Using Physics Informed Neural Network (PINN) and Neural Network (NN) to Improve a $k-ω$ Turbulence Model

Este trabalho aprimora o modelo de turbulência $k-\omega$ de Wilcox corrigindo a subestimação da energia cinética turbulenta ao utilizar Redes Neurais Informatizadas por Física (PINN) para modelar a difusão turbulenta e Redes Neurais (NN) para ajustar os coeficientes do modelo, resultando em previsões precisas para escoamentos em canais, camadas limite e colinas periódicas, com a opção de substituir as NNs por regressão simbólica para implementação em códigos CFD comerciais.

O essencial

Imagine que você é um chef de cozinha tentando prever exatamente como o ar (ou a água) vai se mover ao redor de um objeto, como um carro ou uma asa de avião. Para fazer isso, os cientistas usam equações matemáticas complexas chamadas modelos de turbulência. O modelo mais famoso e antigo é o "Wilcox k-ω".

Pense nesse modelo antigo como um GPS de carro antigo. Ele é ótimo para te dizer a rota principal (a velocidade média do ar) e quanto tempo vai demorar (o atrito na superfície). Mas, se você perguntar ao GPS antigo sobre o "trânsito caótico" dentro da estrada (a energia turbulenta), ele vai te dar uma resposta errada: ele diz que o trânsito é calmo, quando na verdade é um caos total.

O artigo do Lars Davidson, da Universidade Chalmers, na Suécia, propõe uma solução inteligente para consertar esse "GPS antigo" usando Inteligência Artificial. Ele cria uma versão híbrida chamada k-ω-PINN-NN.

Aqui está como funciona, passo a passo, usando analogias simples:

1. O Problema: O GPS que ignora o caos

O modelo antigo (k-ω) acerta a velocidade do vento, mas erra feio na quantidade de energia que o vento tem quando está girando e bagunçando (energia cinética turbulenta). Ao olhar para dados reais de supercomputadores (chamados DNS), o autor percebeu que o erro estava em como o modelo calculava a "difusão turbulenta" (como a energia se espalha). É como se o GPS soubesse onde o carro está, mas não soubesse que há um engarrafamento à frente.

2. A Primeira Solução: O "GPS com Visão de Raio-X" (PINN)

O autor usa uma tecnologia chamada PINN (Redes Neurais Informadas pela Física).

• A Analogia: Imagine que você tem um mapa antigo (o modelo k-ω) e um mapa de satélite em tempo real (os dados reais). O PINN é como um assistente superinteligente que olha para o mapa antigo e o mapa real ao mesmo tempo.
• O que ele faz: Ele não muda a rota principal (a velocidade), porque essa já estava certa. Em vez disso, ele recalcula apenas a parte da "difusão" (como a energia se espalha). Ele cria uma nova versão da "viscosidade turbulenta" (o atrito interno do fluido) que combina perfeitamente com a realidade.
• O Resultado: Agora, o modelo sabe exatamente como a energia turbulenta se comporta perto das paredes (como o chão de um canal ou a asa de um avião).

3. O Problema Secundário: Não podemos mudar tudo de uma vez

Se o autor apenas corrigisse a energia turbulenta, o modelo ficaria tão "cheio de energia" que a velocidade do vento mudaria, e o GPS voltaria a errar a rota principal.

• A Solução: Ele precisa equilibrar a equação. Se a energia (k) aumenta, ele precisa ajustar a "frequência de dissipação" (ω) para que o atrito total (viscosidade) continue o mesmo.
• A Ação: Ele cria dois novos "botões de ajuste" (funções matemáticas) que agem como um freio e um acelerador para manter o equilíbrio perfeito entre a energia e a velocidade.

4. A Segunda Solução: O "GPS que Aprende com Experiência" (NN)

A primeira solução (PINN) funcionou muito bem, mas tinha um defeito: ela era como um mapa desenhado à mão apenas para uma cidade específica (um canal de água reto). Se você tentasse usar esse mapa em uma floresta cheia de curvas (um fluxo complexo com redemoinhos), ele falharia.

• A Analogia: O PINN foi um "tutor particular" que ensinou o modelo a resolver um problema específico. Agora, o autor quer criar um "aluno que aprende a aprender".
• O que ele faz: Ele usa uma Rede Neural (NN) comum. Ele pega as respostas perfeitas que o PINN encontrou e ensina a Rede Neural a imitá-las.
• O Truque: Em vez de usar coordenadas fixas (como "distância da parede"), ele ensina a Rede Neural a olhar para dois indicadores universais:
  1. O estresse total do fluxo (quão "tenso" o ar está).
  2. A viscosidade relativa (quão "grosso" o ar parece).
• O Resultado: Agora, o modelo não é mais um mapa de uma cidade só. É um GPS que entende a física do trânsito. Ele funciona em canais retos, em bordas de asas e até em terrenos montanhosos (o teste da "colina periódica").

