On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two $CES$ production functions

Dit artikel toont aan dat een algemeen Bond-type endogeen groeimodel met twee verschillende CES-productiefuncties geen zadelpad-stabiliteit bezit.

De kern

De Stabiele Weg in de Economie: Een Verhaal over Twee Fabrieken en een Verrassende Wending

Stel je voor dat de economie een enorme, complexe machine is die nooit stopt. Deze machine heeft twee hoofdonderdelen:

1. De Productiehal: Hier worden goederen gemaakt (zoals auto's en brood) en machines gebouwd.
2. De School: Hier worden mensen opgeleid en vaardigheden aangeleerd (menselijk kapitaal).

In de economische wereld proberen wetenschappers te begrijpen hoe deze machine zich gedraagt. Een beroemde theorie uit 1996, bedacht door Bond en zijn collega's, stelde dat deze machine altijd een stabiele, evenwichtige weg volgt. Ze zeiden: "Als je de machine een klein duwtje geeft, komt hij vanzelf weer terug op het juiste spoor. Dit noemen we 'zadel-pads-stabiliteit' (saddle-path stability). Het is alsof je een bal op een zadel legt; hij rolt terug naar het midden als je hem een beetje duwt."

De Nieuwe Ontdekking: De Bal Rolt niet Altijd Terug

Constantin Chilarescu, de auteur van dit paper, kijkt naar die theorie en zegt: "Wacht even, dat klopt niet altijd."

Hij pakt een heel specifiek type machine: een waarbij de twee fabrieken (Productie en School) werken met verschillende recepten voor het mengen van hun ingrediënten. In de economische taal noemen we dit "CES-productiefuncties". Het is alsof de ene fabriek zijn ingrediënten (arbeid en machines) heel strikt in een vaste verhouding moet mengen, terwijl de andere fabriek veel flexibeler is en kan schakelen.

Het Grote Probleem: De Verwarring

Chilarescu doet de wiskundige berekeningen voor deze specifieke, flexibele machine. Zijn conclusie is verrassend en een beetje onrustbarend voor de economen:

Je kunt niet garanderen dat de machine stabiel is.

Waarom? Omdat de wiskunde laat zien dat er een "dubbelzinnigheid" ontstaat.

• In de oude theorie (Bond) was het alsof je een auto had met twee wielen die perfect op elkaar afgestemd waren. Als je stuurde, wist je precies waar je naartoe ging.
• In Chilarescu's nieuwe model (met twee verschillende recepten) is het alsof je een auto hebt waarbij de voorwielen en achterwielen op een andere manier draaien. De wiskundige "kompasnaald" (de Jacobiaan-matrix) wijst naar nul.

Een Simpele Analogie: De Twee Dansers

Stel je voor dat de economie twee dansers zijn die samen een dans moeten doen:

• Danser 1 (Productie) draait in een strakke, vaste pas.
• Danser 2 (Onderwijs) draait in een losse, improviserende pas.

Bond zei: "Als ze een beetje uit het ritme raken, vinden ze elkaar vanzelf weer."
Chilarescu zegt: "Nee, omdat hun passen zo verschillend zijn, weten we niet zeker of ze elkaar ooit weer vinden. Soms kunnen ze in een cirkel blijven draaien, soms uit elkaar drijven. De 'stabiele weg' is niet meer gegarandeerd."

Wat betekent dit voor de echte wereld?

1. Geen Zekerheid meer: Economen kunnen niet meer zomaar zeggen: "Geef de economie een kleine stimulans en hij komt vanzelf terug." Bij dit type economieën (waar de sectoren heel verschillend werken) kan het zijn dat kleine veranderingen leiden tot grote, onvoorspelbare uitkomsten.
2. De Wiskunde is lastig: De auteur laat zien dat de standaardformules die economen gebruiken om stabiliteit te bewijzen, hier "vastlopen" (de noemer wordt nul). Je hebt dus veel diepere, complexere analyses nodig om te zien wat er gebeurt.
3. Het is niet altijd slecht: In een apart hoofdstuk kijkt hij naar een speciaal geval (waar de recepten gelijk zijn, zoals bij de oude theorie). Daar werkt het nog steeds perfect. Maar zodra je die verschillen introduceert, breekt de stabiliteit.

