Optimising the relative entropy under semidefinite constraints

技术摘要：半正定约束下的相对熵优化

问题陈述
本文解决的核心问题是在半正定约束下最小化量子相对熵 $D(\rho\|\sigma) = \text{tr}[\rho(\log \rho - \log \sigma)]$。此类优化出现在各种量子信息任务中，最显著的是从实际设备测量统计数据中估计量子密钥分发（QKD）中的秘密密钥率。数学公式旨在寻找：
$$\inf D(\rho\|\sigma) \quad \text{s.t.} \quad h_i(\rho, \sigma) \ge 0, \quad \mu\sigma \le \rho \le \lambda\sigma, \quad \rho, \sigma \in \mathcal{S}(\mathcal{H})$$
其中 $h_i$ 是代表测量约束的仿射映射。虽然该问题是凸的，但由于矩阵对数的存在，它具有高度的非线性，使得标准的凸优化求解器对一般实例失效。现有方法通常在数值稳定性方面表现不佳，缺乏可证明的收敛保证，或者仅限于特定类型的约束（例如仅限等式约束）。

方法论
作者提出了一种基于近期引入的量子相对熵积分表示法的方法（Frenkel, 2023; Jenčová, 2015）。对于满足 $\mu\sigma \le \rho \le \lambda\sigma$ 的状态，相对熵可以表示为：
$$D(\rho\|\sigma) = \int_{\mu}^{\lambda} \frac{ds}{s} \text{tr}_+[\sigma s - \rho] + \log \lambda + 1 - \lambda$$
其中 $\text{tr}_+[A]$ 表示 $A$ 的正部分之迹。该方法的核心技术创新是将此积分进行离散化，从而将非线性问题转化为一系列半正定规划（SDP）问题。

1. 离散化与 SDP 形式化： 通过在网格 $t = (t_1, \dots, t_r)$ 上对积分进行近似。通过利用 $\text{tr}_+[A]$ 可以表述为 SDP（具体为 $\text{tr}_+[A] = \sup_{0 \le P \le 1} \text{tr}[PA]$）的性质，作者推导出了相对熵的一个下界。这产生了一个关于辅助变量 $\mu_k$ 的最小化问题，并受线性矩阵不等式约束。
2. 上界与下界： 该方法提供了关于最优值的严格上界 ($c_u(t)$) 和下界 ($c_l(t)$)。
   • 下界： 通过被积函数的凸插值（割线）导出，并表述为 SDP。
   • 上 上界： 通过从上方进行的凸插值导出，同样表述为 SDP。
3. 间隙估计： 差值 $\Delta(t) = c_u(t) - c_l(t)$ 作为任何迭代阶段到最优值的严格间隙估计。
4. 网格细化： 作者建立了一种递归网格构建策略（推论 1），确保了亚线性收敛。网格点的选择使得误差以 $O(\sqrt{\lambda/\epsilon})$ 的速度下降，其中 $\epsilon$ 是目标精度。

核心贡献

• 可证明的界限： 本研究提供了一系列 SDP，为相对熵最小化问题提供了严格、可证明的上界和下界。
• 收敛保证： 本文证明了离散化方案的亚线性收敛性。具体而言，它证明了为达到误差 $\epsilon$ 所需的网格点数量随 $O(\sqrt{\lambda/\epsilon})$ 比例缩放。
• 间隙量化： 与许多现有的数值启发式方法不同，该方法允许在每一步显式计算到最优值的间隙，从而能够基于所需的精度设定终止准则。
• 向 f-散度的推广： 通过利用函数 $g(s) = \text{tr}_+[\sigma s - \rho]$ 的凸性，该方法被推广到了任意 $f$-散度，而不局限于 Umegaki 相对熵。
• 资源效率： 该方法在 SDP 矩阵维度方面保持了高效性，避免了直接计算矩阵对数时所需的 $d^2 \times d^2$ 缩放。

结果
作者通过数值基准测试验证了其方法：

• QKD 密钥率： 应用于基于纠缠的 QKD 场景，该方法成功计算了局部维度高达 8（每方 3 个量子比特）的可提取随机性（密钥率）。这些结果在标准个人电脑上仅需数秒即可完成。
• 收敛行为： 数值实验证实了预测的亚线性收敛率。随着网格点数量的增加，误差逐渐减小，这与推论 1 中导出的理论界限一致。
• 对比性能： 与最先进的方法（特别是 [12] 和 [14]）相比：
  • 在小规模实例中，该方法达到了与 [12] 相当的精度，但在相对熵规划方面，其精度被专门的求解器 [14] 所超越。
  • 在运行时间方面，该方法较 [12] 有明显改进，但仍慢于 [14]。
  • 一个明显的优势在于能够同时提供上界和下界并量化间隙，而 [12] 仅提供上界，且 [14] 受限于特定的锥，缺乏用于某些设备无关场景的积分表示灵活性。

意义与主张
本文声称其主要意义在于提供了一个实用的、资源高效的工具，弥合了可执行数值工具与理论界限之间的鸿沟。通过将困难的非线性优化转化为具有可证明收敛性的序列 SDP，该方法为需要严格下界（如可提取随机性）的 QKD 及其他量子信息任务提供了可靠的安全证明。

作者强调，虽然在纯运行时间方面，该方法可能无法与 [14] 等专门求解器相比，但其处理一般仿射约束（不等式）并提供严格间隙估计的能力，使其在需要认证界限的应用中（如设备无关 QKD 和信道容量估计）具有独特优势。这项工作也为实现对信道相对熵进行定界的数值算法开辟了道路，这是一个资源理论中的开放问题。