Hedging Options on Asset Portfolios against Just One Underlying Asset in the Presence of Transaction Costs

Este estudo investiga a estratégia ótima de hedge para opções sobre uma carteira de dois ativos na presença de custos de transação, demonstrando por meio de simulação que o hedge com um ativo correlacionado, mas não subjacente, pode ser preferível ao hedge com o ativo correto se a correlação for suficientemente alta e os custos de transação forem baixos, conforme determinado por métricas de valor ajustado ao risco.

O essencial

Imagine que você possui um bilhete (uma opção) que lhe dá o direito de comprar uma casa específica (Ativo 1) a um preço fixo no futuro. O valor desse bilhete depende inteiramente de como o preço dessa casa muda.

Para se proteger de perder dinheiro caso o preço da casa caia, você geralmente tenta fazer uma "cobertura". No mundo perfeito e sem atritos dos livros de matemática, você compraria e venderia a própria casa constantemente para equilibrar seu risco. Mas, no mundo real, comprar e vender casas é caro. Existem taxas de corretagem, impostos e o transtorno de se mudar (estes são os custos de transação). Se você tentar reequilibrar sua carteira toda vez que o preço se mover um centavo, as taxas comerão todos os seus lucros.

Este artigo faz uma pergunta inteligente: E se você fizer a cobertura com uma casa diferente que é mais barata para negociar, mas que se move de maneira muito similar?

A Configuração: A Casa "Certa" vs. A Casa "Errada"

Os autores montaram uma simulação com duas casas:

1. A Casa "Certa" (Ativo 1): Esta é a casa real em que seu bilhete se baseia. É a correspondência perfeita, mas imagine que ela está em uma área remota onde, toda vez que você tenta comprar ou vender uma fração dela, custa muito dinheiro (altos custos de transação).
2. A Casa "Errada" (Ativo 2): Esta é uma casa diferente em uma cidade vizinha. Não é a casa exata para a qual seu bilhete foi emitido, mas sobe e desce de preço quase exatamente da mesma forma que a casa "Certa". Crucialmente, ela está em uma cidade movimentada onde negociar é barato e fácil (baixos custos de transação).

Os pesquisadores perguntaram: É melhor pagar altas taxas para negociar a casa "Certa" ou pagar baixas taxas para negociar a casa "Errada"?

O Experimento: Simulando o Mercado

Eles usaram um computador para executar 10.000 cenários diferentes de "e se" (simulações). Eles manipularam três principais controles:

• Correlação ($\rho$): Quão perto as duas casas se movem juntas. Se $\rho$ for 0,99, elas são praticamente gêmeas. Se for 0,2, elas mal se movem juntas.
• Custos de Transação: Quanto custa negociar cada casa (de 0% até 10%).
• Tolerância ao Risco ($\lambda$): Quanto o investidor se importa com o risco. Um número alto significa que eles estão muito nervosos e querem evitar o risco a todo custo. Um número baixo significa que eles estão dispostos a correr riscos por ganho potencial.

Eles mediram o sucesso usando uma métrica chamada Valor Ajustado ao Risco (VAR). Pense nisso como uma "pontuação" que lhe diz: "O dinheiro que estou ganhando vale o estresse e o risco que estou assumindo?"

As Descobertas: Quando Negociar a Casa "Errada"

Aqui está o que eles descobriram, traduzido para a lógica do dia a dia:

1. A "Correspondência Perfeita" nem sempre é a vencedora
Se a casa "Certa" for muito cara para negociar, e a casa "Errada" for barata para negociar, você pode se dar melhor negociando a casa "Errada" — mas apenas se as duas casas forem praticamente idênticas em como se movem.

• A Analogia: Imagine que você precisa atravessar um rio. A ponte "Certa" é o caminho direto, mas a pedágio é de US$ 100. A ponte "Errada" está a uma milha de distância do seu caminho, mas a pedágio é de US$ 1. Se a ponte "Errada" for 99% paralela à ponte "Certa", fazer o desvio economiza dinheiro. Mas se a ponte "Errada" for em uma direção completamente diferente (baixa correlação), você acabará perdido, e a pedágio barata não ajudará.

2. A Armadilha do "Alto Custo"
Se as taxas para negociar qualquer uma das casas forem enormes (como 10%), a melhor estratégia é frequentemente não fazer nada.

