Dynamic scaling and Family-Vicsek universality in the Hubbard model at infinite temperature

Dit artikel onderzoekt de Family-Vicsek-schaling van lading-, spin- en energiestochastiek in het eendimensionale Hubbard-model bij oneindige temperatuur, waarbij wordt onthuld dat hoewel integreerbare systemen ballistische of KPZ-transportregimes vertonen en het verbreken van integrabiliteit leidt tot diffusie, alle gevallen een universele korte-tijd ballistische groei vertonen voordat ze hun respectieve hydrodynamische schaalvensters betreden.

De kern

Stel je een lange, drukke gang voor vol met mensen (elektronen) die naar links of rechts kunnen bewegen. Deze gang stelt een eendimensionale keten van atomen voor in een materiaal dat het Hubbard-model wordt genoemd. Het onderzoek onderzoekt hoe "rommeligheid" of "fluctuaties" zich verspreiden door deze gang wanneer iedereen chaotisch beweegt met maximale snelheid (oneindige temperatuur).

De onderzoekers proberen een simpele vraag te beantwoorden: Hoe groeit de wanorde in een specifieke sectie van deze gang in de loop van de tijd?

Om dit te visualiseren, kun je de "rommeligheid" zien als de hoogte van een zandstapel of de ruwheid van een muur die wordt geschilderd. In de natuurkunde wordt dit Family-Vicsek schaling genoemd. Het is een regelboek dat voorspelt hoe ruw een oppervlak wordt op basis van twee dingen: hoe groot de sectie is waar je naar kijkt, en hoeveel tijd er is verstreken.

Hier is wat het onderzoek heeft ontdekt, uitgelegd aan de hand van alledaagse concepten:

1. De drie soorten "verkeer"

De onderzoekers keken naar drie verschillende zaken die door de gang bewegen:

• Lading (Charge): De beweging van de mensen zelf (elektronen).
• Spin: De richting waarin mensen staan (omhoog of omlaag).
• Energie: De totale activiteit of de "buzz" van de menigte.

Ze ontdekten dat de verspreiding van deze drie zaken volledig afhangt van de "spelregels" (de interacties tussen de mensen).

2. De drie scenario's

Scenario A: De vrij stromende menigte (geen interacties)
Stel je voor dat de mensen in de gang helemaal niet tegen elkaar botsen. Ze lopen gewoon rechtdoor.

• Resultaat: Alles beweegt in een rechte lijn met een constante snelheid. Dit wordt ballistisch transport genoemd.
• Analogie: Zoals auto's op een lege snelweg zonder verkeerslichten. Als je naar een sectie van de weg kijkt, groeit de "rommeligheid" (fluctuaties) gestaag en voorspelbaar.
• Wie gedraagt zich zo? Lading, Spin en Energie doen dit allemaal wanneer er geen interacties zijn.

Scenario B: De "integreerbare" menigte (strikte regels, maar wel interacties)
Stel je nu voor dat de mensen wel tegen elkaar botsen, maar dat ze een zeer strikte, magische set regels volgen (mathematische "integreerbaarheid") die totale chaos voorkomt. Ze kunnen niet doen wat ze willen; hun bewegingen zijn zeer gecoördineerd.

• Lading & Spin: Deze twee raken verstrikt in een vreemde, super-diffuse staat die KPZ-schaling wordt genoemd.
  • Analogie: Stel je een menigte voor die probe_ert een rij te vormen, maar ze botsen steeds tegen elkaar aan op een manier die een "verkeersopstopping" creëert die sneller groeit dan normaal, maar langzamer dan een vrije stroom. Het is als een golf van mensen die door een concertzaal beweegt waarbij iedereen probeert synchroon te dansen, maar elkaar in de weg zit. De "ruwheid" groeit in een specifiek, gebogen patroon.
• Energie: Verrassend genoeg beweegt de energie nog steeds zoals de vrij stromende menigte (Ballistisch).
  • Analogie: Zelfs al botsen de mensen tegen elkaar aan, de "buzz" of de "hitte" van de kamer schiet nog steeds direct door de ruimte, ongeïrriteerd door de verkeersopstopping van de mensen zelf.

Scenario C: De chaotische menigte (gebroken regels)
Ten slotte braken de onderzoekers de magische regels door een nieuwe, rommelige interactie toe te voegen (mensen die tegen de buren van hun buren botsen). Dit vernietigt de "integreerbaarheid".

