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Port-Hamiltonian systems with energy and power ports

本文通过利用外部变量对拉格朗日子流形进行增广来引入能量端口，从而扩展了端口-哈密顿框架，进而表征了具有输入依赖型哈密顿量的约束哈密顿系统。

原作者： Kaja Krhac, Bernhard Maschke, Arjan van der Schaft

发布于 2026-09-17

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原作者： Kaja Krhac, Bernhard Maschke, Arjan van der Schaft

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一个这样的世界：每一台机器，从一个简单的单摆到复杂的电网，都不仅仅被视为运动部件的集合，而是一个不断与周围环境进行能量交换的系统。在物理学中，科学家们长期以来一直使用一种被称为端口-哈密顿理论（port-Hamiltonian theory）的强大框架来描绘这些交换过程。可以将这个框架想象成一个通用的账本，追踪能量如何在系统中流入和流出。它区分了系统的内部状态（即能量存储所在之处）与“端口”（即系统与外界连接的具体点）。传统上，这些端口被理解为成对出现的变量，它们相互乘积产生功率，就像电路中的电压和电流一样。这种方法在描述开放系统如何相互作用方面取得了巨大的成功，确保了能量在不同组件之间移动时的总能量守恒。然而，这种传统观点存在一个盲点：它难以描述那些其能量存储规则本身会根据外部输入而发生变化的系统，或者受到隐藏规则约束从而限制其运动的系统。

来自德国、法国和荷兰的一个研究小组现在扩展了这个框架，以填补这一空白。在他们最近的工作中，他们引入了一种新型的连接点，称为“能量端口”（energy port）。与测量能量流动的标准功率端口不同，这些新的能量端口代表了那些实际塑造系统能量景观的外部变量。通过将这些变量直接引入系统的数学描述中，研究人员发现他们能够模拟更广泛的一类物理现实。具体而言，他们展示了这种新方法可以完美地描述受约束的哈密顿系统——即那些被迫遵循特定规则，且其能量函数取决于系统无法控制的输入的复杂设置。这包括具有“规范自由度”（gauge degrees of freedom）的系统，即系统的运动方式多于定义它们的方程数量的情况，这是高级物理学（如相对论和电磁学）中的常见特征。

这一发现的核心在于研究人员处理系统几何结构的方式。在传统观点中，系统的位置与动量之间的关系通常由一个单一的、光滑的函数来描述。但许多现实世界的系统更为复杂；它们的规则可能是多值的，或者依赖于发生偏移的参数。作者利用了一种被称为“莫尔斯族”（Morse family）的数学工具，它像是一个灵活的模板，能够描述这些复杂的、多值的关系。通过在这个模板上附加一个外部变量空间，他们创建了他们称之为“端口-拉格朗日子流形”（port-Lagrangian submanifold）的结构。这种新结构允许系统的能量依赖于输入的方式，在以前是难以捕捉的。例如，在一个受约束的系统中，能量不仅仅是一个固定的值，它是一个随着约束条件的施加而变化的函数。该新框架将这些约束视为系统定义中不可或缺的一部分，而非需要解决的障碍，它们自然地作为能量端口的一部分出现。

为了证明这一新定义的威力，研究人员将其应用于两种不同类型的物理问题。首先，他们研究了能量随外部输入线性变化的输入-输出系统，例如受到可变力作用的机械系统。在这种情况下，能量端口本身就是该力，框架能够正确计算当该力变化时系统能量如何变化。其次，更重要的是，他们将该理论应用于受约束的系统，特别是具有规范自由度的系统。这些系统是指物理定律允许对同一状态进行多种描述的情况，这种情况出现在研究高速运动粒子的相对论物理学中。研究人员展示了这样一个系统的总能量（包括这些任意约束项）如何完美地契合进他们的新模型中。他们以一个质量相对论粒子（物理学中的基本对象）为例，展示了该框架如何处理粒子运动与相对论所施加的约束之间复杂的相互作用。

结果证实，这种扩展后的框架不仅是一个理论上的奇思妙想，而且是描述最广义形式的受约束哈密顿系统的稳健方法。作者证明，通过增加状态空间的维度并引入外部变量，他们可以描述其哈密顿函数（定义总能量的函数）依赖于输入的系统。这意味着能量平衡方程（追踪能量如何进入和离开系统）现在必须包含一个项，用以解释构成关系本身的改变。简单来说，系统的能量变化不仅是因为它的运动或能量的流入，还因为定义其能量的规则本身正在发生偏移。这一洞察将开放系统、受约束系统以及带有外部输入的系统统一在了一个连贯的几何结构之下。

这项工作的意义在于，它提供了一种统一的语言，用于描述此前难以共同建模的复杂物理相互作用。通过区分测量流量的“功率端口”和测量外部变量对系统内部规则影响的“能量端口”，研究人员创造了一个更通用的工具。无论是设计机器人的控制系统，还是模拟高能对撞机中粒子的行为，数学化地捕捉外部输入如何重塑系统能量景观的能力都是至关重要的。该论文并不声称解决了物理学中的所有问题，但它确实为处理约束与输入密不可分这一特定类别的难题，提供了一种精确且通用的方法。通过这个新框架的视角，受约束系统的复杂舞蹈变成了一场系统状态与外部世界之间清晰、可计算的交互。