5. O Grande Teste: A Colina Periódica

O autor testou o novo modelo em um cenário difícil: o ar fluindo sobre uma colina que se repete (como ondas).

• O Resultado: O modelo antigo (k-ω padrão) falhou em prever a velocidade e a energia corretamente. O novo modelo k-ω-PINN-NN acertou quase tudo, ficando muito próximo da realidade (dados DNS).
• Uma Curiosidade: Na parte de cima da colina (longe das paredes), a Rede Neural descobriu que os "botões de ajuste" podiam ser valores constantes simples. Isso significa que, em certas situações, a IA aprendeu que não precisava de cálculos complexos, apenas de números fixos.

6. O Toque Final: Tornando o Código "Amigável"

No final, o autor mostra que, em vez de usar uma Rede Neural complexa (que é difícil de instalar em softwares comerciais de engenharia), você pode usar uma técnica chamada Regressão Simbólica.

• A Analogia: É como pegar a "receita secreta" da IA e transformá-la em uma fórmula matemática simples de papel e lápis (como $y = ax + b$).
• Por que isso importa? Isso permite que engenheiros que usam softwares de engenharia caros (como Ansys ou Star-CCM+) usem essa melhoria sem precisar instalar bibliotecas de Python complexas. É como transformar um aplicativo de celular pesado em um adesivo simples que cola no para-brisas do carro.

Resumo da Ópera

O autor pegou um modelo de turbulência antigo e confiável, mas com um defeito conhecido (errava na energia).

1. Usou PINN (física + dados) para descobrir a solução matemática perfeita para esse defeito.
2. Usou Redes Neurais (NN) para ensinar o modelo a aplicar essa solução em qualquer lugar, não apenas em linhas retas.
3. Mostrou que o resultado é um modelo muito mais preciso para prever como o ar e a água se comportam em situações reais, desde tubos até aerofólios.

É como pegar um carro antigo, trocar o motor por um elétrico superpotente (PINN/NN) e ainda garantir que ele tenha o mesmo volante e freios que o motorista já conhece, resultando em uma viagem muito mais suave e segura.

Resumo técnico

Título: Uso de Redes Neurais Informadas por Física (PINN) e Redes Neurais (NN) para Melhorar um Modelo de Turbulência $k-\omega$

Autor: Lars Davidson (Divisão de Dinâmica de Fluidos, Chalmers University of Technology, Suécia)

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1. Problema

O modelo de turbulência $k-\omega$ de Wilcox (e a maioria dos outros modelos de duas equações) prevê com precisão o campo de velocidade médio e a tensão de cisalhamento turbulenta em escoamentos de camada limite (como canais totalmente desenvolvidos e placas planas). No entanto, o modelo falha consistentemente ao prever a Energia Cinética Turbulenta (TKE, $k$), subestimando-a significativamente.

A análise dos termos da equação de transporte de $k$ comparada com dados de Simulação Numérica Direta (DNS) revela que:

• Os termos de produção e dissipação são bem previstos.
• O termo de difusão turbulenta é mal modelado, sendo a principal causa do erro na previsão de $k$.

2. Metodologia

O autor propõe uma abordagem híbrida combinando Redes Neurais Informadas por Física (PINN) e Redes Neurais (NN) tradicionais para corrigir o modelo. O processo divide-se em duas etapas principais:

A. Etapa 1: Correção via PINN (Geração de Dados-Alvo)

O objetivo é recuperar o termo de difusão turbulenta correto usando dados de DNS.

1. Equação Diferencial Ordinária (EDO): A equação de $k$ para um canal totalmente desenvolvido é reescrita como uma EDO para a viscosidade turbulenta ($\nu_{t,PINN}$), utilizando os termos de produção ($P_k$), dissipação ($\varepsilon$) e energia cinética ($k$) diretamente dos dados de DNS.
2. Solução PINN: Uma PINN resolve essa EDO para encontrar uma nova viscosidade turbulenta ($\nu_{t,PINN}$) que force a difusão a coincidir com a DNS.
3. Cálculo de Coeficientes: Com base em $\nu_{t,PINN}$, calcula-se um novo número de Prandtl turbulento ($\sigma_{k,PINN} = \nu_t / \nu_{t,PINN}$).
4. Manutenção da Viscosidade Turbulenta: Para evitar que a alteração em $k$ degrade a previsão da velocidade média (já que $\nu_t = k/\omega$), são introduzidas duas funções de correção ($C_{k,PINN}$ e $C_{\omega2,PINN}$) nos termos de dissipação e destruição das equações de $k$ e $\omega$, respectivamente. Essas funções garantem que o novo modelo mantenha o mesmo $\nu_t$ do modelo padrão de Wilcox.