• Resultaat: Alles wordt diffusief.
• Analogie: Dit is als een druk feestje waar iedereen tegen iedereen willekeurig botst. Als je een druppel kleurstof in het water laat vallen, verspreidt het zich langzaam en verspreidt het zich gelijkmatig. De "rommeligheid" groeit veel langzamer dan in de vorige scenario's.
• Wie gedraagt zich zo? Lading, Spin en Energie worden alle drie trager en worden diffusief wanneer de regels worden gebroken.

3. De "microscopische" verrassing

Voordat deze langetermijnpatronen (de snelweg, de verkeersopstopping of het feestje) volledig tot stand komen, ontdekten de onderzoekers een zeer korte, initiële fase waarin alles hetzelfde gedraagt: het groeit heel snel, zoals een bal die wordt gegooid.

• Analogie: Ongeacht de regels die later gelden, als je naar de allereerste fractie van een seconde kijkt, schiet de "rommeligheid" snel omhoog voordat het zich in zijn langetermijnritme nestelt. Dit is een universeel "microscopisch regime" dat optreedt voordat het grote plaatje zichtbaar wordt.

Samenvatting van de bevindingen

Het artikel concludeert dat Integrale verhoudingen (het bestaan van die strikte, magische regels) de baas is.

• Als de regels perfect zijn (Integreerbaar): raken Lading en Spin verstrikt in een "verkeersopstopping" (KPZ), maar Energie schiet erdoorheen (Ballistisch).
• Als de regels gebroken zijn (Niet-integreerbaar): vertraagt alles tot een trage, willekeurige verspreiding (Diffusief).
• Als er geen mensen tegen elkaar botsen (Vrij): schiet alles erdoorheen (Ballistisch).

De onderzoekers gebruikten een slim wiskundig hulpmiddel (Quantum Generating Function) om deze fluctuaties te tellen zonder elke individuele persoon in de gang te hoeven volgen, waardoor ze deze patronen duidelijk konden zien. Ze bevestigden dat de "ruwheid" van het systeem een universele wiskundige wet volgt, maar dat de snelheid waarmee deze groeit volledig afhangt van de vraag of het systeem die strikte regels volgt of niet.

Technische samenvatting

Technische Samenvatting: Dynamische Schaling en Family–Vicsek Universaliteit in het Hubbard-model bij Oneindige Temperatuur

Probleemstelling
Dit werk onderzoekt de transporteigenschappen en fluctuatiedynamica van het eendimensionale Fermi–Hubbard-model bij oneindige temperatuur. Specifiek beogen de auteurs het karakteriseren van de schalingsgedragingen van lading-, spin- en energiefluctuaties binnen subsystemen. De studie richt zich op hoe deze fluctuaties evolueren van korte-tijd microscopische regimes naar lange-tijd hydrodynamische vensters, en hoe deze gedragingen afhangen van de integrabiliteit van het systeem. De centrale vraag is of het Family–Vicsek (FV) schalingskader, oorspronkelijk ontwikkeld voor klassieke interfacegroei, van toepassing is op kwantum veel-deeltjessystemen en hoe de universaliteitsklassen van de lading-, spin- en energiesectoren verschillen onder variërende interactiesterktes en integrabiliteitscondities.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een Quantum Generating Function (QGF) benadering om tijd-afhankelijke cumulanten van overgedragen behouden grootheden te berekenen zonder de volledige waarschijnlijkheidsverdeling te reconstrueren.

