest consistente resultaten op, met de kleinste afwijkingen ten opzichte van de marktprijzen voor zowel Tesla als AMC.
- Het model slaagde erin de stochastische aard van volatiliteit te vangen, wat leidde tot nauwkeurigere schattingen, vooral bij langere looptijden en dynamische markten.
- Voorbeeld (Tesla): Bij een strike van $170 was de Heston-schatting ($150.35) dichter bij de marktprijs ($149.53) dan het GBM-model ($151.69).
Merton Jump-Diffusion:
- Werkte goed voor activa met hoge volatiliteit en neiging tot plotselinge bewegingen (zoals MARA en AMC).
- Het model neigde echter tot een lichte overwaardering bij hoge strikeprijzen, waarschijnlijk omdat de historische data onvoldoende was om de volledige stochastische volatiliteit te vangen.
GARCH Model:
- Verbeterde de voorspelling van toekomstige optieprijzen door dynamische volatiliteit te gebruiken.
- Toonde een vergelijkbare trend als de marktprijzen, maar vertoonde afwijkingen bij zeer lage liquiditeit (out-of-the-money opties), wat wijst op de beperkingen van puur historische data bij plotselinge marktsentimenten.
Algemene Trend:
- Het traditionele GBM-model neigde tot overwaardering bij lage strikeprijzen en onderwaardering bij hoge strikeprijzen.
- De geavanceerde modellen (Heston en Merton) reduceerden deze bias aanzienlijk.

4. Bijdragen en Significatie

Technische Integratie: Het paper demonstreert succesvol de integratie van klassieke financiële wiskunde (stochastische differentialen) met moderne machine learning-technieken (L-BFGS-B optimalisatie) voor parameter-calibratie.
Praktische Toepasbaarheid: Het biedt een unificerend kader dat traders en financiële managers kan helpen bij het opstellen van betere hedge-strategieën en investeringsbeslissingen door de kloof tussen theoretische aannames en marktrealiteit te overbruggen.
Robuustheid: Door gebruik te maken van Monte Carlo-simulaties met diverse modellen, biedt het framework een robuuste oplossing voor pad-afhankelijke opties en complexe marktomstandigheden waar gesloten vormoplossingen (zoals Black-Scholes) falen.

Toekomstperspectief:
De auteurs suggereren als volgende stappen het gebruik van Neurale Netwerken (bijv. LSTM) voor nog geavanceerdere parameteroptimalisatie en het verkennen van Quantum Walks voor het simuleren van prijsroutes, wat potentieel rekenkundige voordelen biedt voor het modelleren van complexe derivaten.

Conclusie

Dit onderzoek bevestigt dat het verlaten van de aannames van het Black-Scholes-model ten gunste van stochastische volatiliteit (Heston), jumps (Merton) en tijdsafhankelijke volatiliteit (GARCH), in combinatie met Monte Carlo-simulatie en ML-optimalisatie, leidt tot aanzienlijk nauwkeurigere optieprijzen in realistische marktomstandigheden.