技术摘要：具有能量端口与功率端口的端口-哈密顿系统

问题陈述
本文解决了有限维端口-哈密顿（pH）框架中的一个空白。传统的 pH 框架通过狄拉克结构（Dirac structure）来定义“功率端口”（代表能量流的对偶变量对）以及通过拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）来定义本构关系，从而对开放系统进行建模。虽然标准的 pH 理论可以处理哈密顿量仅是状态空间函数的系统，但它缺乏一种统一的几何描述，来处理哈密顿量显式依赖于外部变量（输入）以及存在约束（受限哈密顿系统）的情况。具体而言，现有的框架无法自然地区分那些通过本构关系驱动能量变化（输入）的变量，以及那些促进与环境进行能量交换（功率端口）的变量。

方法论
作者通过用外部变量空间扩充状态空间，扩展了 pH 框架。其核心方法论依赖于余切丛中拉格朗日子流形的几何理论，该理论通过莫尔斯族（Morse families）（参数化的函数族）进行描述。

状态空间扩展： 状态空间 $X$ 被扩展为 $X \times \mathbb{R}^m$ ，其中 $\mathbb{R}^m$ 代表外部变量。这种扩充将余切丛 $T^*X$ 扩展到了 $T^*(X \times \mathbb{R}^m)$ 。
能量端口的定义： 在拉格朗日子流形上引入了一对新的共轭变量，称为能量端口 $(\nu^p, \varepsilon^p)$ 。与满足功率守恒对偶关系的功率端口不同，能量端口是出现在本构关系中的外部变量。
受限莫尔斯族： 作者定义了一个“受限莫尔斯族” $K: X \times \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}$ 。该族生成了一个端口-拉格朗日子流形 $L_p$ 。关于外部变量的 $K$ 的导数的秩条件确保了能量端口的适定性。
功率平衡重构： 系统的时演由五元组 $(X, F_p, \mathbb{R}^m, L_p, D)$ 控制，其中 $D$ 是一个狄拉克结构。作者推导出了一个修正后的功率平衡方程，该方程包含一个额外的项，用于解释由于本构关系（输入）的变化而导致的能量变化，这有别于标准的功率流项。

核心贡献

能量端口的形式化定义： 本文引入了“能量端口”这一类不同于“功率端口”的变量。能量端口不是对偶变量，而是与参数化哈密顿量的外部变量空间相关的共轭对。
统一的几何框架： 作者证明了受限哈密顿系统（特别是具有规范自由度的系统）和输入-输出系统可以在同一个几何框架内，利用由受限莫尔斯族生成的端口-拉格朗日子流形进行描述。
受限系统的特征化： 本文表明，狄拉克的扩展哈密顿系统（关于拉格朗日乘子为线性）构成了一个莫尔斯族。这使得受限系统可以被视为哈密顿量以参数形式出现在生成函数中的 pH 系统。
输入-输出系统的泛化： 该框架容纳了哈密顿量依赖于输入的输入-输出系统。它区分了关于输入呈线性的系统（其中输入是能量端口）和非线性情况。

结果

一般情况： 在最一般的情况下，扩展后的框架描述了哈密顿量依赖于输入的受限哈密顿系统。动力学由狄拉克结构与端口-拉格朗日子流形的交集决定。
功率平衡： 推导出的功率平衡方程为：
$\frac{d\tilde{H}}{dt} + \dot{\varepsilon}^p_i \nu^p_i + e^p_j f^p_j = 0$
其中 $\tilde{H}$ 是修正后的能量函数， $\nu^p$ 是能量端口变量（输入）， $\varepsilon^p$ 是它们的共轭变量，而 $(e^p, f^p)$ 是功率端口变量。项 $\dot{\varepsilon}^p_i \nu^p_i$ 代表由于本构关系变化而产生的能量变化。
具体示例：
- 输入-输出系统： 研究表明，关于输入呈线性的系统具有由 $X \times \mathbb{R}^m$ 上的受限生成函数生成的拉格朗日子流形。
- 受限系统： 具有规范自由度的系统（例如质量相对论粒子）被建模为 pH 系统，其中约束定义了莫尔斯族的临界集。
- 受限输入-输出系统： 该框架成功地对处于外部电磁场中的质量相对论粒子进行了建模，将电磁场视为输入，并将质壳约束视为规范条件。

意义与主张
本文声称，通过用外部变量扩充拉格朗日子流形，端口-哈密顿框架能够直接访问出现在哈密顿函数中的外部变量。这种扩展使得对哈密顿量依赖于输入的受限哈密顿系统（如狄拉克所定义的）进行几何特征化成为可能，且这些系统的输出是与这些输入共轭的量。

作者强调，拉格朗日子流形的多元性质（通过莫尔斯族实现）对于描述受限系统至关重要，因为它允许一个参数化的哈密顿量族，其中每个成员在物理上都是可行的。能量端口的引入为驱动系统内部能量结构（本构关系）的变量与促进系统与环境进行能量交换（功率端口）的变量之间提供了严格的区分，从而将 pH 理论推广到了更广泛的一类开放及受限系统中。

技术摘要：具有能量端口与功率端口的端口-哈密顿系统

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