• Model: De studie maakt gebruik van het 1D Hubbard-Hamiltoniaan ($H_{\text{Hubb}}$) met naburige hopping ($J$) en on-site interactie ($U$). Om de effecten van gebroken integrabiliteit te onderzoeken, wordt een interactie tussen naburige deeltjes via de volgende-naaste-buren dichtheid ($V$) toegevoegd ($H = H_{\text{Hubb}} + H_{\text{NNN}}$).
• Begintoestand: Simulaties worden uitgevoerd bij oneindige temperatuur, gerepresenteerd door een volledig gemengde dichtheidsmatrix $\rho_\infty = 1/4^L$, overeenkomend met half-vulling en nul magnetisatie.
• Numerieke Techniek: De QGF wordt geëvalueerd met behulp van Matrix Product Operator (MPO) representaties en Time-Evolving Block Decimation (TEBD) in de Liouville-ruimte. De methode houdt in dat een "twist"-operator $R(\lambda) = e^{i\lambda Q_\ell}$ op een segment van de keten wordt toegepast, de toestand wordt geëvolueerd, en de cumulanten worden geëxtraheerd uit de karakteristieke functie.
• Schalingsanalyse: De auteurs analyseren de "ruwheid" $W(\ell, t)$, gedefinieerd als de wortel van de tweede cumulaant van de overgedragen grootheid in een subsysteem van grootte $\ell$. Zij testen de FV-schalingsansatz $W(\ell, t) \sim \ell^\alpha f(t/\ell^z)$ om de ruwheidsexponent ($\alpha$), de groeisexponent ($\beta$) en de dynamische exponent ($z$) te extraheren.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel vestigt een uitgebreide mapping van transportregimes in het Hubbard-model door drie afzonderlijke sectoren te analyseren: lading, spin en energie.

1. Universeel Korte-Tijd Microscopisch Regime:
   Over alle sectoren en parameterregimes heen (vrij, integreerbaar interagerend en niet-integreerbaar) observeren de auteurs een kort-tijd regime waarin fluctuaties ballistisch groeien ($W \sim t$). Dit gaat vooraf aan het ontstaan van het hydrodynamische schalingsvenster.

2. Lading- en Spinsectoren:

• Vrije Limiet ($U=0, V=0$): Zowel lading als spin vertonen ballistisch transport met een dynamische exponent $z=1$ (groeiexponent $\beta=1/2$).
• Integreerbaar Interagerend Limiet ($U \neq 0, V=0$): Het systeem transiteert naar de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) universaliteitsklasse. De dynamische exponent wordt $z=3/2$ ($\beta=1/3$), wat duidt op superdiffusief transport.
• Niet-integreerbaar Limiet ($V \neq 0$): Het breken van integrabiliteit drijft het systeem naar een diffusief regime met $z=2$ ($\beta=1/4$).

3. Energiesector:

• Integreerbaar Regime ($V=0$): In tegenstelling tot de lading- en spinsectoren blijft de energiesector ballistisch ($z=1$), zelfs in aanwezigheid van eindige on-site interacties ($U \neq 0$). De auteurs schrijven dit toe aan het feit dat de energieflux niet koppelt aan de niet-Abelse ladingen die verantwoordelijk zijn voor de KPZ-anomalie in de andere sectoren.
• Niet-integreerbaar Regime ($V \neq 0$): Vergelijkbaar met de andere sectoren, maakt het breken van integrabiliteit het energietransport diffusief ($z=2$).

4. Universaliteit van Ruwheid:
   De ruwheidsexponent $\alpha$ wordt universeel gevonden ($\alpha = 1/2$) over alle sectoren en regimes, wat consistent is met de verwachtingen voor eendimensionale systemen.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert dat het Family–Vicsek schalingskader een compacte en verenigde methode biedt om ballistisch, anomal (KPZ) en diffusief transport binnen het Hubbard-model te organiseren en te onderscheiden. De primaire betekenis ligt in het aantonen dat integrabiliteit de controlerende factor is voor de lange-tijd dynamica, maar dat het effect sectorenafhankelijk is:

• In de integreerbare Hubbard-keten vertonen lading en spin KPZ-schaling, terwijl energie ballistisch blijft.
• Het doorbreken van de integrabiliteit (via $V$) herstelt universeel diffuus gedrag in alle sectoren.

De auteurs benadrukken dat hun resultaten microscopische behouden wetten en integrabiliteit verbinden met emergent hydrodynamica. Zij merken op dat waar voorgaande werken zich richtten op niet-interagerende systemen of specifieke limieten, deze studie lading, spin en energie systematisch op gelijke voet vergelijkt in zowel integreerbare als niet-integreerbare interagerende regimes. De bevindingen suggereren dat energietransport een ander pad volgt dan lading- en spintransport langs de integreerbare lijn, een nuance die effectief wordt gevangen door de FV-schalingsanalyse. Het werk wordt gemotiveerd door de beschikbaarheid van koude-atoom kwantumsimulatoren die in staat zijn dergelijke hoge-temperatuur, ver-van-evenwicht dynamica te onderzoeken.