• A Analogia: Se a pedágio para atravessar qualquer ponte for de US$ 1.000, e seu bilhete valer apenas US$ 500, você não deve atravessar de forma alguma. Você está melhor mantendo seu bilhete e aceitando o risco do que pagar a pedágio e perder dinheiro. O artigo observa que isso frequentemente se aplica a ativos muito caros como imóveis ou criptomoedas, onde as taxas de negociação são massivas.

3. O Fator "Aversão ao Risco"
Sua decisão depende de quão assustado você está de perder dinheiro.

• Se você for muito avesso ao risco (alto $\lambda$), prefere a casa "Certa" mesmo que seja cara, porque é a cobertura perfeita.
• Se você estiver menos preocupado com o risco (baixo $\lambda$) e a casa "Errada" for muito barata e muito similar à casa "Certa", você pode escolher a casa "Errada" para economizar nas taxas.

4. O Requisito de "Passo a Passo"
O artigo descobriu que, para negociar com sucesso a casa "Errada", a correlação ($\rho$) precisa ser extremamente alta (em torno de 0,99).

• A Analogia: Mesmo que duas casas estejam no mesmo bairro, se uma sobe 1% e a outra sobe 0,5%, elas não estão se movendo em "passo a passo". Para usar a casa "Errada" barata como um escudo, elas devem se mover quase exatamente juntas. Se elas se afastarem mesmo um pouco, a cobertura barata falha em protegê-lo.

A Conclusão

O artigo conclui que a cobertura não é apenas sobre escolher o ativo "correto"; é sobre o custo da negociação.

• Se os custos de negociação forem baixos: Fique com o ativo "Certo" (aquele em que sua opção é realmente baseada). É a aposta mais segura.
• Se os custos de negociação forem altos: Você tem duas opções. Ou não faz cobertura alguma (se os custos forem astronômicos), ou faz cobertura com o ativo "Errado" (se for barato para negociar e se mover quase exatamente como a coisa real).
• O Problema: Você só pode usar o ativo "Errado" se os dois ativos forem praticamente gêmeos (correlação muito alta). Se não forem, as economias nas taxas não compensarão o risco de a cobertura falhar.

Em resumo: Às vezes, a ferramenta "errada" é realmente a melhor ferramenta, desde que seja barata de usar e faça o trabalho quase tão bem quanto a ferramenta "certa". Mas se o trabalho for caro demais para ser feito, às vezes é melhor simplesmente deixá-lo quieto.

Resumo técnico

Resumo Técnico: Cobertura de Opções em Carteiras de Ativos contra Apenas um Ativo Subjacente na Presença de Custos de Transação

Declaração do Problema
O artigo aborda uma limitação prática na teoria padrão de cobertura de opções: a suposição de que o ativo subjacente de uma opção pode ser negociado continuamente e sem atritos. Na realidade, os custos de transação (compostos por taxas fixas e deslizamento proporcional) tornam a cobertura delta contínua proibitivamente cara, frequentemente levando a custos infinitos em modelos de tempo contínuo como o de Black-Scholes. Além disso, o artigo investiga um cenário específico onde um investidor detém uma opção de carteira escrita sobre uma combinação de dois ativos correlacionados ($S_{t1}$ e $S_{t2}$), mas está restrito a fazer a cobertura usando apenas um desses ativos. A questão central de pesquisa é determinar a estratégia de cobertura ótima sob essas restrições: o investidor deve fazer a cobertura usando o "correto" ativo (aquele que subjaz diretamente ao componente da carteira), o "errado" ativo (o outro ativo correlacionado, que pode ser mais barato para negociar) ou abster-se de fazer qualquer cobertura (mantendo uma posição nua)?

Metodologia
Os autores empregam uma estrutura de simulação de Monte Carlo para analisar estratégias de cobertura delta para opções de ações em ativos que seguem um Movimento Browniano Geométrico (MBG).