Conclusie in Gewone Taal

Dit paper is een waarschuwing voor economen. Het zegt: "We denken dat we begrijpen hoe de economie zich herstelt na een crisis, maar als de verschillende delen van de economie (zoals industrie en onderwijs) te verschillend werken, is die zekerheid weg."

Het is alsof je dacht dat een bootje altijd terug drijft naar de haven als je er een duwtje geeft. Chilarescu laat zien: "Niet als de wind uit twee verschillende richtingen waait en de roerpijp van de boot anders werkt dan de zeilen. Dan kun je niet garanderen dat je terugkomt."

Kort samengevat:

• Oude theorie: De economie is als een trein op rails; hij komt altijd terug op het juiste spoor.
• Nieuwe theorie (Chilarescu): Als de rails te verschillend zijn (verschillende productierecepten), kun je niet zeggen of de trein op het spoor blijft of er afrijdt. De "stabiele weg" is niet langer gegarandeerd.

Technische samenvatting

Titel en Context

Het artikel onderzoekt de stabiliteit van het evenwichtspunt (steady-state) in een algemeen model van endogene groei, specifiek het Bond-type model met twee sectoren. De kern van het onderzoek ligt in het gebruik van twee distincte CES-productiefuncties (Constant Elasticity of Substitution) voor de goederensector en de onderwijssector, in plaats van de gebruikelijke Cobb-Douglas-functies of specifieke functionele vormen die in eerdere literatuur werden gebruikt.

Het Probleem

In de referentiepaper van Bond et al. (1996) wordt beweerd dat hun algemene twee-sectorenmodel van endogene groei wordt gekenmerkt door het bestaan en de uniciteit van een gebalanceerd groeievenwicht, en dat dit systeem saddle-path stabiel is (zadelweg-stabiel).
Chilarescu betwist deze laatste stelling. Het doel van dit paper is te bewijzen dat de claim van saddle-path stabiliteit niet waar is voor een algemeen model met twee verschillende CES-productiefuncties. De auteur toont aan dat de dynamica van het systeem complexer is dan eerder werd aangenomen en dat de stabiliteit niet gegarandeerd kan worden verklaard via de standaard Jacobiaanse analyse.

Methodologie

1. Modelopbouw:

   • Het model omvat twee sectoren: een goederensector (productie van consumptiegoederen en fysiek kapitaal $k$) en een onderwijssector (productie van humaan kapitaal $h$).
   • Beide sectoren opereren onder constante schaalopbrengsten.
   • De productie wordt gemodelleerd met twee verschillende CES-functies, waarbij de substitutie-elasticiteiten ($\sigma_1$ en $\sigma_2$) en de parameters ($\psi_1$ en $\psi_2$) verschillend zijn ($\sigma_1 \neq \sigma_2$).
   • Het doel is het maximaliseren van de intertemporele nutsfunctie van een representatieve agent, onderworpen aan de kapitaalaccumulatievergelijkingen.

2. Hamiltoniaanse Analyse:

   • De auteur gebruikt de Hamiltoniaanse methode om de optimale paden te vinden.
   • Er worden drie controlevaariabelen gedefinieerd: consumptie ($c$), het aandeel fysiek kapitaal in de goederensector ($v$), en het aandeel humaan kapitaal in de goederensector ($u$).
   • De toestandsvariabelen zijn $k$ en $h$.
   • Door differentiatie van de Hamiltoniaan worden de eerste-orde voorwaarden afgeleid, inclusief de co-state variabelen ($\lambda$ en $\mu$).

