Relativistic magnetohydrodynamics in the early Universe

Resumo Técnico: Magnetohidrodinâmica Relativística no Universo Primitivo

Definição do Problema
O estudo de campos magnéticos primordiais, perturbações de fluidos e produção de ondas gravitacionais no Universo primitivo frequentemente depende de simulações de magnetohidrodinâmica (MHD). Historicamente, essas simulações operaram sob a suposição de movimento de fluido em massa subrelativístico ($u^2 \ll 1$) e frequentemente assumiram o limite onde o fator de Lorentz $\gamma^2 \approx 1$. Embora essa aproximação seja válida para fluidos dominados por matéria, ela introduz erros não examinados em épocas dominadas por radiação ou quando o parâmetro da equação de estado $c_s^2$ é da ordem de unidade (por exemplo, $c_s^2 = 1/3$). Formulações anteriores frequentemente negligenciaram as derivadas temporais do fator de Lorentz ($\partial_\tau \gamma^2$), levando à omissão de termos não lineares de ordem $U^2/\ell$ (onde $U$ e $\ell$ são escalas características de velocidade e comprimento). Essas omissões afetam a conservação de energia e momento, a geração de vorticidade e a propagação das velocidades das ondas MHD, podendo levar a velocidades de Alfvén superluminais se não forem corrigidas.

Metodologia
Os autores derivam as leis de conservação para MHD em um fundo Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) homogêneo, isotrópico e em expansão. O trabalho procede através de várias etapas teóricas:

1. Estrutura Geométrica: A métrica FLRW é estabelecida usando o tempo conformal $\tau$ e coordenadas comoventes, permitindo uma definição genérica de $\alpha$-tempo para explorar diferentes propriedades de escala das variáveis do fluido.
2. Dinâmica de Fluido Perfeito: Os autores derivam as equações de movimento para um fluido perfeito com uma equação de estado constante $p = c_s^2 \rho$. Eles apresentam essas equações em duas formas:
   • Forma de Conservação: Evoluindo os componentes do tensor de energia-momento $\tilde{T}^{0\mu}$.
   • Forma de Não-Conservação: Evoluindo as variáveis primitivas (densidade de energia comovente $\tilde{\rho}$ e velocidade peculiar $u$).
     Crucialmente, a derivação retém termos envolvendo $\partial_\tau \gamma^2$ e $\partial_\tau u^2$, que são frequentemente descartados no limite subrelativístico.
3. Fluidos Imperfeitos: O arcabouço é estendido para incluir efeitos de fluido imperfeito de primeira ordem (viscosidade e condução de calor) usando a abordagem da Termodinâmica Irreversível Clássica (CIT), fornecendo expressões covariantes para a viscosidade de Navier-Stokes e a condutividade térmica de Fourier.
4. Eletromagnetismo: As equações de Maxwell são revisadas no fundo em expansão, introduzindo campos eletromagnéticos comoventes ($\tilde{E}, \tilde{B}$) e uma lei de Ohm generalizada covariante. A corrente de deslocamento é analisada para justificar o limite de MHD ideal no regime de alta condutividade do Universo primitivo.
5. Acoplamento MHD: As equações do fluido são acopladas com as equações de Maxwell via força de Lorentz. Os autores analisam perturbações lineares para estudar ondas de som, Alfvén e magnetossônicas.
6. Correções: Uma "correção de Boris" é adaptada ao contexto da MHD relativística para garantir que as velocidades de Alfvén permaneçam subluminais mesmo quando a corrente de deslocamento é negligenciada.

Principais Contribuições e Resultados

• Equações Subrelativísticas Corrigidas: O artigo demonstra que as equações de MHD subrelativísticas anteriores (por exemplo, as usadas no Pencil Code) contêm erros nos coeficientes dos termos de convecção $(u \cdot \nabla) \ln \tilde{\rho}$ e termos de velocidade. Especificamente, a derivada temporal de $\gamma^2$ introduz um fator de correção de $1/2$ em certos termos para fluidos dominados por radiação ($c_s^2 = 1/3$) e modifica os coeficientes para $c_s^2$ genérico. As equações da forma de não-conservação corrigidas são apresentadas nas Eqs. (1.2) e (6.31).
• Produção de Vorticidade: Os autores mostram que a vorticidade ($\omega = \nabla \times u$) não é mais um invariante topológico no Universo primitivo. Mesmo na ausência de forçamento externo e termos baroclínicos, a vorticidade pode ser gerada a partir de um campo de velocidade inicialmente livre de rotacional devido a correções relativísticas envolvendo $c_s^2 \neq 0$ e a expansão do Universo.
• Escalonamento e Invariância Conformal: O artigo revisa vários escalonamentos de variáveis de fluido (comoventes, super-comoventes) para minimizar os termos de fricção de Hubble. Identifica-se que, para fluxos subrelativísticos com $c_s^2 \neq 1/3$, um escalonamento específico ($\beta = 3(1+c_s^2)$) permite que a equação de energia seja conformalmente plana, enquanto a equação de momento retém um termo de fricção de Hubble.
• Velocidade de Alfvén Relativística e Correção de Boris: A análise revela que negligenciar a corrente de deslocamento na MHD ideal pode levar a velocidades de Alfvén superluminais ($v_A > 1$) quando $B_0^2/\rho_0$ é grande. Os autores adaptam a correção de Boris às equações de MHD relativística, modificando a equação de momento para garantir que $v_A \to v_A \gamma_A \leq 1$, onde $\gamma_A = (1+v_A^2)^{-1}$.
• Coeficientes de Transporte: Estimativas para viscosidade de cisalhamento, viscosidade volumétrica e condutividade térmica no plasma primordial são revisadas, confirmando que o plasma é efetivamente um fluido perfeito em grandes escalas, embora efeitos dissipativos sejam necessários para modelagem de turbulência realista.

Significância
Este trabalho fornece a primeira descrição totalmente relativística das equações de MHD em um fundo em expansão que inclui correções ao limite subrelativístico anteriormente negligenciadas. Os autores afirmam que essas correções não são meramente efeitos relativísticos de ordem superior, mas são da mesma ordem que as derivadas convectivas na dinâmica de fluidos não lineares. Consequentemente, o artigo argumenta que futuras simulações de magnetohidrodinâmica do Universo primitivo, particularmente aquelas envolvendo fluidos dominados por radiação ou fases de alta energia, devem incorporar esses termos corrigidos para modelar com precisão a dinâmica não linear, a turbulência e a geração de vorticidade. As equações derivadas servem como uma base teórica para desenvolvimentos futuros em códigos numéricos como o Pencil Code e o CosmoLattice.