• Construção da Carteira: A carteira subjacente é definida como $S_t = \alpha S_{t1} + (1-\alpha)S_{t2}$, onde $\alpha$ representa a proporção do primeiro ativo. O estudo foca em casos onde $\alpha=0$ ou $\alpha=1$ (a carteira está inteiramente sobre um ativo) e considera a cobertura de $S_{t1}$ ou $S_{t2}$.
• Mecanismo de Cobertura: O estudo utiliza cobertura delta em tempo discreto. O delta é calculado com base na fórmula de Black-Scholes, ajustado para o ativo específico sendo negociado. A carteira é reequilibrada em intervalos fixos ($\delta t$).
• Custos de Transação: Custos de transação proporcionais ($k$) são aplicados ao ativo sendo negociado. A estrutura de custos inclui um componente fixo e um componente proporcional, modelados como deslizamento.
• Valor Ajustado ao Risco (VAR): Para avaliar o desempenho, os autores introduzem o Valor Ajustado ao Risco (VAR) como a principal métrica de decisão. O VAR é definido como:
  $$VAR = \text{Valor Médio Simulado} - \lambda(\text{Desvio Padrão do Valor Simulado})$$
  onde $\lambda$ representa o preço de mercado do risco. Esta métrica equilibra o retorno esperado contra a volatilidade.
• Parâmetros de Simulação: O estudo executa 10.000 simulações variando parâmetros: coeficientes de correlação ($\rho$) variando de 0,2 a 0,99, custos de transação ($k$) de 0% a 20%, intervalos de reequilíbrio (2 a 252 passos) e preços de mercado do risco ($\lambda$) de 0,2 a 2,0.
• Número de Leland: O estudo referencia o Número de Leland ($A$) para determinar a viabilidade de estratégias modificadas de Black-Scholes. Se $A > 1$, o artigo observa que não fazer cobertura é teoricamente superior a fazer cobertura sob custos de transação elevados.

Principais Resultados
Os resultados da simulação, analisados através do VAR, produzem as seguintes descobertas:

1. Impacto dos Custos de Transação: Na presença de custos de transação, o reequilíbrio frequente leva a perdas significativas em comparação com posições sem cobertura ou com negociação menos frequente. Quando os custos de transação são extremamente altos (por exemplo, 10% ou 20%), a estratégia ótima é consistentemente não fazer cobertura de forma alguma, independentemente da correlação entre os ativos.
2. Negociação do "Errado" Ativo: O estudo identifica condições específicas onde fazer a cobertura com o "errado" ativo (o ativo que não constitui a exposição primária da carteira) é superior a fazer a cobertura do "correto" ativo ou não fazer cobertura. Isso ocorre quando:
   • A correlação ($\rho$) entre os dois ativos é muito alta (aproximando-se de 0,99).
   • Os custos de transação no "errado" ativo são significativamente menores do que no "correto" ativo.
   • O preço de mercado do risco ($\lambda$) é baixo (indicando menor aversão ao risco).
   • Especificamente, com um custo de 1% no ativo correto e 0% no errado, negociar o errado ativo torna-se ótimo em $\rho=0,99$ para altas frequências de reequilíbrio.
3. Papel de $\lambda$: O preço de mercado do risco ($\lambda$) é um determinante crítico. Valores altos de $\lambda$ (alta aversão ao risco) geralmente favorecem negociar o "correto" ativo ou não fazer cobertura, enquanto valores mais baixos de $\lambda$ tornam a estratégia do "errado" ativo mais viável quando as correlações são altas.
4. Carteiras Misturadas: Para valores intermediários de $\alpha$ (carteiras misturadas), os preços da carteira simulada são geralmente menores do que os de carteiras puras ($\alpha=0$ ou $1$), e o risco (desvio padrão) é maior quando a proporção do ativo negociado é baixa.

Significado e Alegações
O artigo afirma fornecer uma estrutura quantitativa para gestores financeiros decidirem se devem fazer a cobertura de uma carteira usando um ativo correlacionado mais barato, em vez do ativo subjacente exato, quando os custos de transação são um fator.

• Insight Gerencial: Os autores afirmam que um gestor de carteira pode potencialmente alcançar retornos mais altos negociando um "errado" mas mais barato ativo correlacionado, desde que a correlação seja suficientemente alta e os custos de transação no "correto" ativo sejam proibitivos.
• Limites de Decisão: O estudo fornece uma matriz de decisão (resumida na Tabela 3.6) indicando quando negociar o errado ativo, o correto ativo ou nenhum deles, com base na interação de $\rho$, $\lambda$ e custos de transação.
• Limitações: Os autores modestamente observam que suas conclusões são baseadas em dados simulados usando MBG e modelos específicos de custos de transação. Eles sugerem que a eficácia da estratégia depende fortemente da suposição de que o "errado" ativo é mais barato para negociar e altamente correlacionado. O artigo não afirma eliminar o risco, mas sim gerenciá-lo de forma mais custo-efetiva em mercados com atritos.

Em conclusão, o estudo demonstra que, em mercados com custos de transação, a adesão rígida à cobertura do ativo subjacente exato nem sempre é ótima. Sob condições de alta correlação e custos de transação díspares, substituir o instrumento de cobertura por um ativo correlacionado mais barato pode ser uma estratégia racional e ajustada ao risco.