3. Transformatie naar Stationaire Variabelen:

   • Om de stabiliteit rond het steady-state te analyseren, transformeert de auteur het systeem van vijf variabelen (waarvan drie met een positieve groeivoet) naar stationaire variabelen:
     • $z = k/h$ (verhouding kapitaal/humaan kapitaal)
     • $q = c/k$ (consumptie-kapitaal ratio)
     • $u$ en $v$ (allocatie-variabelen)
   • Dit leidt tot een systeem van vijf differentiaalvergelijkingen dat de dynamiek rond het evenwicht beschrijft.

Belangrijkste Resultaten

1. Existentie en Uniciteit van het Steady-State:

   • De auteur bewijst dat er onder bepaalde voorwaarden (gerelateerd aan de tijdsvoorkeursvoet $\rho$, de elasticiteit van intertemporele substitutie $\varepsilon$, en de afschrijvingspercentages) een uniek gebalanceerd groeipad bestaat.
   • Op dit pad groeien alle endogene variabelen ($k, h, c$) met dezelfde constante snelheid $r^*$.
   • De transversaliteitsvoorwaarden worden voldaan, wat bevestigt dat het gevonden steady-state de unieke optimale oplossing is.

2. De Stabiliteitskwestie (Het Kernresultaat):

   • Bij de analyse van de stabiliteit van het lineairisierte systeem rond het steady-state, wordt de Jacobiaan-matrix geëvalueerd.
   • Een cruciale observatie is dat de nieuwe stationaire variabele $z = k/h$ expliciet afhangt van de controlevaariabelen $u$ en $v$ (via de relatie $z = \theta w \frac{u}{v}$, waarbij $w$ een functie is van $u$ en $v$).
   • Door deze expliciete afhankelijkheid is de determinant van de Jacobiaan-matrix (geëvalueerd op het steady-state) gelijk aan nul.
   • Conclusie: Een determinant van nul betekent dat het systeem niet noodzakelijk saddle-path stabiel is. De standaard methode om stabiliteit te bepalen (het tellen van positieve en negatieve eigenwaarden in een niet-singulier systeem) faalt hier. De nul-determinant wijst op een bifurcatiepunt of complexer gedrag, en vereist verdere analyse van de eigenwaarden die niet eenduidig is.
   • De auteur concludeert dus dat de stelling van Bond et al. (dat het systeem altijd saddle-path stabiel is) onjuist is voor het geval van twee distincte CES-functies.

3. Vergelijking met Cobb-Douglas:

   • In sectie 4.1 wordt het model getest met twee Cobb-Douglas-functies (een speciaal geval van CES).
   • In dit specifieke geval blijkt uit numerieke simulaties dat er wel sprake is van saddle-path stabiliteit (minstens één negatieve eigenwaarde).
   • Dit contrasteert met het algemene CES-geval, wat de gevoeligheid van de stabiliteitsconclusie voor de keuze van de productiefunctie onderstreept.

Significantie en Conclusie

• Theoretische Correctie: Het paper corrigeert een fundamentele aanname in de endogene groeitheorie. Het toont aan dat generalisaties van modellen (van Cobb-Douglas naar CES) niet automatisch de stabiliteitseigenschappen behouden.
• Methodologische Inzicht: Het artikel benadrukt het belang van het controleren van de rang en determinant van de Jacobiaan-matrix bij het analyseren van dynamische systemen met gekoppelde stationaire variabelen. Een nul-determinant is een signaal voor complexer gedrag dan een simpele zadelweg-stabiliteit.
• Beperkingen: Hoewel de auteur bewijst dat saddle-path stabiliteit niet gegarandeerd is voor het algemene CES-geval, biedt het paper geen alternatieve stabiliteitsvoorwaarden voor dit specifieke geval, maar wijst het eerder op de noodzaak van diepere analyse (bijv. via centrumvariabele-manifold theorie of verdere numerieke inspectie van de eigenwaarden).

Kortom, Chilarescu demonstreert dat de stabiliteit van het steady-state in endogene groeimodellen sterk afhankelijk is van de specifieke functionele vorm van de productiefuncties, en dat de algemene claim van Bond et al. (1996) niet standhoudt wanneer men uitwijkt naar distincte CES-functies.