B. Etapa 2: Generalização via Redes Neurais (NN)

Os coeficientes derivados da PINN ($\sigma_{k,PINN}$, $C_{k,PINN}$, $C_{\omega2,PINN}$) são funções específicas da coordenada $y/\delta$ e não são diretamente aplicáveis a escoamentos complexos (como recirculação).

1. Treinamento de NN: Três modelos de Redes Neurais são treinados para prever esses coeficientes.
2. Parâmetros de Entrada: As NN utilizam dois parâmetros de entrada adimensionais e universais:
   • $\tau_{tot}/u_\tau^2$ (razão da tensão total).
   • $\nu_t/(y u_\tau)$ (relação entre viscosidade turbulenta e distância à parede).
3. Objetivo: As NN aprendem a mapear esses parâmetros para os coeficientes ótimos ($\sigma_{k,NN}$, $C_{k,NN}$, $C_{\omega2,NN}$) obtidos anteriormente pela PINN.

C. Implementação Numérica

O novo modelo, denominado $k-\omega$-PINN-NN, foi implementado no código CFD em Python pyCALC-RANS (para escoamentos 2D) e pyCALC-LES (para escoamentos 3D instáveis). O modelo foi testado em três cenários:

• Escoamento em canal totalmente desenvolvido ($Re_\tau = 550, 2000, 5200, 10000$).
• Camada limite em placa plana ($Re_\theta = 4500$).
• Escoamento sobre uma colina periódica (Re = 10.600).

3. Contribuições Principais

• Correção Específica da Difusão: Identificação e correção direta do termo de difusão turbulenta, que é a fonte primária do erro na previsão de $k$ no modelo $k-\omega$ padrão.
• Modelo Híbrido PINN-NN: Desenvolvimento de uma metodologia onde a PINN é usada para "descobrir" a física correta baseada em DNS, e a NN é usada para generalizar essa descoberta em um formato de modelo de turbulência utilizável em CFD comercial.
• Preservação do Perfil de Velocidade: A introdução de funções de correção ($C_k$ e $C_{\omega2}$) permite aumentar a energia cinética turbulenta sem degradar a precisão do perfil de velocidade médio.
• Substituição por Regressão Simbólica: O autor demonstra que as NN podem ser substituídas por equações algébricas geradas por regressão simbólica (usando a biblioteca pySR), facilitando a implementação em códigos CFD comerciais que não suportam bibliotecas de Deep Learning (como PyTorch).

4. Resultados

• Canais e Plana Plana: O modelo $k-\omega$-PINN-NN produziu perfis de velocidade, atrito na parede e energia cinética turbulenta excelentes, superando significativamente o modelo padrão de Wilcox na previsão de $k$. A viscosidade turbulenta permaneceu consistente com o modelo original.
• Colina Periódica: O modelo apresentou concordância muito boa com a DNS para perfis de velocidade e tensão de cisalhamento.
  • Observação: A energia cinética turbulenta ($k$) foi ligeiramente superestimada na região de recirculação, mas a forma do perfil foi melhor que a do modelo padrão.
  • Limitação: Em escoamentos de colina, os coeficientes da NN tendem a valores constantes fora da região próxima à parede devido à limitação dos parâmetros de entrada no treinamento, o que funcionou bem para a colina, mas falhou se aplicado diretamente a canais (indicando a necessidade de cuidado na generalização).
• Regressão Simbólica: A equação simbólica derivada para $\sigma_k$ (Eq. 21 no artigo) reproduziu os resultados da NN com alta fidelidade, validando a viabilidade de substituir a "caixa preta" da NN por uma fórmula analítica.

5. Significância

Este trabalho oferece um caminho prático para aprimorar modelos de turbulência RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) sem abandonar a estrutura física tradicional. Ao usar a PINN para extrair correções físicas de dados de alta fidelidade (DNS) e encapsulá-las em NN (ou regressão simbólica), o autor demonstra como a Inteligência Artificial pode ser integrada ao CFD para corrigir deficiências específicas de modelos existentes, mantendo a robustez e a facilidade de implementação em códigos industriais. A disponibilidade de todos os códigos Python (PINN, NN, CFD e pySR) promove a reprodutibilidade e o avanço da área.